第2章布尔代数基础.

第2章布尔代数基础2.1逻辑代数基础2.1.1逻辑代数的基本概念2.1.2逻辑函数2.1.3逻辑代数的公理、定理和规则2.1.4逻辑表达式的基本形式2.1.5逻辑函数的标准形式2.1.6逻辑函数表达式的转换2.2逻辑函数的化简2.2.1代数化简法2.2.2卡诺图化简法导航：1、点击“右键”，选择“全屏显示”－全屏显示2、点击“右键”，选择“下一张”－播放PP3、点击游览器左上角“后退”，退出PP第2章布尔代数基础概述研究数字系统中逻辑电路设计和分析的数学工具是布尔代数。布尔代数是由逻辑变量集K(A、B、C、…)，常量“0”、“1”以及“与”、“或”、“非”3种基本逻辑运算构成的代数系统。逻辑变量集K是布尔代数中变量的集合，它可以用任何字母表示，每个变量的取值只能为常量“0”或“1”。在数字系统中使用布尔变量表示开关电路的输入或输出。这些变量的每一个取值是“0”或“1”两个不相同的值。“0”可以代表低电压，“1”可以代表高电压。F(False)和T(True)也可以用于表示“0”或“1”。布尔代数把矛盾的一方假设为“1”，另一方假设为“0”，使之数学化。这样可以使用布尔代数中的公理和定理对物理现象作数学演算，达到逻辑推理的目的。第2章布尔代数基础概述幸运的是，在数字系统中采用的是“0”和“1”两个不同的值。因此布尔代数可以用来作为分析和设计逻辑电路的数学工具。从应用的角度，布尔代数应用于逻辑电路领域称其为逻辑代数。本章介绍逻辑代数的基本理论和运算方法，其中包括逻辑代数基本概念，逻辑函数的定义，逻辑代数的公理、定理和规则，小项与大项的概念以及使用小项和大项表达逻辑函数的标准形式。在此基础上，介绍应用逻辑代数法和卡诺图法化简逻辑函数的原理与方法。第2章布尔代数基础2.1逻辑代数基础2.1.1逻辑代数的基本概念逻辑代数包含逻辑变量集K(A、B、C、…)，每个变量的取值只可能为常量“0”或“1”。这里的“0”和“1”没有量的概念，是用来表达矛盾双方，是一种形式上的符号。逻辑代数中逻辑变量之间是逻辑关系。逻辑关系用逻辑运算符表示。使用逻辑运算符连接逻辑变量及常量“0”或“1”构成逻辑代数表达式。采用逻辑代数表示逻辑电路的输入与输出之间的逻辑关系，称逻辑函数。这种电路称数字逻辑电路。逻辑函数除了使用逻辑代数表示以外，还可以使用一种称为“真值表”的表格表示。第2章布尔代数基础2.1逻辑代数基础真值表是由输入变量所有可能取值的组合与这些组合值对应的输出变量的值构成的表格。真值表分为左、右两个部分。左边部分每一列是输入变量的名字。右边部分的每一列是输出变量的名字。左边部分是输入变量所有的取值的组合。如果一个逻辑函数有n个变量，则输入变量所有的取值有2n个组合。右边部分是把左边每一行输入变量的取值带到逻辑函数中去运算，把运算的结果“0”或者“1”填进来。这样就完成了把逻辑函数用真值表表示。逻辑函数有的比较简单，有的相当复杂。但是它们都是由“与”、“或”、“非”三种最基本的逻辑运算构成。下面分别介绍这三种逻辑运算符、逻辑表达式、逻辑函数和逻辑函数符号。第2章布尔代数基础2.1逻辑代数基础1.逻辑函数符号如前所述，逻辑函数是由“与”、“或”、“非”三种最基本的逻辑运算构成。为了象表示电阻、电容和三极管一样，用图形化的方式表示不同的逻辑函数，美国国家标准学会(theAmericanNationalStandardsInstitute,ANSI)和美国电气与电子工程师协会(theInstituteofElectricalandElectronicEngineers,IEEE)在1984年制定了一个逻辑函数符号标准。如图2-1所示。第2章布尔代数基础2.1逻辑代数基础图2-2是IEEE标准的“与”、“或”、“非”、“与非”、“或非”、“异或”、“异或非(同或)”逻辑函数符号。第2章布尔代数基础2.1逻辑代数基础2．“与”运算“与”运算的运算符是“·”、“*”、“∧”或是空。在本书中使用“”表示“与”运算符。“与”运算的定义如表2-1所示。F=AB是“与”运算逻辑函数。“AB”称为F的“与”运算表达式。3．“或”运算“或”运算的运算符是“+”、“∨”。本书中使用“+”表示“或”运算符。“或”运算的定义如表2-2所示。F=A+B是“或”运算逻辑函数。“A+B”称为F的“或”运算表达式。4．“非”运算“非”运算的运算符是“”或“”，本书中使用“”表示“非”运算符。“非”运算的定义如表2-3所示。F=A是“非”运算逻辑函数。A是“非”运算的逻辑表达式。在逻辑函数中，A称为反变量，A称为原变量。第2章布尔代数基础2.1逻辑代数基础5．“异或”运算“异或”运算的运算符是“⊕”。“异或”运算的定义如表2-4所示。F=A⊕B是“异或”运算逻辑函数。“异或”运算逻辑函数还可以用F=AB+AB表示。6．“同或”运算“同或”运算的运算符是“⊙”。“同或”运算的定义如表2-5所示。F=A⊙B是“同或”运算逻辑函数。“同或”运算逻辑函数还可以用F=AB+AB表示。“异或”运算表达式与“同或”运算表达式有如下关系：A⊕B＝A⊙B，A⊙B＝A⊕B第2章布尔代数基础2.1逻辑代数基础2.1.2逻辑函数第2章布尔代数基础2.1逻辑代数基础根据上面逻辑函数的定义，对于某一个具体的逻辑电路，输出变量F的值取决于由输入变量A1,A2,…，An构成的2n个组合的取值。另外，输出逻辑变量F的值还取决于逻辑电路的结构。也就是，输出逻辑变量F的值取决于输入变量A1A2，…An的取值、逻辑电路的结构以及逻辑电路使用的门电路类型。逻辑函数的定义说明一个逻辑电路能够用一个逻辑函数F=f(A1,A2,…，An)表示，即一个逻辑电路对应一个逻辑函数。讨论逻辑函数也就是讨论这个逻辑函数对应的逻辑电路。逻辑函数的定义实现了将一个具体的逻辑电路采用抽象的逻辑函数表示，这样可以使用数学工具来研究逻辑电路。第2章布尔代数基础2.1逻辑代数基础在数字逻辑中使用逻辑函数研究逻辑电路从两个方面进行：一方面是在对某一个具体的逻辑电路进行分析，使用逻辑函数写出它的表达式，分析逻辑函数即分析相应的逻辑电路；另一方面是使用逻辑函数进行逻辑电路的设计。逻辑电路的设计要求一般是用文字表述的。根据文字表述，使用设计方法进行逻辑电路设计，得到的是按要求设计的逻辑电路的逻辑函数。最后根据逻辑函数画出按要求设计的逻辑电路。因此，逻辑函数是逻辑电路分析和设计的重要数学工具。第2章布尔代数基础2.1逻辑代数基础2.1.3逻辑代数的公理、定理和规则逻辑代数系统有它的公理系统，公理系统不需要证明。逻辑代数系统的公理为逻辑代数的定理提供证明的依据。公理和定理也为逻辑代数证明提供演绎的数学基础。1、公理系统公理10-1律对于任意的逻辑变量A，有A+0=AA∙1=AA+1=1A∙0=0公理2互补律对于任意的逻辑变量A，存在唯一的A,使得A+A=1AA=0公理3交换律对于任意的逻辑变量A和B，有A+B=B+AAB=BA第2章布尔代数基础2.1逻辑代数基础公理4结合律对于任意的逻辑变量A、B和C，有(A+B)+C=A+(B+C)(AB)C=A(BC)公理5分配律对于任意的逻辑变量A、B和C，有A+(BC)=(A+B)(A+C)A(B+C)=AB+AC2、基本定理根据逻辑代数的公理，推导出逻辑代数的基本定理。定理10+0=01+0=10+1=11+1=10·0=01·0=00·1=01·1=1第2章布尔代数基础2.1逻辑代数基础第2章布尔代数基础2.1逻辑代数基础第2章布尔代数基础2.1逻辑代数基础第2章布尔代数基础2.1逻辑代数基础第2章布尔代数基础2.1逻辑代数基础3、逻辑代数的重要规则：逻辑代数有三条重要规则，它们是代入规则、反演规则和对偶规则。这三条规则常常使用在逻辑表达式的运算和变换中。1)逻辑函数的相等如果两个逻辑函数：F1=f1(A1,A2,…，An),F2=f2(A1,A2,…,An)对于逻辑变量A1，A2，……An的任何一组取值，分别代入到逻辑函数F1、F2中去。逻辑函数F1、F2如果都同时为“0”或者同时为“1”，则称逻辑函数F1与F2相等。2）代入规则任何一个含有逻辑变量A的逻辑等式，如果将所有出现逻辑变量A的地方都用一个逻辑函数F代入，则该逻辑等式仍然成立，这个规则称为代入规则。第2章布尔代数基础2.1逻辑代数基础第2章布尔代数基础2.1逻辑代数基础第2章布尔代数基础2.1逻辑代数基础第2章布尔代数基础2.1逻辑代数基础第2章布尔代数基础2.1逻辑代数基础第2章布尔代数基础2.1逻辑代数基础2.1.5逻辑函数的标准形式在逻辑函数的“与项”或者“或项”中，有些逻辑变量的个数与逻辑函数的变量个数相同，有些缺少其中的某些变量。另外在“与项”、“或项”中有些逻辑变量全部以原变量出现，有些全部以反变量出现，还有一些以原变量和反变量混合出现。逻辑函数的标准形式是在逻辑函数表达式中全部的“与项”用“小项”组成。逻辑函数的另一种标准形式是在逻辑函数中全部的“或项”用“大项”组成。在逻辑电路的分析和设计中，逻辑函数时常用小项或者大项表示。另外，逻辑函数有时也需要用小项或者大项表示。下面分别介绍小项与大项的概念，以及用小项或者大项表示的逻辑函数，即逻辑函数的标准形式。第2章布尔代数基础2.1逻辑代数基础1.小项的定义和性质一个有n个变量的逻辑函数F，它的一个“与项”包含有n个变量，每个变量以原变量或者反变量的形式出现在这个“与项”中，且仅出现一次，则这个“与项”称为该逻辑函数F的一个小项。一个逻辑函数完全用小项表示，则称该逻辑函数是小项标准形式。第2章布尔代数基础2.1逻辑代数基础第2章布尔代数基础2.1逻辑代数基础第2章布尔代数基础2.1逻辑代数基础第2章布尔代数基础2.1逻辑代数基础第2章布尔代数基础2.1逻辑代数基础第2章布尔代数基础2.1逻辑代数基础第2章布尔代数基础2.1逻辑代数基础2.1.6逻辑函数表达式的转换逻辑函数表达式的转换是把逻辑函数表达式的基本形式转换成标准形式。转换方法是采用逻辑代数方法。在转换中使用逻辑代数中的公理、定理和规则。1.“积之和”表达式转换成小项表达式“积之和”表达式转换成用小项表示的标准形式，首先要将被转换的逻辑函数转换成“积之和”表达式。然后，在“积之和”表达式中使用X=X(Y+Y)，用以扩充被转换表达式中每一个“与项”中缺少的逻辑变量，使得每一个“与项”是小项。式中的X是某个“与项”中已有的逻辑变量，Y是扩充的逻辑变量。在扩充中如果有相同的小项产生出来，进行合并。被转换的表达式就是用小项表示的标准形式。第2章布尔代数基础2.1逻辑代数基础第2章布尔代数基础2.1逻辑代数基础如果被转换的逻辑函数是“和之积”表达式，则需要首先把“和之积”表达式转换成“积之和”表达式，然后再使用上述方法进行转换。2.“和之积”表达式转换成大项表达式“和之积”表达式转换成大项的标准形式，首先要将被转换的逻辑函数转换成“和之积”表达式，然后在“和之积”表达式中使用X=(X+Y)(X+Y)，用以扩充被转换表达式中的每一个“和之积”项中缺少的逻辑变量，使得每一个“和之积”是大项。式中X是某个“和之积”项中已有的变量，Y是扩充的逻辑变量。在扩充中如果有相同大项产生进行合并。被转换的表达式就是用大项表示的标准形式。第2章布尔代数基础2.1逻辑代数基础第2章布尔代数基础2.2逻辑函数的化简如前所述，一个逻辑函数的表达式有不同的形式。由于一个逻辑函数对应一个逻辑电路，逻辑函数表达式的形式不同，它们所代表的逻辑电路的结构就不相同，但是在功能上又是相同的。逻辑函数表达式的形式越简单，它所对应的逻辑电路就越简单。这是逻辑电路设计中要考虑的问题。为了减少逻辑电路的复杂性，降低成本，对逻辑函数表达式存在化简的问题。逻辑函数的化简是去掉表达式中多余的“与项”或者是“或项”，求得最简的逻辑函数。所谓最简的逻辑函数，一是逻辑函数表达式中的“与项”、“或项”个数最少，二是“与项”、“或项”中的逻辑变量的个数最少。对逻辑函数化简目前使用最多的方法是代数化简法和卡