第2章平面系的合成与平衡

1建筑力学与结构第2章平面力系的合成与平衡2第2章平面力系的合成与平衡2.1力系简化的基础知识2.2力矩与力偶目录2.3平面力系的合成2.4平面力系平衡方程的应用32.1.1平面力系的分类平面力系平面汇交力系平面一般力系力系中各力的作用线都处于同一个平面，称为平面力系。在平面力系中，各力的作用线都汇交于一点，称为平面汇交力系。平面平行力系在平面力系中，各力的作用线都互相平行，称为平面平行力系。在平面力系中，各力的作用线既不完全平行，也不完全相交，称为平面一般力系。2.1力系简化的基础知识4平面汇交力系平面平行力系平面任意力系2.1.1平面力系的分类2.1力系简化的基础知识5空间汇交力系空间一般力系空间平行力系2.1.1平面力系的分类2.1力系简化的基础知识61.力的平行四边形法则作用在物体上同一点的两个力，可以合成为仍作用于该点的一个合力，合力的大小和方向由以原来的两个力为邻边所构成的平行四边形的对角线矢量来表示。力的平行四边形法则2.1.2力的合成A1F2FRF表达式：RF1F2F7三角形法则•（1）力的三角形法则：两个力首尾相接，起点和终点相连，但次序可变，合力的终点就是最后分力的终点。•（2）计算大小和方向，不代表作用点及作用线。2.1.2力的合成三角形法则1F2F1F1F2F2FRFRF8力的多边形法则：把各力矢按一定次序首尾相接，形成力矢折线链，加上封闭边得到了一个多边形，合力矢是封闭边，合力矢的方向是从第一个力矢的起点指向最后一个力矢的终点。FRF1BF2CF3DF4EAAF2F1F4F3FRF1BF2CF3DF4EA2.力的多边形法则2.1.2力的合成9汇交力系可以合成为一个力，合力作用在力系的公共作用点，它等于这些力的矢量和，并可由这力系的力多边形的封闭边表示。矢量的表达式：FRF1BF2CF3DF4EAAF2F1F4F3FRF1BF2CF3DF4EA2.1.2力的合成2.力的多边形法则niinRFFFFF121......102.力的多边形法则2.1.2力的合成RFO1FA2FB3FC4FD5FEO1F2F3F4F5F11AB30ºaaC(a)60º30º60º30º解：(1)取梁AB作为研究对象。(4)解出：FA=Pcos30=17.3kN，FB=Psin30=10kN(2)画出受力图。(3)应用平衡条件画出P、FA和FB的闭合力三角形。[例2-1]水平梁AB中点C作用着力P，其大小等于20kN，方向与梁的轴线成60º角，支承情况如图(a)所示，试求固定铰链支座A和活动铰链支座B的反力。梁的自重不计。12几何法解题步骤：1.取研究对象；2.画受力图；3.作力多边形；4.选比例尺；5.解出未知数。几何法解题不足：1.精度不够，误差大；2.作图要求精度高；3.不能表达各个量之间的函数关系。平面汇交力系合成与平衡的另一种方法：解析法。平面汇交力系合成与平衡的几何法131.力在坐标轴上的投影abFxFyOxyba从力F的始点A和终点B分别向x轴作垂线，得垂足a和b，则线段ab称为力F在x轴上的投影，用Fx表示。ABF从力F的始点A和终点B分别向y轴作垂线，得垂足和，则线段称为力F在y轴上的投影，用Fy表示。abab2.1.3力的投影与合力投影定理14abFxFyOxybaABFFx和Fy的计算公式：力的投影为代数量，其正负号规定如下：若投影的始端a（或）到投影的末端b（或）方向与x轴（或y轴）的正向一致，则投影Fx（或Fy）为正；反之为负。abFx=±FcosαFy=±Fsinα1.力在坐标轴上的投影2.1.3力的投影与合力投影定理15力的方向与其投影的正负号2.1.3力的投影与合力投影定理16AF2F1(a)F3以三个力组成的共点力系为例。设有三个共点力F1、F2、F3如图。2.合力投影定理2.1.3力的投影与合力投影定理F1F2F3xABCD(b)RF17合力在x轴上投影：F1F2F3xABCD(b)推广到任意多个力F1、F2、Fn组成的平面汇交力系，可得：abcd各力在x轴上投影：合力投影定理：合力在坐标轴上的投影，等于它的各个分力在同一坐标轴上投影的代数和。RFRF18合力的大小：合力的方向：根据合力投影定理得合力作用点：为该力系的汇交点iynyyyRyFFFFF...21ixnxxxRxFFFFF...2122RyRxFFFROxyFFRxFRyixiyRxRyFFFFtan19[例2-2]一固定于房顶的吊钩上有3个力F1，F2，F3，其数值与方向如图所示，用解析法求些3力的合力。)(100030cos20000732321NFFFFxxxRx)(173230sin20007320321NFFFFyyyRy)(200022NFFFRyRxR60,732.1tanRxRyFF2012FF、、3F13FkN24FkN35FkN【例2-3】固定于墙内的环形螺钉上，作用有3个力，各力的方向如图所示，各力的大小分别为，。试求螺钉作用在墙上的力。解：要求螺钉作用在墙上的力可先求作用在螺钉上三力合力。kNFFFFFxxxxRx33.830cos54032121根据力的平衡可知，墙给螺钉的作用力应与FR大小相等方向相反。再根据牛顿第三定律可知，螺钉作用在墙上的力F`R=FR=8.345kN。3.4kNFFFFFyyyyRy5.030sin503321kNFFFRyRxR345.8)5.0(33.8222206.033.85.0tanRxRyFF22平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系的合力为零。3、汇交力系平衡的解析充要条件0022RyRxFFFR00yRyxRxFFFF或：力系中所有力在各个坐标轴上投影的代数和分别等于零。为平衡的充要条件，也叫平衡方程23解析法求解汇交力系平衡问题的一般步骤:1.选分离体，画受力图。分离体选取应最好含题设的已知条件。2.建立坐标系。3.将各力向各个坐标轴投影，并应用平衡方程求解。00xyFF2个方程解能求解2个未知力。24解：1.取滑轮B轴销作为研究对象。2.画出受力图（b)。FBCTFABPxy30°30°bB[例2-4]利用铰车绕过定滑轮B的绳子吊起一重P=20kN的货物，滑轮由两端铰链的水平刚杆AB和斜刚杆BC支持于点B(图(a))。不计铰车的自重，试求杆AB和BC所受的力。30°BPAC30°a253.列出平衡方程：x0:F4.联立求解，得反力FAB为负值，说明该力实际指向与图上假定指向相反。即杆AB实际上受拉力。y0:FFBCTFABPxy30°30°bB030sin30cosTFFABBC030cos30sinTPFBC26C2.2.1力矩和合力矩定理当力F作用在乒乓球的下侧时：1.力对点之矩FC平移转动C问题？如何度量力的转动效应？2.2力矩和力偶27FO力的转动效应取决于：力F的大小O点到力F作用线的垂直距离d矩心力臂d力矩力F与力臂d的乘积Fd，称为力F对O点的力矩，简称力矩，用MO(F)。FdFMO)(F↑,d↑转动效应↑1.力对点之矩2.2力矩和力偶28FO矩心力臂d力矩力F与力臂d的乘积Fd，称为力F对O点的力矩，简称力矩，用MO(F)。FdFMO)(力矩正负号表示转动方向：逆时针为正+－顺时针为负逆正顺负力矩的单位：或mNmkN2.2力矩和力偶1.力对点之矩29由力矩的定义可以得到如下性质：（1）力F对点O的矩，不仅决定于力的大小，同时与矩心的位置有关。（2）当力的大小为零或力臂为零时，力矩为零。（3）力沿其作用线移动时，因为力的大小、方向和力臂均没有改变，故力矩不变。（4）相互平衡的两个力对同一点的矩的代数和等于零。2.2力矩和力偶1.力对点之矩30合力矩定理合力FR对某一点O之矩，等于其分力Fi(i=1~n)对同一点之矩的代数和。)()()()()(21iOnOOOOFMFMFMFMFMR力矩计算方法当力臂易求时，按力矩定义计算当力臂难求时，用合力矩定理计算2.2力矩和力偶2.合力矩定理31[例2-5]求:.FMO解:mN93.78cosθrFhFFMO按合力矩定理mNrθFFMFMFMrOtOO93.78cos,20θmm60r已知:F=1400N,直接按定义32[例2-6]支架如图所示，已知AB=AC=30cm,BD=15cm，F=100N,α=30°,试分别根据力矩的定义和合力矩定理求力F对A、B、C三点的力矩。并比较计算结果。【解】（1）根据力矩定义计算，得：mNADF（F）MA.5.22sinmNBDF（F）MB.5.7sinmBDACABACBDAEABACEDACEHCECH485.0139.0346.0sin)tan(cossin)(cossincosmNCHF（F）MC.5.48485.010033(2)将力F分解为水平力Fx和铅垂力Fy，如图中所示。NFFNFFyx50sin,5.86cosmNADFFFM（FM（F）MyxyAxAA.5.220)()mNBDFFFM（FM（F）MyxyBxBB.5.70)()mNADFACFFM（FM（F）MyxyCxCC.5.48)()34把大小相等、方向相反、作用线平行的两个力组成的力系叫做力偶。并记作（F，F）。力偶的概念2.2.2力偶和力偶矩1.力偶d35把大小相等、方向相反、作用线平行的两个力组成的力系叫做力偶。并记作（F，F）。力偶的概念力偶作用面：组成力偶的两个力所在的平面。力偶臂：力F和F作用线之间的垂直距离d。d2.2.2力偶和力偶矩1.力偶36力偶矩d力偶作用于物体，将使物体产生转动效应。用力偶矩来度量。FdM力偶矩：力和力偶臂d的乘积。记作或M。)(FFM，力偶矩的单位：N·m或kN·m+_力偶矩正负号：逆时针为正顺时针为负2.2.2力偶和力偶矩2.力偶矩度量力偶对物体转动效应的三要素：力偶矩的大小、力偶的转向、力偶的作用面。37dFFyxo力偶的性质性质1：力偶无合力，即力偶不能用一个力来代替，也不能用一个力来平衡。力偶只能与力偶相平衡。性质2：在同一个平面的两个力偶，如果力偶矩的大小相等，转向相同，则两个力偶等效。性质3：力偶对其平面内任一点之矩恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关。力偶在坐标轴上的投影等于零。FdF’2.2.2力偶和力偶矩3.力偶的基本性质38推论1：任何一个力偶在其作用面内任意的转移，而不会改变它对刚体的转动效应。推论2：在力偶矩大小不变的条件下，可以改变力偶中的力和力偶臂的长短，而不改变力偶对物体的转动效应。用力偶作用面内的一个圆弧箭头表示力偶，圆弧箭头的方向表示力偶转向，弧线旁的字母M或数值表示力偶矩的大小。2.2.2力偶和力偶矩3.力偶的基本性质39根据力的可传性原理，力沿其作用线移动到刚体上任意一点，而不改变力对刚体的效应。那么，力是否可以离开作用线向任意点平移（即力线的平移）呢？?2.2.3力的平移定理40A点的力平行移动至B点时，必须附加一个相应的力偶，这样才与原力对物体作用的效应相等。FFF'F″FF'M=FhF'=F″=F2.2.3力的平移定理41力的平移定理：作用于刚体上的力可以平行移动至刚体内任意一点，欲不改变它对刚体的作用效应，则必须附加一个相应的力偶，此力偶矩等于原力F对新的作用点之矩。MFh'FFFhF'M2.2.3力的平移定理42力平移的应用划船43例如用丝锥攻丝P'P44如一厂房中行车梁立柱受力将P力平移至立柱轴线的O点处，并附加一个力偶，该力偶矩M=Pe式中，e称为偏