第2章应力.

1弹塑性理论2力和应力的概念二维应力状态与平面问题的平衡方程一点处的应力状态的描述边界条件主应力与主方向球张量与应力偏量第2章应力3作用在物体上的外力可分为表面力和体积力，简称面力和体力。力和应力的概念所谓面力指的是作用在物体表面上的力，如风力、液体压力、两固体间的接触力等。物体上个点所受的面力一般是不同的。为了表明物体表面上的一点P所受面力的大小和方向，我们在P点的邻域取一包含P点在内的微小面积元素△SsSpSplim04sSpSplim0△S是标量，故矢量的方向与△p的极限方向相同sp在坐标轴x,y,z方向的投影称为P点面力的分量，并规定指向坐标轴正方向的分量为正，反之为负。spzyxppp,,作用在物体表面上的力都占有一定的面积，但对于作用面很小的面力通常理想化为作用在一点的集中力。5体力：则是满布在物体内部各质点上的力，如重力、惯性力。电磁力等。物体内各点所受的体力一般也是不同的。我们可以仿照对面力的讨论，得出物体内一点C所受的体力为按体积计算的平均集度/△V，在微小体积元素△V无限缩小而趋于C点时的极限矢量，即bFbbVFVFlim0显然，体力矢量的方向就是△V内的体力△F的极限方向。bF122222LmTLTmLLma////力长度面积力面力分量的量纲：6体力分量的量纲：332322/ma/LmL/T/LmTL力体积力长度固体材料受外力作用后就要产生内力和变形。用以描述物体中任何部位的内力和变形特征的力学量度是应力和应变。应力的概念，在材料力学课程中虽已讨论并应用过，但由于这一概念的重要性，我们在这里除了强调应力的确切含义之外，还要进一步给出在受力物体内某一点处的应力状态的描述方法。柯西（A.L.Cauchy，1789—1857）首先提出了应力和应变的理论。为了说明应力的概念7CSSpClim0这个极限矢量就是物体在过C面上P点处的应力应力可分解为其所在平面的外法线方向和切线方向这样两个分量。沿应力所在平面的外法线方向（n）的应力分量叫做正应力，记做。沿切线方向的应力分量叫做剪应力，记做。nnCnSnSpClim0CsSnSpClim08如果中的n方向与y坐标轴的方向一致，则此时有yn及yn其中是作用在C截面内的剪应力，如将分解为沿x轴和z轴的两个分量，并记作和，则过C面上P点的应力分量为yyxyzyzyxy,,第一个字母表示应力所在面的外法线方向；第二个字母表示应力分量的指向。应力的正负号规定为：正应力以拉应力为正，压应力为负。9剪应力的正负号规定分为两种情况：当其所在面的外法线与坐标轴的正方向一致时，则以沿坐标轴正方向的剪应力为正，反之为负；当其所在面的外法线与坐标轴的负方向一致时,则以沿坐标轴负方向的剪应力为正，反之为负。图中的各应力分量均为正应力及其分量的量纲为[力][长度]-2单位为帕（Pa）=N/m210在以上的讨论中，过P点的C平面是任选的。显然，过P点可以做无穷多个这样的平面C。或者说，过P点有无穷多个连续变化的n方向。不同面上的应力是不同的。这样，就产生了一个到底如何描绘一点处应力状态的问题。为了研究P点处的应力状态，我们在P点处沿坐标方向取一个微小的平行六面体，其六个面的外法线方向分别与三个坐标轴的正、负方向重合，各边长分别为△x，△y，△z.。假定应力在各个面上均匀分布，于是各面上的应力矢量便可用作用在各面中心点的一个应力矢量来表示。每个面上的应力又可以分解为一个正应力和两个剪应力分量。按前面约定的表示法，图中给出的各应力分量均为正方向。11当微小的平行六面体趋于无穷小时，六面体上的应力就代表P点处的应力。因此，P点处应力分量共有九个，其中有三个正应力分量、六个剪应力分量（以后将证明剪力互等定理，从而实际上独立的剪应力分量只有三个）。我们把这9个应力按一定规则排列，令其中每一行为过P点的一个面上的三个应力分量xxxyxzyyyzzxzyz,ij12zzyzxyzyyzxzxyx9个应力分量定义一个新的量∑，它描绘了一种物理现象，即P点处的应力状态。∑是对坐标系Oxyz而言的，当坐标系变换时，它们按一定的变换式变换成另一坐标系Ox'y'z'中的九个量'''''''''''''''zyzxzzyyzyzxyxx这9个量描绘同一点P的同一物理现象，所以它们的定义仍为∑。数学上，在坐标变换时，服从一定的坐标变换式的九个数所定义的量叫做二阶张量。根据这一定义，∑是一个二阶张量，并称为应力张量。以后将证明，应力张量为一对称的二阶张量。各应力分量即为应力张量的元素。13应力张量通常表示为zzyzxyzyyxxzxyxij其中i，j=x，y，z，当i，j任取x，y，z时，便得到相应的分量应力张量与3×3阶的矩阵写法相同。如令i代表行，j代表列，行列数1，2，3，对应于x，y，z。例如第二行第三列的元素为，及应力分量为，余类推。23yz应当指出，物体内个点的应力状态，一般来说是不同的，即非均匀分布的。亦即，各点的应力分量应为坐标x,y,z的函数。所以，应力张量与给定点的空间位置有关，谈到应力张量总是针对物体中的某一确定点而言的。以后我们将看到，应力张量完全确定了一点处的应力状态。ij14二维应力状态与平面问题的平衡方程上一节中讨论力和应力概念时，是从三维受力物体出发的，其中P点是从一个三维空间中取出的点。现为简单起见，我们首先讨论平面问题，掌握了平面问题以后，再讨论空间问题就比较容易了。平面问题的特点是物体所受的面力和体力以及其应力都与某一个坐标轴（例如x轴）无关。平面问题又分为平面应力问题与平面应变问题。平面应力问题：等厚度薄板，板边承受平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。1502tzzttxzyzzz220由于板的厚度很小，外荷载又沿厚度均匀分布，所以可以近似地认为应力沿厚度均匀分布。由此，在垂直于z轴的任一微小面积上均有0zxzyz16根据我们后面将要证明的剪力互等定理，即应力张量的对称性，还有0zxzy00000yyxxyxij17xy平面应力问题特点：1)长、宽尺寸远大于厚度2)沿板边受有平行板面的面力，且沿厚度均布，体力平行于板面且不沿厚度变化，在平板的前后表面上无外力作用。问题相反。0z注意：平面应力问题z=0，但，这与平面应变18平面应变问题现在讨论平面问题。设有等截面柱体，其纵轴方向（Oz坐标方向）很长。外荷载及体力为作用在垂直于Oz方向且沿z轴均匀分布的一组力。图所示的挡土墙是这类问题的典型例子。如略去端部效应，则由于外荷载沿z轴方向为一常数，故可以认为，沿纵轴方向各点的位移与其所在z方向的位置无关。如令u,v,w分别为一点在x,y,z坐标方向的位移分量0),(),(wyxvvyxuuzyyxxyxij0000不是一个独立的量，它可以由和求出zxy19下面讨论物体处于平衡状态时，各点应力及体力的相互关系，并由此导出平衡方程。假定从处于平面应力状态的物体中取出一个微小矩形单元abcd（图中的阴影部分），其两边的长度分别为dx,dy,厚度就是原物体的厚度t。这里，因dxt，dyt为微小面元，故面元上任一点的应力分量值，可以用该面元中点的应力分量表示。在此微小单位体不同的边上，应力分量值也不同。20则cd边上，由于距y轴的距离增加了dx，正应力分量随之变化。应力分量的这种变化可用泰勒级数展开来求。实际上，我们有),(22dydxodyydxxabxabxabxcdxdxxxx注意到，ab线元与cd线元上的应力分量，皆可用相应线元中点处的应力分量来表示。2102222dydxdyFdydxdyFdxdydydydxdxxdydydxxdxdydxybxbyyyxyxxyxyxy略去dx、dy的三次方项，得yxxy这就是前面曾经提到的剪应力互等定理22由平衡条件∑X=0得0dxdyFdxdxdyydydydxxbxyxyxyxxxx0dxdyFyxbxyxx0bxyxxFyx同理由∑Y=0得0byyxyFxy23对于三维应力状态的情况，可从受力物体中取出一微小六面体单元，可类似地导出yxxyzxxzzyyz000bzzyzxzbyzyyxybxxzyxxFzyxFzyxFzyx24如果采用张量符号与下标记号法，则剪应力互等定理可缩写为：jiijzyxji,,,由此可知，应力张量为一对称张量，其中只有6个独立元素zyzyxzxyxij（对称）在平面应力状态，有000（对称）yxyxij25000bzzyzxzbyzyyxybxxzyxxFzyxFzyxFzyx平衡方程可缩写为0,bijijFFbi是体积力(集度)分量260jij,就代表000zyxzyxzyxzyzxzzyyxyxzyxx不考虑体积力272.3一点处的应力状态的描述现以平面问题为例说明一点处应力状态的描述。为此，我们在受力物体中取一个微小三角形单元，如图所示，其中AB，AC与坐标y，x重合，而BC的外法线与x轴成θ角。取x'y'坐标，使BC的外法线方向与x'方向重合xyyx,,已给定，则BC面上的正应力与剪应力可用已知量表示由于θ角的任意性，则当BC面趋于A点时，便可以说求得了描绘过A点处的应力状态的表达式。28假定BC的面积为1，则AB和AC的面积分别为cosθ与sinθ。于是，由平衡条件∑X=0和∑Y=0可得sincossincosxyyxyyxxppsincossincos'''xyyxyxxppppcossinsincoscossin2sincos22''22'xyxyyxxyyxx29假定AB的面积为1，则PA和PB的面积分别为cosθ与sinθ。于是，由平衡条件∑X=0和∑Y=0可得sincossincosxyyxyyxxppsincossincos'''xyyxyxxppppcossinsincoscossin2sincos22''22'xyxyyxxyyxxPABxyxyNyxNNXNYSNyxo30cossinsincoscossin2sincos22''22'xyxyyxxyyxx2sin2cos2121'xyyxyxx2cos2sin21''xyxyyx改写成把前式中的θ换成，则得22sin2cos2121'xyyxyxy31在三维的情况下，我们在任意一点O附近取出一微小四面体单元