第2章控制系统的数学模型

1控制系统的数学模型（2章补充）描述变量之间关系的代数方程叫静态数学模型；描述变量各阶导数之间关系的微分方程叫动态数学模型。同一系统可用不同的数学模型形式描述，输入输出型，外部描述，经典控制理论的主要研究方法。状态变量型，内部描述，适用于多输入多输出系统、时变、非线性和随机控制系统。本课略方框图模型，描述系统结构比较直观。传递函数：按0初始态进行拉氏变换，将微分方程转换成数学方程以方便分析和计算。时域响应：信号按时间变化的规律。微分方程形式频域响应：信号按频率变化的规律。将传递函数中的S用jω代换两者之间有确定的对应关系。数学模型的建立方法有分析法和实验法两类。分析法是依据物理和化学定律，列写出各变量之间的数学关系式。也称为解析法。实验法是对系统施加某种典型输入信号，记录其输出响应，比对已知关系得到系统的数学模型。时域数学模型举例在如图无源电路网络系统中，1R和2R为电阻，C为电容，)(tui为输入电压；)(tuo为输出电压。根据基尔霍夫定律和欧姆定律，有（2-1）整理后输入输出模型为（2-2）有源电路网络系统如图，R为电阻，C为电容，)(tui为输入电压；)(tuo为输出电压，0K为理想运算放大器。运算放大器的反相输入端A点为虚地点，则)()(21titi)()()()(12211tudttduCRtuRRRdttduCRiioo21)()]()([)()(RtudttutudCRtutuooioi2)()(tudttduRCio据此，可列出)(tui和)(tuo的关系：dttduCRtuoi)()(（2-3）经整理，（2-4）图2-3中水箱的流入流量为Qi，流出流量QO，它们都受相应的阀门控制。设该系统的输入量为Qi，输出量为液面高度H，则它们之间的微分方程式可列写如下：设液体是不可压缩的，根据物质守恒定律，可得：dtQoQiAdH(2-5)式中A—水箱截面积(米2)；H—液面高度(米)；Qi、QO—流入、流出液体流量(米3/秒)。这里QO是个变量，所以须求出中间变量QO才能得到H与Qi的关系。假设通过节流阀的流体是紊流，按流量公式可得(2-6)式中α为节流阀的流量系数，当H变化不大时，α可近似认为只与节流阀的开度有关，若节流阀开度不变，则α为常数。消去中间变量QO，就得输入输出关系式iQAHAdtdH1(2-7)这是个一阶非线性微分方程式。对于较复杂的系统，列写输入输出系统微分方程可采用以下一般步骤：（1）将系统划分为环节，确定各环节的输入及输出信号，每个环节可考虑列写一个方程。（2）根据定律或通过实验等方法得出的规律列写各环节的方程式，并考虑适当简化，线性化。（3）消去中间变量，最后得出只含输入变量、输出变量以及参量的系统方程式。RHHHHQHHo0'AQQdtdHoi3单输入、单输出系统用微分方程表示的数学模型有如下的一般形式：)(0tcdtdann+)(111tcdtdann+…+)()(1tcatcdtdann=)(0trdtdbmm)(111trdtdbmm+…+)()(1trbtrdtdbmm（2-8）式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，a0，a1，…，an，b0，b1，…，bm是与系统结构参数有关的常系数。令C(s)=L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，在初始条件为零时，对上式进行拉氏变换，可得到s的代数方程[nsa0+11nsa+…+san1+na])(sC=[msb0+11msb+…+sbm1+mb])(sR（2-9）于是，系统的传递函数为：nnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsCsG11101110)()()(（2-10）传递函数是在初始条件为零(或称零初始条件)时定义的。控制系统的零初始条件有两方面的含义，一是指输入作用是在t=0以后才作用于系统，因此，系统输入量及其各阶导数在t=0时的值均为零；二是指系统在输入作用加入前是相对静止的，因此，系统输出量及其各阶导数在t=0时的值也为零。现实的控制系统多属此类情况，这时，传递函数可以完全表征系统的动态性能。传递函数的性质传递函数是个非常重要的概念，它是分析线性定常系统的有利数学工具，它有以下特点：（1）传递函数只取决于系统和元件的结构和参数，与初始条件和输入无关。（2）传递函数只适用于线性定常系统，因为它是由拉氏变换而来的，而拉氏变换是一种线性变换。（3）传递函数是复变量s的有理真分式函数，具有复变函数的所有性质，m≤n且所有系数均为实数。（4）传递函数与微分方程是一一对应的。传递函数分子多项式系数及分母多项式系数，分别与相应的微分方程的右端及左端微分算符多项式系数相对应。故将微分方程的算符dtd用复数s置换便得到传递函数；反之，将传递函数多项式中的变量s用算符dtd置换便得到微分方程。（5）一个传递函数只能表示一个输入与一个输出之间的关系，对于多输入-多输出系统，不能用一个传递函数去描述，而要用传递函数矩阵去表征系统输入与输出间的关系。（6）传递函数)(sG的拉氏反变换是脉冲响应)(tg。脉冲响应)(tg是系统在单位脉冲)(t输入时的输出响应，此时1)]([)(tLsR，故有)]([)]()([)]([)(111sGLsRsGLsCLtg。（7）传递函数的零点和极点。传递函数用因式连乘的形式表示：)(sG)(sR)(sC图2-4传递函数的图示4)())(()())(()()()(2121nmpspspszszszsksRsCsG，m≤n式中k为常数，-z1,…,-zm为传递函数分子多项式方程的m个根，称为传递函数的零点；-p1,…,-pn为分母多项式方程的n个根，称为传递函数的极点。显然，零、极点的数值完全取决于诸系数b0…bm及a0…an，亦即取决于系统的结构参数。一般zi,pi可为实数，也可为复数，且若为复数，必共轭成对出现。将零、极点标在复平面上，则得传递函数的零极点分布图，如图2-8所示。图中零点用“”表示，极点用“”表示。典型环节及其传递函数不管元件是机械式、电气式、气动式或液压式等等，只要它们的数学模型一样，它们就是同一种环节。这样划分，为系统的分析和研究带来很多方便，对理解和掌握各种元件对系统动态性能的影响也很有帮助。以下列举几种典型环节及其传递函数。它们的阶数不超过2。（一）比例环节在时域里，若某环节的输入、输出函数成比例，可表示为)()(tKrtc设初始条件为零，将上式两边进行拉氏变换得)()(sKRsC则比例环节的传递函数为G(s)=K（2-12)这表明，比例环节输出量与输入量成正比，不失真也不迟延，所以又称为无惯性环节或放大环节。无弹性变形的杠杆、不计非线性和惯性的电子放大器、测速发电机（输出为电压、输入为转速时）等都可认为是比例环节。图2-6(a)所示为一电位器，它的输入电压经分压后作为输出电压，所以在不考虑负载效应时，电位器可以看成比例环节。这一环节的输入量和输出量关系，可用图2-6(b)所示的方框图来表示。（二）惯性环节11i（a）(b)图2-6比例环节5在时域里，输入、输出函数可表示为如下一阶微分方程：)()()(tKrtcdttdcT设初始条件为零，将上式两边进行拉氏变换得)()()(sKRsCsTsC则惯性环节的传递函数为1)(TsKsG（2-13）式中K——环节的比例系数；T——环节的时间常数。图2-7惯性环节当环节的输入量为单位阶跃函数时，若环节的输出量按指数曲线上升，就具有惯性。（三）积分环节如果输出变量正比于输入变量对时间的积分，即dttrKtc)()(进行拉氏变换后得ssRKsC)()(则积分环节的传递函数为sTsKsGi1)(（2-14）式中iT为积分时间，K为积分增益图2-8积分环节当积分环节的输入信号为单位阶跃函数时，则输出为iTt，它随着时间直线增长，如图2-8(a）所示。直线的增长速度由iT决定，即iT越小，上升越快。当输入为0，输出维持不变，故有记忆功能。对于理想的积分环节，只要输入信号不为0，输出就要不断变化，直至无限（当然，对于实际元件，由于能量有限、饱和限制等，是不可能到达无限的）。比较图2-7(a)和图2-8(a)，当惯性环节的时间常数很大，在起始的一段时间内，输出响应曲线近似为直线，所以这时惯性环节的作用就近似一个积分环节。图2-8(b)为控制系统中一种常用的积分调节器。积分时间常数为RC。（四）微分环节1、理想微分环节如果输出变量与输入变量的变化率成正比，即dttdrTtcd)()(式中，dT为微分时间。6进行拉氏变换后得)()(ssRTsCd则理想微分环节的传递函数为sTsGd)((2-15)如输入是单位阶跃函数1(t)，则理想微分环节的输出为c(t)=dT(t)，是个脉冲函数（理想的）。由于微分环节是按输入信号的变化趋势输出，所以常用来改善控制系统的动态性能。图2-9微分环节理想微分环节是物理不可实现的，实际上只有近似的。如图2-9，其中(a)为测速发电机，当其输入为转角，输出为电枢电压u时，则有dtdKut。图中(b)为微分运算器，它是近似的理想微分环节。2、实际微分环节在实际系统中，微分环节常带有惯性，输出变量与输入变量之间的关系为dttdrTktcdttdcTddd)()()(式中，dT为微分时间，dk为微分增益进行拉氏变换后得到实际微分环节的传递函数为1)(sTsTksGddd(2-16)它由理想微分环节和惯性环节串联组成，如图2-9(c)、(d)所示。只有应用在低频时它们才近似为理想微分环节。（五）二阶振荡环节该环节包含有两个储能元件，在输入信号作用时，两个储能元件进行能量交换。图2-10为单位阶跃函数作用下的响应曲线。它的传递函数为(2-17)1)()(12221221RCSRCSuuuuuRCSRudtuudC222222121)(nnnSSSTSTSG7n—无阻尼自然振荡频率，n=1/T；—阻尼比，0。图2-10二阶振荡环节的单位阶跃响应曲线对二阶振荡环节的详细分析，将在第三章中进行。机械位移系统、R-L-C电路、只考虑电枢电压控制作用的直流电动机(输出为转速)等，从传递函数上看都是振荡环节。（六）纯滞后环节在实际系统中经常会遇到这样一种典型环节，当输入信号加入后，要隔一段时间后它的输出端发出复现的输入信号。如图2-11所示，当输入为阶跃信号，输出要隔一个时间后才出现阶跃信号，在0＜t＜内，(又称死时)。纯滞后环节也是线性环节，具有纯滞后环节的系统叫做纯滞后系统。图2-11纯滞后环节纯滞后环节的传递函数可如下求出c(t)=r(t－τ)查表（2－18）系统中若具有纯滞后环节，对系统的稳定性不利，滞后越大，影响越大。大多数过程控制系统中，都具有纯滞后环节，例如物质的传输，从输入口送至输出口存在传输时间(即滞后时间)，介质压力或热量在管道中的传播有传播滞后，以及各种机构运行中有滞后等。以上是线性定常系统中几个最基本环节的数学模型。一个器件可能是一个典型环节，也可能由几个典型环节组成。常见时间函数拉氏变换对照表见附录一，拉氏变换的几个重要性质见附录二。sesRsCsG)()()(82.4系统方框图及其简化采用方框图表示的控制系统，不仅简明的表示了系统中各环节间的关系和信号的传递过程，而且根据下述的方法不用消元就能较方便的求得系统的传递函数。方框图既适用于线性系统也适用于非线性系统。因此，它在控制工程中得到广泛的应用。方框图简介1、方框图单元（或环节）如图2-12所示。图中指向方块的箭头表示输入，从方块出来的箭头表示输出，箭头上表明了相应的信号，)(sG表示其传递函数。输出量等于输入量乘以传递函数。2、相加点如图2-13所示。相加点代表两个或两个以上的输入信号进行代数和运算，箭头上的“+”或“-”表示信号相加还是相减，代数和的量应具有相同的量纲。3、引出