第2章有限单元法力学基础

第01篇有限单元法基本理论第2章有限单元法的弹性力学基础用有限元法求解弹性力学问题，虽然并不需要掌握弹性力学中很多的理论，但须对其中的某些基本概念和基本方程有所了解。为此，本章中将简单介绍这些概念和方程，作为介绍弹性力学有限元法的导引。实际物体的特性及其受力后所表现出来的力学性能相当复杂，因而在理论分析中难以完全如实地加以描述，必须略去一些次要方面，对研究对象作出能反映其主要方面的基本假设。弹性力学的基本假设如下：（1）假设物体是连续的：即假设整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，没有任何空隙。这样，物体内的一些物理量，例如应力、应变、位移等才可能是连续的，因此才可能用坐标的连续函数来表示它们的变化规律。（2）假设物体是完全弹性的：即认为物体在引起变形的外力被去除后能完全恢复原形而没有任何剩余变形。这样的物体在任一瞬时的变形完2.1弹性力学中的基本假设第01篇有限单元法基本理论第2章有限单元法的弹性力学基础全取决于它在这一顺时所受的外力，与其载荷历史无关。完全弹性物体服从胡克定律，也就是应变与引起该应变的应力成正比，弹性常数不随应力或应变的大小而改变。（3）假设物体是各向同性的：即物体的性质在各个方向都是相同的，不随方向而改变。（4）假设位移和变形是微小的：即物体在受力以后，整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变远小于1。这样，在建立物体变形后的平衡方程时，就可以用变形以前的尺寸来代替变形后的尺寸，而不至于引起显著的误差。并且，在考察物体的变形和位移时，转角或应变二次项可以省去。这就使得弹性力学里的代数方程和微分方程都简化为线性方程，可以应用叠加原理。（5）无初应力：即外载荷作用前，物体内部没有应力，认为物体处于自然状态。第01篇有限单元法基本理论第2章有限单元法的弹性力学基础2.2弹性力学中的基本概念ZYX,,1.体力Qv体力是分布在物体全部体积内的力，作用在物体的每一个质点上，如重力、运动物体的惯性力和磁力等。物体内某点的体力是一个矢量，其大小是以作用于其上的单位体积的作用力来衡量的，一般沿坐标轴上投影，用分量X，Y，Z表示，且规定沿坐标轴的正向为正，反之为负。这三个投影称为该点的体力分量。2.面力Qs面力是分布于物体表面上的力，可以是分布力，也可以是集中力。如一个物体对另一个物体表面作用的压力、静水压力等。物体表面上某点的面力是一矢量,一般沿坐标轴投影，用分量来表示。且规定沿坐标轴的正向为正，反之为负。这三个投影称为该点的面力分量。第01篇有限单元法基本理论第2章有限单元法的弹性力学基础3应力物体在外力的作用下，处于平衡状态，此时物体内部将产生抵抗变形的内力，如图所示。为研究物体内任意一点P的内力，假想一个平面S通过点P把该物体分成A、B两个部分，A和B两个部分将产生相互作用力（就是内力），它们是大小相等，方向相反。在平面S上取一个小面积A，设作用于A上的内力为Q，并假设在截面S上是连续分布的，则定义物体在截面S上P点的应力为：AQsA0lim第01篇有限单元法基本理论第2章有限单元法的弹性力学基础应力s为一个矢量，其方向倾斜于小面积，可将s分解为沿法线方向的分量和切线方向的分量，称为正应力，为剪应力。如果有若干个平面经过物体的同一点P，则不同截面在该点的应力是不同的，为了解物体内任意一点的应力状态，通常在这一点取出一个平行六面微元体PABC，它的六面垂直于坐标轴，以此来研究该点的应力，如图所示。第01篇有限单元法基本理论第2章有限单元法的弹性力学基础第01篇有限单元法基本理论第2章有限单元法的弹性力学基础第01篇有限单元法基本理论第2章有限单元法的弹性力学基础第01篇有限单元法基本理论第2章有限单元法的弹性力学基础来，结果和材料力学中的规定不是完全相同的。由于微六面体处于平衡状态，根据力矩平衡方程，可以证明作用在微元体上的剪应力存在互等关系：作用在两个相互垂直的面上并且垂直于该两面相交线的切应力是互等的，不仅大小相等，而且正负号也相同，即xzzxzxzyyzyzyxxyxyxzzxzyyzyxxy和统一表示和统一表示用和统一表示码可以对调，一般用因此，剪应力的两个角,,再根据三个轴向的力平衡方程，可以进一步证明：作用在微正方体相对平行两面上的正应力分量均大小相等、方向相反。因此，可以用6个应力分量来表示过P点微六面体的应力状态。Tzxyzxyzyx第01篇有限单元法基本理论第2章有限单元法的弹性力学基础第01篇有限单元法基本理论第2章有限单元法的弹性力学基础第01篇有限单元法基本理论第2章有限单元法的弹性力学基础第01篇有限单元法基本理论第2章有限单元法的弹性力学基础第01篇有限单元法基本理论第2章有限单元法的弹性力学基础第01篇有限单元法基本理论第2章有限单元法的弹性力学基础第01篇有限单元法基本理论第2章有限单元法的弹性力学基础第01篇有限单元法基本理论第2章有限单元法的弹性力学基础图2-3微元体的线应变和切应变第01篇有限单元法基本理论第2章有限单元法的弹性力学基础第01篇有限单元法基本理论第2章有限单元法的弹性力学基础2.3弹性力学的基本方程弹性力学从静力学、几何学和物理学三个方面对研究对象进行分析，推导出物体内应力分量与体力、面力分量之间的关系式，应变与位移之间的关系式，以及应变分量与应力分量之间的关系式，分别称为平衡微分方程、几何方程和物理方程。[推导过程略]000ZzyxYzyxXzyxzyzxzzyyxyzxyxx式中：X，Y，Z是单位体积上作用的体积力F在x,y,z三个坐标轴上的分量1.平衡微分方程(2-1)第01篇有限单元法基本理论第2章有限单元法的弹性力学基础2.几何方程在微小位移和微小变形的情况下，可以略去位移导数的高次幂，则应变矢量和位移矢量间的几何关系有：zuxwzxywzvxvyuzwyvxuyzxyzyx(2-2)第01篇有限单元法基本理论第2章有限单元法的弹性力学基础第01篇有限单元法基本理论第2章有限单元法的弹性力学基础第01篇有限单元法基本理论第2章有限单元法的弹性力学基础3.变形协调方程变形协调方程也称变形连续方程，或叫相容方程，它描述了应变之间存在的微分关系。变形协调方程描述了弹性体在外力作用下保持连续性，而不发生裂缝或重叠。由几何方程可以推得：xzzxzyyzyxxyzxxzyzzyxyyx222222222222222第01篇有限单元法基本理论第2章有限单元法的弹性力学基础4.物理方程第01篇有限单元法基本理论第2章有限单元法的弹性力学基础第01篇有限单元法基本理论第2章有限单元法的弹性力学基础(2-3)第01篇有限单元法基本理论第2章有限单元法的弹性力学基础第01篇有限单元法基本理论第2章有限单元法的弹性力学基础nmlnmlnmlwvuZYXFzyzxzzyyxyzxyxxuuTZYXSSSSSS],,[SV：弹性体力的边界条件为元体的平衡方程得出。边界上的微表面力之间的关系可由上，应力分量和给定的在边界：弹性体的全部边界，即。这两部分边界构成给定位移边界，记作已知，这部分边界称为、、性体的位移；在另一部分边界上弹力的边界，记作，这部分边界称为给定作用着表面力，在其中一部分边界上的全部边界为设弹性体6.边界条件在弹性力学中一个弹性体的表面边界上存在三种可能的控制条件：三个垂直方向上都存在给定的位移；三个垂直方向上都存在给定的外力；三个垂直方向上给定的K（K=1或2）个位移，3-K个外力；第01篇有限单元法基本理论第2章有限单元法的弹性力学基础2.4圣维南原理wwvvuuwvunmluu，，体位移边界条件为：点的给定位移，即弹性界坐标时，必须等于该边，当代入、、位移分量上，作为基本方程解的在边界余弦。三个坐标轴夹角的方向为弹性体边界外法线与式中：SS,,在求解弹性力学问题时，对应一定的边界条件，得出相应的解，表示一定的应力状态。如果边界条件改变，则将得出不同的应力分布状态。当外部载荷比较复杂时，要使应力分量完全满足边界条件是比较困难的，有时只好将边界面上的力系进行适当的变换，从而将对问题的解答有所影响。圣维南原理（局部影响原理）可以表述如下：如果物体一小部分边界上的力系，用一个静力等效（合力相等，合力矩偶相等）的力系代替，那么在新的力系作用下，仅在加载区域邻近应力有所改变，而距离第01篇有限单元法基本理论第2章有限单元法的弹性力学基础该区域较远处，应力分布几乎没有影响。这是后面单元非节点载荷进行等效移植的依据。2.5虚功及虚功方程第01篇有限单元法基本理论第2章有限单元法的弹性力学基础第01篇有限单元法基本理论第2章有限单元法的弹性力学基础F(2-4)第01篇有限单元法基本理论第2章有限单元法的弹性力学基础F2.5应用弹性力学的简化模型[2]弹性力学的任务是研究弹性体在外力和温度变化等因素作用下所产生的应力、应变和位移。工程界应用的绝大多数材料几乎都是弹性体，因此弹性力学是研究工程问题的基础。严格的说，弹性体都是三维的，也就是空间立体结构。为了数学推导和求解的方便，常对其计算模型进行简化以便于付诸实施，这也是所有应用学科研究中采用的方法。但这种简化是有条件的，必须保证计算误差在允许工程误差范围之内。通过这种简化，将一般数学弹性力学问题转化为应用弹性力学问题。第01篇有限单元法基本理论第2章有限单元法的弹性力学基础2.5.1梁与杆当考察的构件长度远大于截面尺寸，这类构件称为杆件，简称杆。轴线为直线的杆称为直杆（包括等截面直杆和变截面直杆），否则为曲杆。在材料力学中，杆件可以承受剪切、扭转和弯曲。在有限元中，杆单元只能承受轴线方向的作用力，即承受轴线方向的拉伸和压缩，因此又称为二力杆；若是曲杆或还承受有剪切、扭转、弯曲的杆件，均只能按梁单元处理。2.5.2平面问题当结构的形状和受力状态具有一定特点，导致应力、应变、位移可以近似看作是在一个平面内发生时，这类工程问题就是平面问题，即二维问题。平面问题分为两类：平面应力问题和平面应变问题。第01篇有限单元法基本理论第2章有限单元法的弹性力学基础（1）.平面应力问题对于具有如下特征的构件，可作平面应力问题处理：（1）几何形状特征物体在一个坐标方向的几何尺寸原远小于其它两个坐标方向的尺寸，如图所示的薄板（2）载荷特种在薄板的两个侧表面上无表面载荷，作用于边缘的面力平行于板面，且沿着厚度不发生变化（或沿厚度变化但是对称于板的中间平面），体力也平行于板面且不沿着厚度变化。图2-5平面应力问题第01篇有限单元法基本理论第2章有限单元法的弹性力学基础第01篇有限单元法基本理论第2章有限单元法的弹性力学基础第01篇有限单元法基本理论第2章有限单元法的弹性力学基础(2.5-1)(2.5-2)(2.5-3)第01篇有限单元法基本理论第2章有限单元法的弹性力学基础F(2.5-4)第01篇有限单元法基本理论第2章有限单元法的弹性力学基础（2）.平面应变问题对于具有如下特征的构件，可作平面应变问题处理：（1）几何形状特征物体沿着一个坐标轴（例如Z轴）方向的长度很长，且所有垂直Z轴的横截面都相同，亦即为一个等直柱体；位移约束条件或支撑条件沿着Z轴方向也是相同的；（2）载荷特种柱体侧表面承受的表面力以及体积力均是垂直于Z轴，而且分布规律是不随Z轴变化。这样的柱体，可以认为远离物体两端的截面将没有Z轴位移，而沿x和y方向的位移在各截面上都是相同的，任意截面上的应力分量和应变分量都是x和y的函数，与Z无关，即Z=0。如下图所示。第01篇有限单元法基本理论第2章有限单元法的弹性力学基础图2-6平面形变问题第01篇有限单元法基本理论第2章有限单元法的弹性力学基础第