第2章基本原理和

第1章电磁理论基本方程*1.1麦克斯韦方程1.2物质的电磁特性*1.3边界条件和辐射条件1.4波动方程*1.5辅助位函数及其方程#1.6赫兹矢量1.7电磁能量和能流注：“*”表示重点，“#”表示难点第2章基本原理和定理介绍电磁理论中的几个重要的原理和定理。分析和计算电磁场问题时利用这些重要的原理和定理可提供一些简便并且有效的方法。基本内容2.1亥姆霍兹定理2.2唯一性定理2.3镜像定理*#2.4等效定理2.5感应原理2.6巴比涅原理#2.7互易定理2.8线性系统的算子方程2.1亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理是矢量场的一个十分重要的定理，它给出了矢量场和它的两种源－散度源与旋度源的关系。亥姆霍兹定理指出，由闭合面S包围的体积V中任一点r处的矢量场()Fr可分为用一标量函数的梯度表示的无旋场和用另一矢量函数的旋度表示的无散场两部分，即()()()FrrAr(2-1)而式中的标量函数和矢量函数分别与体积V中矢量场的散度源和旋度源，以及闭合面S上矢量场的法向分量和切向分量有关，即()()()44VSddVFrFrSrr-rr-r(2-2a)()()()44VSddVFrSrr-rr-rFr(2-2b)上式中闭合面S的法线的正方向指向闭合面外。证明:利用函数的性质，将矢量场()Fr写成()()()VdVFrFrrr(2-3)将Rrr及214()RR代入上式，并交换积分与微分运算次序得2()()()()444VVVdVdVdVRRRFrFrFrFr(2-4)利用了2AAA。将上式右边第一项中的求散度与积分交换次序，得(()4)14VVdVdVRRFrFr利用11RR及()()()11(())RRRRRFrFrFrFrFr和高斯定理，上式重写为()()()444VVSddVdVRRRFrFrFrS(2-5)将式（2－4）右边第二项中的求旋度与积分交换次序，得(()4)14VVdVdVRRFrFr利用11RR及1(()()1())()RRRRRFrFrrFFrFr和矢量斯托克斯定理，上式重写为()()()444VVSddVdVRRRFrFrFrS(2-6)将式（2－5）和式（2－6）代入式（2－4），就得到式（2－1）和式（2－2）。ddVSVAAS()()()FrrArddVSVAAS亥姆霍兹定理意义任一矢量场都可以表示为无散场与无旋场之和。当任一区域中矢量场的散度、旋度及边界上场量的切向分量和法向分量给定后，利用Helmholtz定理即可求出该矢量场的空间分布。因此，矢量场的散度和旋度特性是研究矢量场的首要问题。2.2唯一性定理背景：在电磁场问题中，往往需要求解有限区域中给定边界条件下的电磁场问题。如果我们只考察空间某一有限区域的电磁场，而区域内、外都存在场源，这时，仅仅知道区域内的场源并不能完全确定有限区域内电磁场，还必须知道区域外场源的影响，这个影响可通过有限区域的边界条件的作用实现。因此，在电磁理论中，常常需要处理各种边值问题。对于电磁场的边值问题，唯一性定理指出了获得麦克斯韦方程唯一解所必须满足的条件和所适应的范围，唯一性定理是电磁场的边值问题解唯一性的理论依据和理论基础。那么，在什么条件下和什么范围内有限区域中电磁场的解才是唯一的呢？唯一性定理指出：有界区域V内，如果0t时电场和磁场的初始值处处已知，并且在0t时区域的边界上电场的切向分量或磁场的切向分量也是已知的，那么，在0t时，区域V中的电磁场就由麦克斯韦方程唯一地确定了。下面证明电磁场的唯一性定理。利用反证法，考虑被封闭面S包围的空间区域V，设满足麦克斯韦方程，初始条件和边界条件的电磁场解不唯一，那么，至少有两组解，记为11E,H和22E,H。设差场E,H为12EEE12HHH(2-7b)那么，在0t时，空间区域V中差场0,0EH,在0t时区域的边界上差场E的切向分量或H的切向分量为零，并且，差场E,H满足麦克斯韦方程tEHEtHE0B0D(2-8)应用矢量恒等式()EHHEEH将式（2－8）代入上式，并对等式两边在区域V中进行体积分，利用高斯定理，将等式左边的体积分化为面积分得2221122SVVdEdVHEdVtEHS=(2-9)上式两边在时间t=0至(0)tt内积分，考虑差场的初始值为零，得2220011d22ttVVSHEVEdVdtdSdtEH(2-10)上式右边第一项的被积函数总是大于等于零，因此，其积分结果也总是大于等于零的数，所以，可得22011d22tnVSHEVdSdtEHe(2-11)考虑矢量恒等式()()()ABCABCBCA，上式右边的被积函数为()()()nnnEHeEHeHeE在给定的边界条件下上式等于零，因此式（2－11）的右边等于零，所以式（2－11）变为2211d022VHEV(2-12)由于上式的被积函数总为正值，因此，要使上式成立，必有00E,H，即12E=E，12H=H。这就是说，满足初始条件和边界条件的有界区域中麦克斯韦方程的解是唯一的。2.3镜像原理镜象原理是根据唯一性定理求解某些具有理想导体边界的电磁边值问题的一种方法。一些电磁场问题可以近似为无限大的理想导电平面上源分布已知的边值问题。最简单的情况就是无限大的理想导电平面上有一水平电流元的情况，如图2-1(a)所示.理想导体面图2-1与图2-2由边界条件,在理想导电面上电场强度的切向分量和磁感应强度的法向分量为零。如果在理想导电面另一边,电流元的镜像位置处水平放置方向相反的电流元,去掉理想导电面后,容易证明在原理想导体的边界位置上,仍满足电场强度的切向分量和磁感应强度的法向分量为零,如图2-1(b)。以上两种情况在理想导电面的边界位置以上区域,源与边界条件均相同,根据唯一性定理,在理想导电面的边界位置以上区域的电磁场也是相同的。也就是说,镜像位置水平放置方向相反的电流元在边界以上产生的电磁场与无限大理想导电体边界的影响是相同的。或者说,可以利用镜像电流元代替无限大理想导电平面上的感应电流.容易证明,在电流元垂直放置的情况下,也可利用镜像电流元代替无限大理想导电平面,但是电流元与其镜像方向相同,如图2-2所示.以电流元的镜像为基础,对于无限大理想导电平面上的各种电流分布均可以用其镜像电流代替无限大理想导体平面.如图2-3所示.对于无限大理想导体平面上的磁流元,容易证明,水平磁流元与其镜像方向一致,而垂直磁流元与其镜像方向相反.如图2-4所示为无限大理想导电平面任意取向的电流元的镜像.以电流元和磁流元的镜像为基础,镜像原理不仅可用于理想导电(PEC)平面上各种源分布,也可用于无限大理想导磁(PMC)平面上的各种源分布.但必须注意,时变场的镜像原理只有对理想导电面或理想导磁面才是严格正确的。例:在无限大的理想导体平面上方附近平行放置一小电流环,电流为I,小环面积为S,距离理想导电面高度为h,求远区辐射电场.解:小电流环可以等效为磁偶及子,也就是磁流元.对于电流I,环面积S位于坐标原点的小电流环,其远区磁场为2sinjkrerISH2sinjkrZerISE式中为Z波阻抗,为波长.位于坐标原点的电流元的辐射场为sin2jkrljZerIEsin2jkrljerIH根据对偶原理,对上式电流元的辐射场做变换mllIIEH,HE,,,就得到磁流元的辐射场lIm的辐射场sin2mjkrljeZrIHsin2mjkrljerIE将磁流元的辐射场与小电环的辐射场相比较,就可得到电流为I,环面积为S的小电流环对应的磁流元mlI为2mljIZIS这样,求无限大的理想导电平面上方小电流环的辐射电场问题就成为无限大的理想导电平面上磁流元的辐射电场问题,如图2-5(a)所示.根据镜像定理,在无限大的理想导电平面上方区域的辐射电场等于磁流元的辐射电场与其镜像磁流元的辐射电场之和,如图2-5(b)所示.因此,理想导电平面上方的磁流元和镜像磁流元的辐射电场为121212sinsin22mmjkrjkrlljejerrIIE对于远区,可取一下近似21cos1hrrcos2hrrrrr11121取以上近似后,理想导体上方的小电流环的辐射电场为112sinsincos2sinsincosmjkrjkrlkhkhejerrIZISE2.4等效原理等效原理是基于唯一性定理建立的电磁场理论的另一个重要原理。等效原理在电磁场问题的求解中是非常有用的，能使计算大为简化。考察某一个有界区域，如果该区域内的源分布不变，而在该区域之外有不同分布的源，只要在该区域的边界上满足同样的边界条件，根据唯一性定理，就可以在该区域产生同样的场分布。即，在某一区域内能产生同样电磁场的该区域外的两种源，对该区域内的场是等效的，这时对该区域内的场来说，该区域外的两种源中的一种源是另一种源的等效源。因此电磁场的实际源可以用它的等效源来代替，实际源的边界问题的解可以用等效源的边界问题的解来代替，这就是电磁场的等效原理。问题的提出下面导出等效原理的一般形式。设原问题中场源局限于闭合面S包围的区域1V内部,源在S内外区域1V和2V中产生的场用E,H表示，如图2－6（a）。现在做出S面外区域2V中场的等效问题。在等效问题中，S面内的空间区域1V中无源而且场为零，但在S面上有面电流和面磁流SnJeHmSnJeE（2-13）式中ne是S的外法线方向单位矢量，E和H是原问题中S面上的场，如图2-6（b）.根据唯一性定理，原问题和等效问题在S面外区域2V中的源分布与边界条件相同,因此,原问题和等效问题在S面外区域2V中的场是相同的。也就是说，对于S面外区域2V中的场来说，等效问题中S面上由（2-13）式给出的面电流和面磁流是原问题S面内的空间区域1V中场源的等效源。这种等效形式称为电磁场的Love等效原理,这种等效源又称为零场等效源。零场等效源SnJeH-HmSnJeE-E非零场等效源Love等效原理同时应用了S面上E和H的切向分量,但根据唯一性定理,只需或两者之一的切向分量就可以唯一确定场，也就是说，场的等效源可以仅用S面上的面电流或面磁流表示。在LOVE等效问题中,S面内的空间区域1V中场为零，因此，在S面内侧放置理想导电壁或理想导磁壁不会影响S面外区域2V中的场。在S面内侧放置理想导电壁，由于位于PEC附近的切向电流源没有任何辐射作用(后面将用互易原理证明)，仅需在S面上放置面磁流mSnJeE(2-14)如图2-6(c),E是原问题中面上的电场,由唯一性定理,在S面内的空间区域1V中场为零.在S面外区域2V中的场与原问题的场相同,所以这一问题与原问题等效.在S面内侧放置理想导磁壁,由于位于PMC附近的切向磁流源没有任何辐射作用(后面将用互易原理证明)，仅需在S面上放置面电流，SnJeH(2-15)如图