第2章电阻电路的一般分析方法

第2章电阻电路的一般分析方法将仅包含线性电阻、独立源和受控源的电路称为电阻电路。电路方程2.1支路电流法2.2网孔法2.3节点法2.4本章内容：1.KCL、KVL的独立方程数(§2.1)3.网孔法(§2.3)2.支路电流法(§2.2)4.节点法(§2.4)本章重点：2.1图与电路方程电路拓扑图与树（自学）KCL和KVL的独立方程数i4R1uS2uS5R2R3R4R5R62i4dbcai1i2i5i6i3dbcai1i2i3i4i5i61、电路拓扑图与树（自学）树：包含连通图G中的所有节点，但不包含回路的连通子图，称为G的树。同一个图有许多种树。组成树的支路称为树支，不属于树的支路称为连支。一个有n个节点，b条支路的连通图G，其任何一个树的树支数=n-1，连支数=b-n+1。有向图基本回路（或单连支回路）：仅包含一条连支（其余为树支）的回路。全部单连支回路组成了基本回路组。一个有n个节点，b条支路的连通图，一个基本回路组中有且仅有(b-n+1)个基本回路。基本回路的方向通常取为与连支的方向一致。2、KCL的独立方程i4R1uS2uS5R2R3R4R5R62i4dbcai1i2i5i6i3图示电路对于节点a、b、c、d列出KCL方程为：(设流出电流取“+”)节点a:i1+i2+i4=0(1)节点b:-i4+i5+i6=0(2)节点c:-i1+i3–i5=0(3)节点d:-i2-i3-i6=0(4)以上4个方程并不独立，其中任意一个方程可通过其它三个方程相加减得到。任意去掉一个方程，剩余三个方程就是独立的。结论1：对n个节点的电路，有且仅有(n-1)个独立的KCL方程。任取(n-1)个节点列写的KCL方程相互独立；常将能列出独立KCL方程的节点称为独立节点。3、KVL的独立方程结论2：对具有n个节点、b条支路的电路，有且仅有(b–n+1)个独立的KVL方程。将能列出独立KVL方程的回路称为独立回路。常见的独立回路有：(1)(b–n+1)个基本回路；(2)平面电路的(b–n+1)个网孔。u1u2u3u4u5u6ⅠⅡⅢⅣ图示为某电路的拓扑图，选回路列出KVL方程为：对回路Ⅰ:u1–u5–u4=0(1)对回路Ⅱ:u4+u6–u2=0(2)对回路Ⅲ:u5+u3–u6=0(3)对回路Ⅳ:u1+u3–u2=0(4)以上4个方程并不独立，其中任意一个方程可通过其它三个方程相加减得到。任意去掉一个方程，剩余三个方程就是独立的。同学们还可以列写其它回路的KVL方程，均不独立。2.2支路电流法2、求解思路：⑴选定b个支路电流的参考方向；⑵对(n-1)个独立节点，列出独立KCL方程；⑶选定(b-n+1)个独立回路(基本回路或网孔)，指定回路绕行方向，根据KVL列出回路电压方程。列写过程中将支路电压用支路电流来表示。⑷联立求解上述b个支路电流方程；⑸进而求题中要求的支路电压或功率等。1、支路电流法定义：以支路电流（b个）为未知变量列出方程，求解支路电流，进而求得其他物理量的方法。例题：用支路电流法求解下图所示电路中各支路电流及各电阻吸收的功率。2A12V2Ω2Ωu12u1ai1i2U解：(1)标出支路电流的参考方向，如图所示。(2)选定独立独立回路，这里选网孔，如图所示。(3)对无伴电流源的处理方法：在其设定一电压U；(4)对独立节点a，列KCL方程为：i2–i1–2=0(1)(5)对两个网孔，利用KVL列回路方程为：2i1+U–12=0(2)2i2+2u1–U=0(3)(6)上面三个方程，四个未知量。补一个方程：将受控源控制量u1用支路电流表示，有u1=2i1(4)(7)解式(1)(2)(3)(4)得支路电流为i1=1A，i2=3A(8)则电阻吸收的功率为P1=i12×2=2(W)，P2=i22×2=18(W)3、举例说明：例2.2-1图示电路中，已知R1=15Ω，R2=1.5Ω，R3=1Ω,us1=15V，us2=4.5V,us3=9V。求电压uab及各电源产生的功率。1230iii选网孔作为独立回路，并设绕行方向于图上，由KVL列写网孔Ⅰ、Ⅱ的电压方程分别为13159150ii－网孔Ⅱ(1)(2)(3)解：设支路电流i1,i2,i3参考方向如图中所标。节点a的KCL电流方程为网孔Ⅰ231.54.590ii－联立方程(1)(2)(3)得：1230.5A2A1.5Aiii、、电压3191.5197.5Vabui设电源us1,us2,us3产生的功率分别为ps1,ps2,ps3,由求得的支路电流，可得：111122333150.57.5W4.529W91.513.5Wsssssspuipuipui例2.2-2图所示电路中包含有电压控制的电压源，试以支路电流作为求解变量，列写出求解本电路所必需的独立方程组。(注意对受控源的处理，对所列方程不必求解。)解：设各支路电流、各网孔绕向如图所示。应用KCL、KVL及元件VCR列写方程为：对节点ai1－i2－i3=0对网孔ⅠR1i1+R2i2=us对网孔Ⅱ-R2i2+(R3+R4)i3=μu1辅助方程：u1=R1i1例2.2-3图示电路为电桥电路，AB支路为电源支路，CD支路为桥路，试用支路电流法求电流ig,并讨论电桥平衡条件。解：设各支路电流参考方向和回路的巡行方向如图中所标。该电路有6条支路、4个节点，以支路电流为未知量，应建立3个独立节点的KCL方程，3个独立回路的KVL方程。根据元件VAR和KCL、KVL列出以下方程组：对于节点Ai1+i2-i=0对于节点C-i1+ig+i3=0对于节点D-i2-ig+i4=0对于回路Ⅰ-R1i1+R2i2-Rgig=0对于回路Ⅱ-R3i3+R4i4+Rgig=0对于回路ⅢR1i1+R3i3+Ri=us解上述方程组，得2413322443241312413RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRuRRRRigggsg当ig=0,即桥路上电流为零(或桥路两端电压：uCD=0)时称该电桥达到平衡。由ig的表示式可知分母是有限值，因而仅当1432RRRR即2314RRRR时ig=0,这就是电桥平衡的条件。2.3回路法与网孔法回路电流法（自学）网孔电流法（重点）2、网孔电流的概念在每个网孔中假想有一个电流在网孔中环流一周，而各支路电流看作是由网孔电流合成的结果。网孔的巡行方向也是网孔电流的方向。注意：网孔电流是一种假想的电流，实际电路中并不存在。引入网孔电流纯粹是为了分析电路方便。1、网孔法定义：以网孔电流为未知变量列出并求解方程的方法称为网孔法。如图电路，设定网孔电流Im1、Im2、Im3如图所示。各支路电路看成是由网孔电流合成得到的，1、2、3支路电流可表示为i1=Im1，i2=Im2，i3=Im3，i4R1uS5R2R3R4R5R6uS3uS2Im1i1i2i3i5i6Im2Im3a4支路上有两个网孔电流Im1、Im2流经,且两网孔电流方向均与i4相反，故i4=-Im1-Im25支路上有两个回路电流Im1、Im3流经，故i5=-Im1+Im36支路上有两个回路电流Im2、Im3流经，故i6=-Im2-Im3对节点a列出KCL方程，有i1+i4+i2=Im1+(-Im1-Im2)+Im2≡0可见，网孔电流自动满足KCL方程。3、网孔电流法方程的列写规律利用KVL列出三个网孔的KVL网孔Ⅰ:R1i1–R5i5–uS5–R4i4=0网孔Ⅱ:uS2+R2i2–R6i6–R4i4=0网孔Ⅲ:uS5+R5i5+uS3+R3i3–R6i6=0将支路电流用网孔电流表示，并代入上式得(Ⅰ)R1Im1–R5(-Im1+Im3)–uS5–R4(-Im1-Im2)=0(Ⅱ)uS2+R2Im2-R6(-Im2-Im3)–R4(-Im1-Im2)=0(Ⅲ)uS5+R5(-Im1+Im3)+uS3+R3Im3–R6(-Im2-Im3)=0将上述方程整理得：网孔(Ⅰ)(R1+R4+R5)Im1+R4Im2–R5Im3=uS5网孔(Ⅱ)R4Im1+(R2+R6+R4)Im2+R6Im3=uS2网孔(Ⅲ)–R5Im1+R6Im2+(R5+R3+R6)Im3=-uS5-uS3R11R22R33R12R13R21R23R31R32(∑US)1(∑US)2(∑US)3i4R1uS5R2R3R4R5R6uS3uS2Im1i1i2i3i5i6Im2Im3aRjk互电阻+:流过互阻的两个网孔电流方向相同；-:流过互阻的两个网孔电流方向相反；0:两个网孔之间没有互阻。Rkk:自电阻(第k个回路所有电阻之和，恒取正)注意11A12B1MS1121A22B2mMS221A2BMSmmmmmmmRiRiRiuRiRiRiuRiRiRiu对于具有m个网孔的电路，有:uSkk：网孔k中所有电压源电压的代数和。网孔电流方程通式①选网孔为独立回路，并确定其绕行方向。②以网孔电流为未知量，列写其KVL方程。（可以直接列写为通式的形式）③求解上述方程，得到b-n+1个网孔电流。⑤进行其他物理量分析。④求支路电流。4、网孔电流法使用步骤注意：网孔电流法的特点：仅适用于平面电路。例2.3-1对如图所示电路，求各支路电流。(6+1+3)619(1+2+2)21262(326)6ABCABCABCiiiiiiiii解：设网孔电流电流方向如图所示，由网孔电流法得：解得：3A1A2AABCiii、、再根据支路电流与网孔电流之间的关系，得：123456312,3211233(1)4ABcAcBCABiiAiiAiiAiiiAiiiAiiiA3A1A2AABCiii、、例1如图电路，用网孔法求电压UAB。ABIS12A16V3Ω2Ω1A4Ω5Ω5Vi3i1i2(a)UIA选网孔为独立回路，如图所示。本电路有3个网孔，理应列3个网孔方程，但由于流过电流源IS1上的网孔电流只有一个i1，故i1=IS1=2A，这样可以少列一个网孔方程。对于两个网孔公共支路上的1A电流源，处理方法之一是先假设该电流源两端的电压U，并把它看作电压为U的电压源即可。由图得网孔方程为9i2–2IS1–4i3=16–U–4i2+9i3=U–5补一个方程：i2–i3=1解得i2=2(A)，i3=1(A)。故IA=IS1-i2=0，UAB=2IA+16=16(V)。小结：①如果流经电流源上的网孔电流只有一个，则该回路电流就等于电流源电流，这样就不必再列该网孔的方程。②若多个网孔电流流经电流源，则在该电流源上假设一电压，并把它看成电压源即可。但要补充一个方程。（1）无伴电流源的处理方法5、网孔法中特殊情况的处理例2如图电路，用网孔法求电压u。20Ωui10.1ui2i32Ω4Ω9Ω6V12V4A解：本例中含受控源(VCCS)，处理方法是：先将受控源看成独立电源。这样，该电路就有两个电流源，并且流经其上的回路电流均只有一个；故该电流源所在回路电流已知，就不必再列它们的回路方程了。如图中所标回路电流，可知：i1=0.1u，i3=4对回路2列方程为：26i2–2i1–20i3=12上述一些方程中会出现受控源的控制变量u，用网孔电流表示该控制变量，有u=20(i3–i2)解得i2=3.6(A)，u=8(V)。小结：对受控源首先将它看成独立电源；列方程后，再补一个方程将控制量用网孔电流表示。（2）受控源的处理方法5、网孔法中特殊情况的处理2.4节点法以节点电位为求解变量，列写独立节点的KCL方程，解方程，先求得节点电位，进而求得所需要求的电压、电流和功率等，这种求解电路的方法称为节点电位法，简称为节点法。1、节点法定义2、节点电位的概念在电路中任意选择一个节点为参考节点，其余节点与参考节点之间的电压，称为节点电压或节点电位，各节点电压的极性均以参考节点为“-”极。如图