第2章离散时间系统变换域分析(1-3).

北京航空航天大学204教研室孙国梁1第二章离散时间系统变换域分析2.1序列的傅立叶变换2.2Z变换及其性质2.3系统函数及频率响应2.4LTI系统幅相特性分析北京航空航天大学204教研室孙国梁2定义？基本序列的DTFT?DTFT的主要性质？2.1序列傅立叶变换(DTFT)北京航空航天大学204教研室孙国梁3一、DTFT及逆变换定义序列的傅立叶变换（DTFT)用来表示离散时间非周期信号及其傅立叶频谱之间的关系：正变换：反变换:由于三角函数的周期性，反变换右边的积分区间可以为任何一个周期区间。nnjjenxeXnxDTFT)()()]([deeXnxeXDTFTnjjj)(21)()]([1北京航空航天大学204教研室孙国梁4)()()(21)())((21)(21)]([)(1nxnkkxdekxdeekxdeeXeXDTFTkknkjnjkkjnjjj其他01)()]([)()(sin21)(nkknknSaknkndenkj二、DTFT反变换推导北京航空航天大学204教研室孙国梁5（一）单位冲激序列（二）单位常数序列（三）单位阶跃序列（四）指数序列1)0()()]([0jnnjexenxnDTFTkjwkeX)2(2)(1)(221)]([)(1deeXDTFTnxnjjkjkenuDTFT)2(11)]([knjkeDTFT)2(2][00三、典型序列的傅立叶变换：矩形窗的DTFT北京航空航天大学204教研室孙国梁62)1(22222210)2sin()2sin()()(11)]([NjjjjNjNjNjjjNNknjeNeeeeeeeeenWDTFT北京航空航天大学204教研室孙国梁7四、序列傅立叶变换的主要性质1、线性2、时域平移-频域调制3、时域调制-频域平移4、时域翻褶)()(nbhnax)()(jwjwebHeaX)(mnx)(jwjwmeXe)(0nxejnw)()(0wwjeX)(nx)(jweX)()]([)()]([)()]([****jjjeXnxDTFTeXnxDTFTeXnxDTFT北京航空航天大学204教研室孙国梁85、时域相乘6、时域卷积7、帕塞瓦尔定理)()(nhnxdeYeXwjj)()(21)()()(nhnx)()(jwjweHeXdweXnxnjw22|)(|21|)(|dweYeXnynxjwnjw)()(21)()(北京航空航天大学204教研室孙国梁9共轭对称序列：共轭反对称序列：可以证明：)()(*nxnxee)()(*nxnxoo)]([)]([)()()](Im[)](Im[)](Re[)](Re[nxArgnxArgnxnxnxnxnxnxeeeeeeee共轭反对称序列的性质如何？？8、DTFT的对称性北京航空航天大学204教研室孙国梁10)()]([)()]([)()]([****jjjeXnxDTFTeXnxDTFTeXnxDTFT)](Im[)]()([21)]([)](Re[)]()([21)]([**jjjojjjeeXjeXeXnxDTFTeXeXeXnxDTFT)()()(nxnxnxoe)]()([21)()]()([21)(**nxnxnxnxnxnxoe)]()([21)()]()([21)()()()(**jjjojjjejojejeXeXeXeXeXeXeXeXeX序列共轭分量的傅立叶变换与序列傅立叶变换的共轭分量的关系北京航空航天大学204教研室孙国梁11同理可得：)()]}(Im[{)()]}({Re[jojeeXnxjDTFTeXnxDTFT结论：对实序列而言，其傅立叶变换是共轭对称的，即：实序列的傅立叶变换的实部是偶对称，虚部是奇对称；幅度是偶对称，幅角是奇对称。北京航空航天大学204教研室孙国梁12北京航空航天大学204教研室孙国梁13北京航空航天大学204教研室孙国梁142.2Z变换及性质一、Z变换定义二、Z变换收敛域三、Z变换性质定理四、Z反变换北京航空航天大学204教研室孙国梁15设序列为x(n)，则幂级数：称为序列x(n)的Z变换，其中z为变量。也可记作：当幂级数收敛时，Z变换才有意义。Z变换收敛的所有z值的集合称为收敛域。在收敛域内，Z变换处处解析，不含任何奇异点。一、Z变换定义及收敛域nnznxzX)()()()]([zXnxZ北京航空航天大学204教研室孙国梁16根据级数理论，幂级数收敛的充分且必要条件是该级数绝对可和，即要求：对于不同形式的序列，其收敛域的形式亦有所不同，分类讨论如下Mznxnn)(二、不同序列的收敛域北京航空航天大学204教研室孙国梁17X(z)为有限项级数之和，只要级数的每一项有界，则级数就是收敛的。收敛域至少包括有限Z平面21)()(nnnnznxzXz01、有限长序列其他有值0)(21nnnnxx(n)n北京航空航天大学204教研室孙国梁18根据区间的不同，级数有可能在原点和无穷远出现奇异点，故仍可细分为如下三种情况：1）、正半轴有限长序列，其收敛域为有限Z平面和无穷远点；2）、负半轴有限长序列，其收敛域为有限Z平面和原点；3）、跨原点有限长序列，则收敛域仅为有限Z平面；北京航空航天大学204教研室孙国梁19第一部分若存在，则为一负半轴有限长序列，其收敛域为不包括无穷远点的所有Z平面。第二部分是z的负幂级数，由阿贝尔定理可知，存在一个最小的收敛半径，在此半径外的任何点级数都绝对收敛。2、右边序列x(n)n其他有值0)(1nnnx0111nnnnnnnnx(n)zx(n)zx(n)zX(z)北京航空航天大学204教研室孙国梁20右边序列Z变换的收敛域至少从某一不为零的有限半径处向外扩张的有限Z平面；若，还要包括无穷远点。时的右边序列又称为因果序列，是最重要的一种右边序列。因此，在无穷远处收敛是因果序列的重要特征。01n01n北京航空航天大学204教研室孙国梁21其他有值0)(2nnnx01)()()()(22nnnnnnnnznxznxznxzXx(n)n3、左边序列若第一部分存在，则为正半轴有限长序列，其收敛域为不包括原点的所有Z平面。第二部分是z的正幂级数，由阿贝尔定理知，存在一个最大的收敛半径，在此半径内的任何点级数都绝对收敛。北京航空航天大学204教研室孙国梁22xRz002n左边序列的收敛域至少从某一不有限半径处向内收敛的圆形区域；在时（反因果序列），还包括原点。北京航空航天大学204教研室孙国梁23nnx有限值)(01)()()()(nnnnnnznxznxznxzX4、双边序列在全部时轴上皆有定义的序列，可以看作左边序列和右边序列之和（或者因果序列与反因果序列之和）。其收敛域应该是正半轴序列与负半轴序列收敛域的重叠北京航空航天大学204教研室孙国梁24xRzxRzxxRRxxRzRxxRR设第一项的收敛区域为：，第二项的收敛区域为：；1）、若,则双边序列Z变换的收敛域为环状区域：；2）、若，则双边序列Z变换在Z平面上处处不收敛。北京航空航天大学204教研室孙国梁25解：这是一个无穷项等比级数求和，由比例判定法可知，只有在，即时，级数收敛为：)()(nuanxn01)()()]([nnnazznuanxZ11azazazzaznxZ111)]([Ex:求Z变换及收敛域。北京航空航天大学204教研室孙国梁26Ex:求Z变换及收敛域。解：这是一个无穷项等比级数求和，由比例判定法可知，只有在，即时，级数收敛为：)1()(nuanxn11)()1()]([nnnzaznuanxZ11zaazazzzazanxZ111)]([北京航空航天大学204教研室孙国梁27结论：不同的序列其Z变换的数学表达式可以完全一致。对于一个序列而言，仅仅用其Z变换来表示是不够充分的，必须同时给出其Z变换的收敛范围。同一个Z变换函数，当收敛域不同时，代表时轴上性质不同的序列。对于仅具有三个极点的Z变换，可以代表四种序列。如下图所示：北京航空航天大学204教研室孙国梁28北京航空航天大学204教研室孙国梁29三、Z变换性质定理1、线性需要注意的是若参与和运算的序列在时域上不重合，则相加后的和序列的收敛域为各个序列的收敛域的交集若不满足上述条件，则线性组合过程中两个序列Z变换的零、极点可能会互相抵消，导致收敛域的扩大。yyxxRzRzYnyZRzRzXnxZ)()]([)()]([RzRzbYzaXnbynaxZ)()()]()([北京航空航天大学204教研室孙国梁302、序列的移位序列的移位仅对有限长、单边序列（左边序列、右边序列）在原点和无穷远点处的是否收敛有影响。对于双边序列，由于它的收敛域为环形域，不包括原点和无穷远点，所以收敛域不发生变化。xxRzRzXnxZ)()]([xxmRzRzXzmnxZ)()]([北京航空航天大学204教研室孙国梁31xxnRazRaazXnxaZ)()]([在尺度变换中，若a为实数，则零、极点在Z平面上沿径向运动；若a为单位复数，则零、极点在以原点为圆心的园上旋转；若a为任意复数，则零、极点既有径向伸缩，又有角度旋转。3、Z域尺度变换北京航空航天大学204教研室孙国梁32xxRzRdzzdXznnxZ)()]([xxmmRzRzXdzdznxnZ)]([)()]([4、序列线性加权（Z域求导）序列的线性加权对收敛域的影响与序列的移位相类似，仅对有限长、单边序列（左边序列、右边序列）在原点和无穷远点的是否收敛有影响。对于双边序列，由于它的收敛域为环形域，不包括原点和无穷远点，所以收敛域也不发生变化。北京航空航天大学204教研室孙国梁33xxRzRzXnxZ)()]([***5、共轭序列此处要注意，原序列Z变换极点的共轭是共轭序列Z变换的极点。由于共轭关系仅关于X轴对称，不影响极点矢径的长度，因而不改变收敛半径和收敛域。北京航空航天大学204教研室孙国梁3411)1()]([xxRzRzXnxZ6、序列翻褶序列的翻褶导致Z变换的收敛域以单位圆为基准作了镜像映射北京航空航天大学204教研室孙国梁35)()()(nunxnx)0()(limxzXz)0(...])2()1()0([lim)(lim)(lim210xzxzxxznxzXznnzz7、初值定理（因果序列）北京航空航天大学204教研室孙国梁36)(lim)()1(lim1nxzXznz8、终值定理若序列为因果序列，并且极点处于单位圆以内（若恰好在单位圆上，则最多可在z=1处有一阶极点），则：北京航空航天大学204教研