第2章逻辑代数基础.

第二章逻辑代数基础天津大学精密仪器与光电子工程学院SchoolofPrecisionInstrument&Opto-electronicsEngineering,TianjinUniversity吴森讲师[e-mail]天津大学精密仪器与光电子工程学院SchoolofPrecisionInstrument&Opto-electronicsEngineering,TianjinUniversity内容提要•2.1基本逻辑运算•2.2逻辑代数的基本公式和定理•2.3逻辑函数的表示方法•2.4逻辑函数的化简天津大学精密仪器与光电子工程学院SchoolofPrecisionInstrument&Opto-electronicsEngineering,TianjinUniversity第一章逻辑代数基础2.1基本逻辑运算天津大学精密仪器与光电子工程学院SchoolofPrecisionInstrument&Opto-electronicsEngineering,TianjinUniversity三种基本运算2.1基本逻辑运算“0”、“1”表示两种对立的逻辑状态；只存在这两种状态的信号之间的因果关系称为二值逻辑；按照指定因果关系进行的推理即逻辑运算，逻辑运算的数学方法称为逻辑代数，又称布尔代数（GeorgeBoole）与（AND）或（OR）非（NOT）常见扩展运算与非（NAND）或非（NOR）异或（ExclusiveOR,xor）同或（InclusiveOR,xnor）复杂组合天津大学精密仪器与光电子工程学院SchoolofPrecisionInstrument&Opto-electronicsEngineering,TianjinUniversity2.1基本逻辑运算一.“与”运算当决定事件的所有条件都具备时事件才发生。功能表开关A开关B灯Y电源ABY断断灭断通灭通断灭通通亮真值表ABY000010100111逻辑函数表达式：Y=A∙B=ABABY&图形符号：逻辑乘与门天津大学精密仪器与光电子工程学院SchoolofPrecisionInstrument&Opto-electronicsEngineering,TianjinUniversity2.1基本逻辑运算二.“或”运算当决定事件的所有条件中有一个或一个以上具备时事件就发生。逻辑函数表达式：Y=A+BABY≥1图形符号：逻辑加或门开关A开关B灯Y电源功能表ABY断断灭断通亮通断亮通通亮真值表ABY000011101111天津大学精密仪器与光电子工程学院SchoolofPrecisionInstrument&Opto-electronicsEngineering,TianjinUniversity2.1基本逻辑运算三.“非”运算决定事件的条件只有1个，当条件具备时事件不发生，条件不具备时事件发生。逻辑函数表达式：Y=A图形符号：逻辑反非门功能表AY断亮通灭真值表AY0110开关A灯Y电源R（也可写成Y=A’)AY1天津大学精密仪器与光电子工程学院SchoolofPrecisionInstrument&Opto-electronicsEngineering,TianjinUniversity2.1基本逻辑运算四.基本逻辑的常用扩展与非门Y=ABYAB&真值表ABABY0001010110011110真值表或非门Y=A+BYAB≥1ABA+BY0001011010101110天津大学精密仪器与光电子工程学院SchoolofPrecisionInstrument&Opto-electronicsEngineering,TianjinUniversity2.1基本逻辑运算四.基本逻辑的常用扩展异或门YAB=1真值表ABY000011101110真值表同或门YAB=1ABY001010100111YABY=A⊙BYABABYABAB天津大学精密仪器与光电子工程学院SchoolofPrecisionInstrument&Opto-electronicsEngineering,TianjinUniversity2.1基本逻辑运算IEEE符号AY国标符号AB&A1AB≥1YYYABABYYIEEE符号国标符号AB&AB=1AB≥1YYYABABYYYABAB=YABYA≥1&BCDYY=(AB+CD)’天津大学精密仪器与光电子工程学院SchoolofPrecisionInstrument&Opto-electronicsEngineering,TianjinUniversity第二章逻辑代数基础2.2基本公式和定理天津大学精密仪器与光电子工程学院SchoolofPrecisionInstrument&Opto-electronicsEngineering,TianjinUniversity2.2基本公式和定理一、基本公式0∙A=00，1律0+A=A1∙A=A0，1律1+A=1A∙A=A重叠律A+A=AA∙A′=0互补律A+A′=1A∙B=B∙A交换律A+B=B+AA(BC)=(AB)C结合律A+(B+C)=(A+B)+CA(B+C)=AB+AC分配率A+BC=(A+B)(A+C)(AB)′=A′+B′反演律(A+B)′=A′B′(A′)′=A还原律天津大学精密仪器与光电子工程学院SchoolofPrecisionInstrument&Opto-electronicsEngineering,TianjinUniversity证明公式：A(B+C)=AB+ACABCA(B+C)ABACAB+AC00000000010000010000001100001000000101101111011011111111左=右枚举法真值表2.2基本公式和定理天津大学精密仪器与光电子工程学院SchoolofPrecisionInstrument&Opto-electronicsEngineering,TianjinUniversity证明公式：A+BC=(A+B)(A+C)推演法左右BCABCCBABCACABACABA)())((12.2基本公式和定理天津大学精密仪器与光电子工程学院SchoolofPrecisionInstrument&Opto-electronicsEngineering,TianjinUniversity2.2基本公式和定理二、常用其他公式A+AB=AA+A′B=A+BAB+AB′=AA(A+B)=AAB+A′C+BC=AB+A′CAB+A′C+BCD=AB+A′CA(AB)′=AB′;A′(AB)′=A′天津大学精密仪器与光电子工程学院SchoolofPrecisionInstrument&Opto-electronicsEngineering,TianjinUniversity证明公式：A+A’B=A+B右=A+B=(A+A’)(A+B)=A+A’B=左证明公式：AB+A’C+BC=AB+A’C左=AB+A’C+BC=AB+A’C+BC(A+A’)=AB+ABC+A’C+A’CB=AB+A’C=右证明公式：AB+A’C+BCD=AB+A’C左=AB+A’C+BCD=AB+A’C+BC+BCD=AB+A’C+BC=AB+A’C=右证明公式：A(AB)’=AB’左=A(AB)’=A(A’+B’)=AB’=右2.2基本公式和定理天津大学精密仪器与光电子工程学院SchoolofPrecisionInstrument&Opto-electronicsEngineering,TianjinUniversity三、基本定理1.代入定理在任何一个包含A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中A的位置，则等式依然成立。例：分配律公式A(B+C)=AB+AC，用C+D代替C得:A[B+(C+D)]=AB+A(C+D)=AB+AC+AD代入定理可以扩展所有基本公式或定律的应用范围例：反演律公式(A+B)’=A’B’，用B+C代替B得:[A+(B+C)]’=A’(B+C)’=A’B’C’2.2基本公式和定理天津大学精密仪器与光电子工程学院SchoolofPrecisionInstrument&Opto-electronicsEngineering,TianjinUniversity2.反演定理对于任意逻辑表达式，按照以下方式变换可得到原函数的反函数。•运算符“与”、“或”置换，“同或”、“异或”置换；•变量、反变量置换；•常量0、1置换。例：函数Y=A’B’+CD的反演函数如下A’B’+CD(A+B)(C’+D’)Y’=(A’B’+CD)’=(A’B’)’(CD)’=(A+B)(C’+D’)例：函数Y=A’(B’C(D’E)’)’的反演函数如下A’(B’C(D’E)’)’A+(B+C’+(D+E’)’)’=Y’括号不变，括号上的反号也不变2.2基本公式和定理天津大学精密仪器与光电子工程学院SchoolofPrecisionInstrument&Opto-electronicsEngineering,TianjinUniversity3.对偶定理两个相等逻辑式的对偶式也相等。任意逻辑表达式的对偶式可按照以下方式得到。•运算符“与”、“或”置换，“同或”、“异或”置换；•常量0、1置换。例：Y=A’B’+CD的对偶式如下A’B’+CD(A’+B’)(C’+D’)例：Y=A’(B’C(D’E)’)’的对偶式如下A’(B’C(D’E)’)’A’+(B’+C+(D’+E)’)’对偶式不改变括号和反号2.2基本公式和定理天津大学精密仪器与光电子工程学院SchoolofPrecisionInstrument&Opto-electronicsEngineering,TianjinUniversity例：A+BCD=(A+B)(A+C)(A+D)A(B+C+D)(AB)+(AC)+(AD)用对偶定理证明=例：AB+A’C+BC=AB+A’CAB+A’C+BC(A+B)(A’+C)(B+C)=AC+A’B+BCAB+A’C(A+B)(A’+C)=AC+A’B+BC(A+B)(A’+C)(B+C)=(A+B)(A’+C)AB+A’C+BC=AB+A’CA+BCD=(A+B)(A+C)(A+D)2.2基本公式和定理天津大学精密仪器与光电子工程学院SchoolofPrecisionInstrument&Opto-electronicsEngineering,TianjinUniversity第二章逻辑代数基础2.3逻辑函数的表示方法天津大学精密仪器与光电子工程学院SchoolofPrecisionInstrument&Opto-electronicsEngineering,TianjinUniversity2.3逻辑函数的表示方法一、逻辑函数逻辑关系变量——输入逻辑运算结果——输出逻辑函数Y=F(A,B,C…)二、表示方法Y=A(B+C)YABC输入输出ABCY00000010010001101000101111011111YCBAtttt天津大学精密仪器与光电子工程学院SchoolofPrecisionInstrument&Opto-electronicsEngineering,TianjinUniversity2.3逻辑函数的表示方法三、逻辑函数的变换同一个逻辑函数可以有不同的表达式，不同的表达式对应不同的逻辑电路。Y=(A(AB)’+B(AB)’)’=((A+B)(AB)’)’=((A’B’)’(AB)’)’=A’B’+ABABYABYABYABY天津大学精密仪器与光电子工程学院SchoolofPrecisionInstrument&Opto-electronicsEngineering,TianjinUniversity2.3逻辑函数的表示方法四、逻辑函数的标准形式逻辑函数标准形式最小项之和最大项之积最小项：在n变量逻辑函数中，若m为n个变量的乘积，且这n个变量均以原变量或反变量的形式在m中出现一次，则m为该组变量的最小项。例：n=2，m=A’B’、AB…最大项