第2章随机过程的基本概念.

12019/12/20第二章随机过程的基本概念第一节随机过程的定义及其分类第二节随机过程的分布及其数字特征第三节复随机过程第四节几种重要的随机过程简介22019/12/20第一节随机过程的定义及其分类一、直观背景及例某电话交换台在时间段[0，t]接到的呼叫次数例1一般情况下它是一个随机变数X，并且依赖时间t，即随机变数X（t），t。例2在天气预报中，研究某地一天当中最高气温一般情况下它是一个随机变数X，并且依赖时间t，即随机变数X（t），t=1，2，…032019/12/20例3国民收入问题表示依赖于一个变动参量的一族随机变量。它虽然不能用一个确定的函数来描述，但也是有规律的。随着各种随机因素的影响而随机变化，一般地有其中C（t）、I（t）分别表示t年的消费和积累随机过程)()()(tItCtY42019/12/20二、随机过程的定义1．随机过程设E是随机试验，{}是它的的样本空间，T是一个参数集，若对于每一个都有随机变量，与之对应，则称依赖于t的随机变量为随机过程，或称为随机函数，通常记作Tt),(tX),(tX{)(tX，Tt}或)(tX。说明1参数集T在实际问题中，常常指的是时间参数，但有时也用其它物理量作为参数集。52019/12/20说明2因为随机过程{)(tX，Tt}是一个二元函数对于每一个固定的时刻Tt0，)(0tX是一个随机变量，并称作随机过程)(tX在0tt时的一个状态，它反映了)(tX的“随机”性；对于每一个0，)(tX是一个确定的样本函数，它反映了)(tX的变化“过程”。62019/12/202．贝努利过程设每隔单位时间掷一次硬币，观察它出现的结果。如果出现正面，记其结果为1；如果出现反面，记其结果为0。一直抛掷下去，便可得到一无穷序列因为每次抛掷的结果是一个随机变量（1或0），所以无穷次抛掷的结果是一随机变量的无穷序列，称为随机序列，也可称为随机过程。每次抛掷的结果与先后各次抛掷的结果是相互独立的，并且出现1或0的概率与抛掷的时间n无关。{0121或；，，；nnXnX}72019/12/20设P{1nX}=p（第n次抛掷出现正面的概率）P{0nX}=q=1p（第n次抛掷出现反面的概率）其中P{1nX}=p与n无关，且iX、kX(ki时)是相互独立的随机变量。称具有这种特性的随机过程为贝努利型随机过程。注如果固定观测时刻t，则它的试验结果是属于两个样本点0和1所组成的样本空间如果在二个不同时刻1t，2t观测试验结果则样本空间出现的值为（0,0）,（0,1）,（1,0）,（1,1）则{21,ttXX}是一个二维随机变量82019/12/20三、随机过程的分类1、按参数集和状态分类参数集T的是一个可列集T={0，1，2，…}离散参数连续参数参数分类参数集T的是一个不可列集}0|{ttT状态分类离散状态连续状态)(tX取值是离散的取值是连续的92019/12/20T离散、I离散T离散、I非离散（连续）参数T状态I分类概率结构分类2．按过程的概率结构分类T非离散（连续）、I离散T非离散（连续）、I非离散（连续）独立随机过程独立增量随机过程马尔可夫过程平稳随机过程102019/12/20（1）独立随机过程简称独立随机过程。设{)(tX，Tt}对任意n个不同的1t，2t，…，Ttn)(1tX，)(2tX，…，)(ntX是相互独立的则称)(tX为具有独立随机变量的随机过程，112019/12/20（2）独立增量随机过程是相互独立的，设{)(tX，Tt}对任意n个不同的1t，2t，…，Ttn且nntttt121)()(12tXtX，)()(23tXtX，…，)()(1nntXtX则称)(tX为具有独立增量的随机过程。122019/12/20（3）马尔可夫过程简称马氏过程。设{)(tX，Tt}对任意n个不同的1t，2t，…，Ttn且nntttt121|)((nnxtXP11)(nnxtX，…，))(11xtX=|)((nnxtXP11)(nnxtX），则称)(tX为马尔可夫过程132019/12/20马氏过程的特点马氏性实质上是无后效性，所以也称马氏过程为无后效过程。称这个特性为马尔可夫性，简称马氏性。当随机过程在时刻1nt的状态已知的条件下，它在时刻nt（1nntt）所处的状态仅与时刻1nt的状态有关，而与过程在时刻1nt以前的状态无关142019/12/20（4）平稳随机过程平稳过程的统计特性与马氏过程不同，它不随时间的推移而变化，过程的“过去”可以对“未来”有不可忽视的影响。152019/12/20第二节随机过程的分布及其数字特征一、随机过程的分布函数一维分布函数其分布函数为设{)(tX，Tt}是一个随机过程，对于固定的Tt1，)(1tX是一个随机变量，})({)(1111xtXPxtF；，Tt1称)(11xtF；为随机过程)(tX的一维分布函数。一维概率密度若存在二元非负函数)(11xtf；，使11111)()(1dyytfxtFx；；则称)(11xtf；为随机过程)(tX的一维概率密度162019/12/20二维分布函数联合分布函数二维概率密度二维随机向量（)(1tX，)(2tX）Ttt),(21})(,)({),,(22112121xtXxtXPxxttF；，称为随机过程)(tX的二维分布函数若存在非负函数),,(2121xxttf；),,(2121xxttF；=212121),,(12dydyyyttfxx；则称),,(2121xxttf；为)(tX的二维概率密度172019/12/20n维分布函数联合分布函数n维概率密度n维随机向量（)(1tX，)(2tX，…，)(ntX）),,,,,,(2121nnxxxtttF；})(,)(,)({2211nnxtXxtXxtXP，若存在非负函数),,,,,,(2121nnxxxtttf；),,,,,,(2121nnxxxtttF；=nnnxxxdydydyyyytttfn212121),,,,,,(12；182019/12/20有限维分布族一维，二维，…，n维分布函数的全体：易知}1,,,,),,,,,,,({212121nTtttxxxtttFnnn；它不仅刻划了每一时刻Tt1随机过程)(tX的状态)(1tX的分布规律，而且也刻划了任意时刻Ttttn,,,21随机过程)(tX的状态)(1tX，)(2tX，…，)(ntX之间的关系因此，一个随机过程的统计特性可由其有限维分布函数族表达出来。192019/12/20联合分布函数n+m维随机向量分布函数设)(tX和)(tY，nttt,,,21，Ttttm,,,21{)(1tX,)(2tX,…,)(ntX，)(1tY,)(2tY,…,)(mtY}nXYttF,,(1；mtt,,1；nxx,,1；myy,,1）；nnxtXxtXP)(,,)({11mmytYytY）（）（,,11}称为随机过程和的n+m维联合分布函数202019/12/20相互独立n+m维随机向量分布函数设)(tX和)(tY，nttt,,,21，Ttttm,,,21nXYttF,,(1；mtt,,1；nxx,,1；myy,,1）则称随机过程相互独立；nXttF,,(1nxx,,1）(YFmtt,,1；myy,,1）)(tX和)(tY212019/12/20例1袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t对应随机变量时取得白球如果时取得红球如果tttettX,,3)(试求这个随机过程的一维分布函数族。分析先求概率密度222019/12/20所以解对每一个确定的时刻t，)(tX的概率密度为3tte)(tX3231P)(11xtF；))((11xtXPttexexttx，13,323,011232019/12/20例1：利用抛掷一枚硬币的试验，定义一随机过程：12cos1(),()(),2()(1)(;0)(;1);(2)(,;0,1)tHXttPHPTtTXtFxFxFxx出现，设出现试确定的：一维分布函数，二维分布函数。1(0)0HXT出现解：（1）出现001(;0)01211xFxxx故1(1)1HXT出现出现011(;1)11211xFxxx故242019/12/20cos1(),()()2tHXttPHPTtT出现，。出现12121121221212011,01(,;0,1)01,111111xxxxFxxxxxxxx且或或故或，1且1234()Xt1()Xt2()Xtt1x2xT(0,1),,)1,1())1(),0((出现出现HXX252019/12/20二、随机过程的数字特征1．均值函数或称为数学期望说明设随机过程{)(tX，Tt}，则)]([)(tXEtm，Tt，称为随机过程)(tX的均值函数)(tm是)(tX的所有样本函数在时刻t的函数值的平均它表示随机过程)(tX在时刻t的摆动中心262019/12/202．方差函数说明随机过程{)(tX，Tt}的二阶中心矩]))()([()]([)(2tmtXEtXDtD称为随机过程)(tX的方差函数)(tD的平方根)(t)(tD均方差函数它表示)(tX在各个时刻t对于)(tm的偏离程度272019/12/203．协方差函数二阶中心混合矩简称协方差函数随机过程)(tX在Ttt21,的状态)(1tX和)(2tX),(21ttK))]()())(()([(2211tmtXtmtXE称为随机过程)(tX的自协方差函数当Tttt21，有注),()(ttKtD]))()([(2tmtXE282019/12/204．互协方差函数其中设)(tX和)(tY是两个随机过程对任意Ttt21,，则),(21ttKXY)]()()][()([2211tmtYtmtXEYX称为随机过程)(tX与)(tY的互协方差函数)]([)(11tXEtmX)]([)(22tYEtmY292019/12/205．相关函数简称相关函数注对任意Ttt21,)(1tX和)(2tX的二阶原点混合矩),(21ttR)]()([21tXtXE称为随机过程)(tX的自相关函数，当0)(tm时，有),(21ttR=),(21ttK302019/12/206．互相关函数注对任意Ttt21,设)(tX和)(tY是两个随机过程),(21ttRXY)]()([21tYtXE称为随机过程)(tX与)(tY的互相关函数),(21ttKXY=),(21ttRXY)()(21tmtmYX则312019/12/207．互不相关注对任意Ttt21,设)(tX和)(tY是两个随机过程),(21ttKXY=0则称随机过程)(tX与)(tY互不相关有若随机过程)(tX与)(tY互不相关则),(21ttRXY)()(21tmtmYX即)]([)]([)]()([2121tYEtXEtYtXE若322019/12/20例2解求：（1）均值函数；（2）协方差函数；（3）方差函数。设随机过程tUtX2cos)(，其中U是随机变量且5)(UE，6)(UD（1）)(tm]2cos[)]([tUEtXE][2cosUtEt2cos5（2）),(21ttK)]()()(()([(2211tmtXtmtXE]2cos)5(2cos)5[(21tUtUE])5[(2cos2cos221UEtt][2cos2cos21UDtt