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一分耕耘一分收获1第2讲反比例函数经典专题知识点回顾由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进行考察。这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识内容，又能充分体现数形结合的思想方法，考查的题型广泛，考查方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。下面就反比例函数中与面积有关的问题的四种类型归纳如下：一、利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题设P为双曲线上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy|∴xy=k故S=|k|从而得结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k|对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：结论2：在直角三角形ABO中，面积S=结论3：在直角三角形ACB中，面积为S=2|k|结论4：在三角形AMB中，面积为S=|k|例题讲解【例1】如右图，已知△P10A1，△P2A1A2都是等腰直角三角形，点P1、P2都在函数y=4x（x＞0）的图象上，斜边OA1、A1A2都在x轴上．则点A2的坐标为.1、如例1图，已知△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3…△PnAn-1An都是等腰直角三角形，点P1、P2、P3…Pn都在函数y=4x（x＞0）的图象上，斜边OA1、A1A2、A2A3…An-1An都在x轴上．则点A10的坐标为2、已知点A（0,2）和点B（0，-2），点P在函数y=1x的图像上，如果△PAB的面积为6，一分耕耘一分收获2求P点的坐标。【例2】如右图，已知点（1,3）在函数y=kx（x＞0）的图像上，矩形ABCD的边BC在x轴上，E是对角线BD的中点，函数y=kx（k＞0）的图象又经过A,E两点，点E的横坐标为m，解答下列各题1.求k的值2.求点C的横坐标（用m表示）3.当∠ABD=45°时，求m的值1、已知：如图，矩形ABCD的边BC在x轴上，E是对角线AC、BD的交点，反比例函数y=2x（x＞0）的图象经过A，E两点，点E的纵坐标为m．（1）求点A坐标（用m表示）（2）是否存在实数m，使四边形ABCD为正方形，若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由一分耕耘一分收获32、如图1，矩形ABCD的边BC在x轴的正半轴上，点E（m，1）是对角线BD的中点，点A、E在反比例函数y=kx的图象上．（1）求AB的长；（2）当矩形ABCD是正方形时，将反比例函数y=kx的图象沿y轴翻折，得到反比例函数y=1kx的图象（如图2），求k1的值；（3）直线y=-x上有一长为2动线段MN，作MH、NP都平行y轴交在条件（2）下，第一象限内的双曲线y=kx于点H、P，问四边形MHPN能否为平行四边形（如图3）？若能，请求出点M的坐标；若不能，请说明理由．【例3】在平面直角坐标系中，已知A(1,0),B(0,1)，矩形OMPN的相邻两边OM，ON分别在x，y轴的正半轴上，O为原点，线段AB与矩形OMPN的两边MP,NP的交点分别为E,F,△AOF∽△BOE（顶点依次对应）（1）求∠FOE；（2）求证：矩形OPMN的顶点P必在某个反比例函数图像上，并写出该函数的解析式。一分耕耘一分收获4如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+1分别交x轴、y轴于A，B两点，点P（a，b）是反比例函数y=12x在第一象限内的任意一点，过点P分别作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，PM，PN分别交直线AB于E，F，有下列结论：①AF=BE；②图中的等腰直角三角形有4个；③S△OEF=12（a+b-1）；④∠EOF=45°．其中结论正确的序号是----【例4】已知：如右图，已知反比例函数y=2kx和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图像经过（a，b），（a+1，b+k）.（1）求反比例函数的解析式；（2）如图，已知点A在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A的坐标；（3）利用（2）的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由．一分耕耘一分收获5已知反比例函数y=2kx和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过（a，b），（a+k，b+k+2）两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）求反比例函数与一次函数两个交点A、B的坐标：（3）根据函数图象，求不等式2kx＞2x-1的解集；（4）在（2）的条件下，x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由。一、巩固练习：解答题1、已知反比例函数y=kx图象过第二象限内的点A（-2，m），作AB⊥x轴于B，Rt△AOB面积为3；若直线y=ax+b经过点A，并且经过反比例函数y=kx的图象上另一点C（n，-1）．（1）反比例函数的解析式为，m=，n=；（2）求直线y=ax+b的解析式；（3）设直线y=ax+b与x轴交于M，求AM的长；（4）根据图象写出使反比例函数y=kx值大于一次函数y=ax+b的值的x的取值范围。一分耕耘一分收获62、已知如图：矩形ABCD的边BC在x轴上，E为对角线BD的中点，点B、D的坐标分别为B（1，0），D（3，3），反比例函数y=kx的图象经过A点，（1）写出点A和点E的坐标；（2）求反比例函数的解析式；3、如右图已知反比例函数y=kx（k＜0）的图像经过点A（-3，m），过A点作AB⊥x轴于点B,且△AOB的面积为3。123(1)求k和m的值(2)若一次函数y=ax+1的图像经过点A，并且与x轴相交于点M,求∠AMO和|AO|:|AM|的值二、拓展训练4、已知反比例函数y=2kx和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过（a，b）、（a+1，b+k）两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）若两个函数图象在第一象限内的交点为A（1，m），请问：在x轴上是否存在点B，使△AOB为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点B的坐标；（3）若直线y=-x+12交x轴于C，交y轴于D，点P为反比例函数y=2kx（x＞0）的图象上一点，过P作y轴的平行线交直线CD于E，过P作x轴的平行线交直线CD于F，求证：DE•CF为定值．一分耕耘一分收获7过手练习1、已知：如右图已知反比例函数y=12x的图像与一次函数y=kx-7的图像都经过P（m，2）（1）求这个一次函数的解析式；（2）如果等腰梯形ABCD的顶点A、B在这个一次函数的图象上，顶点C、D在这个反比例函数的图象上，两底AD、BC与y轴平行，且A和B的横坐标分别为a和a+2，求a的值．2.为预防“手足口病”，某校对教室进行“药熏消毒”.已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（min）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）.现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为8mg.据以上信息解答下列问题：（1）求药物燃烧时y与x的函数关系式.（2）求药物燃烧后y与x的函数关系式.一分耕耘一分收获8（3）当每立方米空气中含药量低于1.6mg时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，经多长时间学生才可以回教室？3.如图，平面直角坐标系中,已知P(1,1),A为Y轴的负半轴上的一点，B为X轴的正半轴上一点，PA=PB，（1）求证：∠OAP=∠OBP(2)若A(0，-2），求B点的坐标（3）当A点在Y轴的负半轴上运动时，OB——OA的值是否发生变化？说明理由。4已知：在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b经过定点A（1,0），函数y=|x|的图像是C一分耕耘一分收获9（1）写出直线y=kx+b与C的交点个数g与k的函数关系式（2)若直线y=kx+b与C有两个交点，从右到左分别记为B、C，坐标原点为0，问是否存在这样的k与b，使得S△ABO：S△BCO=1:25.如图在平面直角坐标系中，直线y=-1/2x+b（b0）与x轴、y轴分别交于A、B两点,已知C点的坐标为（4，0）(1）OA=________（2）若在直线上存在点Q，使∠OQC＝90°，则的取值范围是-----6.如图1所示,在平面直角坐标系中,点A(-1,0),点B(3,0),点C在双曲线y=2/x上,且CA=CB（1）c的坐标（1,2）(2)点M在y轴负半轴上，且M(﹣根号3,0),求证：MC平分∠AMB一分耕耘一分收获107.如图,在平面直角坐标系中,已知A点坐标(4,0)B点坐标(0,8),点M是线段OA上一动点（不与点O,点A重合），点N是线段OB上一动点，且运动时始终保持ON=2AM,连接MN，并作△OMN的角平分线OD交线段MN于点D.（1）当△ODN相似且相等△ODA时，线段MN上有哪几个整数点（横坐标，纵坐标都是整数的点）？（2）当OD=DM时，求△OMN中的整数点的个数（包括三角形边上的点），并说明理由。（3）点D可能是整数点吗？若存在，则请求出OM的长度：若不存在，则说明理由。