第2讲平面向量、复数、算法及合情推理

第2讲平面向量、复数、算法及合情推理高考导航热点透析方法策略高考体验1.(2013年高考四川卷,文3)如图所示,在复平面内,点A表示复数z的共轭复数,则复数z对应的点是(B)(A)A(B)B(C)C(D)D解析:两个复数互为共轭复数,则两个复数的实部相同,虚部相反,对应的点关于x轴对称,所以复数z对应的点是B.故选B.高考导航—演练真题明确备考2.(2013年高考新课标全国卷Ⅰ,文7)执行如图程序框图,如果输入的t∈[-1,3],则输出的s属于(A)(A)[-3,4](B)[-5,2](C)[-4,3](D)[-2,5]解析:若t∈[-1,1),则s=3t∈[-3,3);若t∈[1,3],s=4t-t2∈[3,4].综上所述s∈[-3,4].故选A.3.(2013年高考四川卷,文12)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AB+AD=λAO,则λ=.解析:因为O为AC的中点,所以AB+AD=AC=2AO,即λ=2.答案:24.(2012年高考新课标全国卷,文15)已知向量a,b夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=10,则|b|=.解析:∵|2a-b|=10,∴(2a-b)2=10,即4|a|2-4a·b+|b|2=10,∴4+|b|2-4|b|cos45°=10,整理得|b|2-22|b|-6=0,解得|b|=32或|b|=-2(舍去).答案:325.(2013年高考陕西卷,文13)观察下列等式:(1+1)=2×1(2+1)(2+2)=22×1×3(3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5…照此规律,第n个等式可为.解析:第n个等式为:(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n×1×3×5×…×(2n-1).答案:(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n×1×3×5×…×(2n-1)感悟备考(1)高考对平面向量的考查主要涉及向量的线性运算、两向量共线与垂直的条件、向量数量积的运算及应用等.有时与解析几何交汇命题,以选择、填空题的形式出现,难度中等,备考时注意强化数形结合思想与“坐标化”方法的训练.(2)复数的四则运算有时单独考查,有时与复数的相关概念、复数的几何意义等相互交汇考查,主要以选择题形式出现,难度较小,在备考时注意将复数化为代数形式再进行求解,同时注意“分母实数化”的运用.(3)程序框图经常与函数求值、方程求解、不等式求解、数列求和、统计量的计算等交汇在一起命题,多以选择、填空题出现,难度中等及以下,备考时要结合所学知识将程序框图表达的实际意义弄清楚,然后再对问题作答.(4)注重强化“观察、归纳、推理”方法的训练,对合情推理的考查主要以归纳推理为主,常与数列、立体几何、解析几何等结合在一起命题,求解此类问题时要根据题目特征寻求规律,恰当类比.热点一复数【例1】(1)(2013宜宾二模)若i是虚数单位,则(4+3i)(4-3i)等于()(A)25(B)7(C)25i(D)7i(2)下面是关于复数z=i12的四个命题:P1:|z|=2;P2:z2=2i;P3:z的共轭复数为1+i;P4:z的虚部为-1,其中的真命题为()(A)P2,P3(B)P1,P2(C)P2,P4(D)P3,P4热点透析—典例剖析锁定高考解析:(1)(4+3i)(4-3i)=16-9i2=25.故选A.(2)z=i12=i1i1i-12=-1-i,因此z的虚部为-1且|z|=2,z2=(-1-i)2=2i,z=-1+i,从而四个命题中P1,P3为假命题,P2,P4为真命题,故选C.规律方法(1)与复数的相关概念和复数的几何意义有关的问题,一般是先变形,把复数的非代数形式化为代数形式,然后再根据条件,列方程(组)求解.(2)在有关复数z的等式中,可设出z=a+bi(a,b∈R),用待定系数法求解,也可把z看成自变量直接求解.热点训练1(1)(2012年高考新课标全国卷)复数z=i2i3的共轭复数是()(A)2+i(B)2-i(C)-1+i(D)-1-i(2)(2012年高考北京卷)在复平面内,复数i30i1对应的点的坐标为()(A)(1,3)(B)(3,1)(C)(-1,3)(D)(3,-1)解析:(1)z=i2i3=i2i2i2i3=5i55=-1+i,所以其共轭复数为z=-1-i.故选D.(2)i30i1=i3i3i-3i10=22i910i-i30=10i3010=1+3i,实部为1,虚部为3,对应复平面上的点为(1,3),故选A.热点二平面向量的运算与应用【例2】(1)(2013年高考新课标全国卷Ⅰ)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b,若b·c=0,则t=.(2)(2012年高考江苏卷)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若AB·AF=2,则AE·BF的值是.解析:(1)∵b·c=0,∴ta·b+(1-t)b·b=0,故2t+(1-t)=0,∴t=2.(2)法一(向量法)∵AE·BF=(AB+BE)·(BC+CF)=AB·BC+AB·CF+BE·BC+BE·CF=0+AB·(DF-DC)+12|BC|2+0=AB·DF-AB·DC+2=AB·DF-(2)2+2=AB·DF,AB·DF=AB·(AF-AD)=AB·AF-AB·AD=2-0=2,∴AE·BF=2.法二(数量积定义法)∵AB·AF=2,∴|AB||AF|cos∠FAB=2,又|AF|cos∠FAB=|DF|,由AB=2,∴2·|DF|=2,∴|DF|=1,∴|CF|=2-1,设AE和BF的夹角为θ,则θ=∠AEB+∠FBC,设∠AEB=α,∠FBC=β,∴AE·BF=|AE||BF|cosθ=|AE||BF|cos(α+β)=|AE||BF|(cosαcosβ-sinαsinβ)=|AE|cosα·|BF|cosβ-|AE|sinα·|BF|sinβ=|BE|·|BC|-|AB|·|CF|=1×2-2×(2-1)=2.法三(坐标法)以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系如图所示,则A(0,0),B(2,0),E(2,1),设F(x,2)(0≤x≤2),故AB=(2,0),AF=(x,2),AE=(2,1),BF=(x-2,2),∴AB·AF=(2,0)·(x,2)=2x,又AB·AF=2,∴x=1,∴BF=(1-2,2),∴AE·BF=(2,1)·(1-2,2)=2-2+2=2.答案:(1)2(2)2规律方法(1)解决平面向量问题要灵活运用向量平行与垂直的充要条件列方程.(2)正确理解并掌握向量的概念及运算;强化“坐标化”的解题意识;注重数形结合思想、方程思想与转化思想的应用.热点训练2(1)(2013乐山高中二调)已知两点A(-1,0),B(1,3),向量a=(2m-1,2),若AB⊥a,则实数m的值为()(A)-1(B)-2(C)1(D)2(2)(2012年高考湖南卷)如图,在平行四边形ABCD中,AP⊥BD,垂足为P,且AP=3,则AP·AC=.解析:(1)AB=(2,3),由AB⊥a,得2(2m-1)+3×2=0,解得m=-1.故选A.(2)设AC∩BD=O,则AC=2(AB+BO),AP·AC=AP·2(AB+BO)=2AP·AB+2AP·BO=2AP·AB=2AP(AP+PB)=2|AP|2=18.答案:(1)A(2)18热点三算法【例3】(1)(2013年高考辽宁卷)执行如图所示的程序框图,若输入n=8,则输出的S=()(A)94(B)76(C)98(D)1110(2)(2013乐山市三调)阅读下面程序框图,为使输出的数据为31,则处应填的数字为.解析:(1)当i=2时,S=0+1212=31,i=4;当i=4时,S=31+1412=52,i=6;当i=6时,S=52+1612=73,i=8;当i=8时,S=73+1812=94,i=10.不满足循环的条件i≤8,退出循环,输出S=94,故选A.(2)此框图的功能是求和s=1+2+22+…+2i,由于1+2+22+23+24=31.故应填5.答案:(1)A(2)5规律方法(1)解决程序框图问题:①要读懂程序框图,弄清程序框图的基本结构;②解决含循环结构的问题,当循环体中变量较多时,要用表格法对数据管理,以防止程序运行不彻底,造成失误;③要特别注意计数变量执行的先后顺序对结果的影响.(2)解决算法语句有三个步骤:首先通读全部语句,把它翻译成数学问题;其次领悟该语句的功能;最后根据语句的功能运行程序,解决问题.热点训练3(2013年高考天津卷)阅读如图程序框图,运行相应的程序,则输出n的值为()(A)7(B)6(C)5(D)4解析:由程序框图知,当n=1时,S=-1,n=2;当n=2时,S=-1+(-1)2×2=1,n=3;当n=3时,S=1+(-1)3×3=-2,n=4;当n=4时,S=-2+(-1)4×4=2,满足条件,退出循环,输出n=4.故选D.热点四合情推理【例4】(2013年高考湖北卷)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,…,第n个三角形数为12nn=12n2+12n.记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式:三角形数N(n,3)=12n2+12n,正方形数N(n,4)=n2,五边形数N(n,5)=32n2-12n,六边形数N(n,6)=2n2-n,……可以推测N(n,k)的表达式,由此计算N(10,24)=.解析:设N(n,k)=akn2+bkn(k≥3),则数列{ak}是以12为首项,12为公差的等差数列,ak=12+(k-3)×12=22k.{bk}是以12为首项,-12为公差的等差数列,bk=12-32k=-42k.所以N(n,k)=12kn2-22kn.所以N(10,24)=11×102-10×10=1000.答案:1000规律方法(1)在进行归纳推理时,要先根据已知的部分个体,把它们适当变形,找出它们之间的联系,从而归纳出一般结论.(2)在进行类比推理时,要充分考虑已知对象性质的推理过程,然后通过类比,推导出类比对象的性质.(3)归纳推理关键是找规律,类比推理关键是看共性.热点训练436的所有正约数之和可按如下方法得到:因为36=22×32,所以36的所有正约数之和为(1+3+32)+(2+2×3+2×32)+(22+22×3+22×32)=(1+2+22)(1+3+32)=91.参照上述方法,可求得2000的所有正约数之和为.解析:类比36的所有正约数之和的方法,有:2000的所有正约数之和可按如下方法得到:因为2000=24×53,所以2000的所有正约数之和为(1+2+22+23+24)(1+5+52+53)=4836.可求得2000的所有正约数之和为4836.答案:4836数形结合、坐标法在向量问题中的应用【典例】(2013年高考湖南卷)已知a,b是单位向量,a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为()(A)2-1(B)2(C)2+1(D)2+2方法策略—以例释法高分技巧审题策略:(1)审题:①审条件:1°.a,b是单位向量;2°.a·b=0;3°.|c-a-b|=1.②审结论:求|c|的最大值.(2)联想:由条件1°、2°知a与b垂直,且为单位向量,故可用坐标法求解.设a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y),则由条件得c-a-b=(x-1,y-1),且(x-1)2+(y-1)2=1.(3)方法:由所求结论|c|=22xy,即点(x,y)到原点(0,0)距离的最大值,而点(x,y)在圆(x-1)2+(y-1)2=1上,故可利用数形结合思想求解.解析:∵|a|=|b|=1,且a·b=0,∴可设a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y).∴c-a-b=(x-1,y-1).∵|c-a-