第3章-31回归分析的基本思想及其初步应用

3．1回归分析的基本思想及其初步应用●三维目标1.知识与技能通过本节的学习，了解回归分析的基本思想，会对两个变量进行回归分析，明确建立回归模型的基本步骤，并对具体问题进行回归分析，解决实际应用问题．2．过程与方法通过实际问题去理解回归分析的必要性，明确回归分析的基本思想，从散点图中点的分布上发现直接求回归直线方程存在明显的不足，从中去发现解决问题的新思路——进行回归分析，发现残差分析的方法和利用R2来表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，从中选择较为合理的回归方程．3．情感、态度与价值观利用整体的观点和互相联系的观点来分析问题，进一步加强数学的应用意识，增强学好数学、用好数学的信心，加强与现实生活的联系，以科学的态度评价两个变量的相互关系．体会与他人合作的重要性，理解处理问题的方法与结论的联系，形成实事求是的严谨的治学态度和锲而不舍的求学精神．●重点、难点重点：线性回归方程的建立及随机误差的来源．难点：残差变量的解释与残差分析．通过例1的讲解使学生进一步理解线性回归方程的建立及随机误差的产生，学会残差分析、突出重点，化解难点．课标解读1.通过对典型、案例的探究，了解回归分析的基本思想、方法及其初步应用．2．会求回归直线方程，并用回归直线方程进行预报．3．了解最小二乘法的思想方法，理解回归方程与一般函数的区别与联系.回归分析【问题导思】某电脑公司有5名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表：推销员编号12345工作年限x/年35679推销金额y/万元23345请问如何表示推销金额y与工作年限x之间的相关关系？y关于x的线性回归方程是什么？【提示】画出散点图，由图可知，样本点散布在一条直线附近，因此可用回归直线表示变量之间的相关关系．设所求的线性回归方程为y∧＝b∧x＋a∧，则b∧＝∑5i＝1xi－xyi－y∑5i＝1xi－x2＝1020＝0.5，a∧＝y－b∧x＝0.4.所以年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为y∧＝0.5x＋0.4.1．线性回归模型(1)表达式y＝Ee＝，De＝.(2)基本概念：①a和b为模型的未知参数．②e是y与bx＋a之间的误差．通常e为随机变量，称为．③x称为，y称为．bx＋a＋e0σ2随机误差解释变量预报变量2．衡量回归方程的预报精度的方法(1)残差平方和法①ei∧称为相应于点(xi，yi)的残差．②残差平方和，残差平方和，模型拟合效果越好．i＝1nyi－yi∧2越小(2)残差图法残差点地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适．这样的带状区域的宽度，说明模型的拟合精度越高．比较均匀越窄(3)利用相关指数R2刻画回归效果其计算公式为：R2＝；其几何意义：，表示回归的效果越好．1－i＝1nyi－yi∧2i＝1nyi－y2R2越接近于13．建立回归模型的基本步骤(1)确定研究对象，明确哪个变量是，哪个变量是．(2)画出和的，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)．(3)由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程．解释变量预报变量解释变量预报变量散点图(4)按一定规则(如最小二乘法)估计回归方程中的参数．(5)得出结果后分析是否有异常(如个别数据对应残差，残差呈现等)．若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等.残差图过大不随机的规律性求线性回归方程某班5名学生的数学和物理成绩如表：学生学科ABCDE数学成绩(x)8876736663物理成绩(y)7865716461(1)画出散点图；(2)求物理成绩y对数学成绩x的线性回归方程；(3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩．【思路探究】解答本题先求出b∧、a∧即可求出回归方程，然后预测物理成绩．【自主解答】(1)散点图如图：(2)x＝15×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2.y＝15×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8.i＝15xiyi＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25054.i＝15x2i＝882＋762＋732＋662＋632＝27174.∴b∧＝i＝15xiyi－5x·yi＝15x2i－5x2≈0.625.∴a∧＝y－b∧x＝67.8－0.625×73.2＝22.05.∴y对x的线性回归方程是y∧＝0.625x＋22.05.(3)当x＝96时，y＝0.625×96＋22.05≈82.可以预测其物理成绩为82分．1．求线性回归方程的基本步骤：(1)列出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系．(2)计算x，y，i＝1nx2i，i＝1ny2i，i＝1nxiyi.(3)代入公式求出y∧＝b∧x＋a∧中参数b∧，a∧的值．(4)写出线性回归方程并对实际问题作出估计．2．需特别注意的是，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归方程才有实际意义，否则求出的回归方程毫无意义．将本题(2)改为“求数学成绩y对物理成绩x的线性回归方程”，又如何？【解】y＝15×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2.x＝15×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8.i＝15xiyi＝25054.i＝15x2i＝782＋652＋712＋642＋612＝23167.∴b∧＝i＝15xiyi－5x·yi＝15x2i－5x2＝25054－5×67.8×73.223167－22984.2＝239.2182.8≈1.31，∴a∧＝y－b∧x≈73.2－88.8＝－15.6.∴y对x的线性回归方程为y∧＝1.31x－15.6.线性回归分析某运动员训练次数与成绩之间的数据关系如下：次数(x)3033353739444650成绩(y)3034373942464851(1)作出散点图；(2)求出回归方程；(3)作出残差图；(4)计算相关指数R2.【思路探究】解答本题可按题目所要求的顺序一一作出解答．【自主解答】(1)作出该运动员训练次数(x)与成绩(y)之间的散点图，如图所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系．(2)x＝39.25，y＝40.875，∑8i＝1x2i＝12656，∑8i＝1y2i＝13731，∑8i＝1xiyi＝13810，∴b∧＝∑8i＝1xiyi－8xy∑8i＝1x2i－8x2≈1.0415，a∧＝y－b∧x＝－0.003875，∴回归方程为y∧＝1.0415x－0.003875.(3)残差分析某运动员训练次数与成绩之间的数据及相应的残差数据x3033353739444650y3034373942464851e∧＝y－y∧－1.2411－0.36560.55140.46841.38540.17790.0949－1.0711作残差图如图所示：由图可知，残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适．(4)计算相关指数R2计算得相关指数R2＝0.9855.说明了该运动员成绩的差异有98.55%是由训练次数引起的．1．该类题属于线性回归问题，解答本题应先通过散点图来分析两变量间的关系是否线性相关，然后再利用求回归方程的公式求解回归方程，并利用残差图或相关指数R2来分析函数模型的拟合效果，在此基础上，借助回归方程对实际问题进行分析．2．刻画回归效果的三个方式(1)残差图法，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适．(2)残差平方和法：残差平方和∑ni＝1(yi－y∧i)2越小，模型的拟合效果越好，(3)相关指数法：R2＝1－∑ni＝1yi－y∧i2∑ni＝1yi－y2越接近1，表明回归的效果越好．在10年期间，一城市居民的年收入与某种商品的销售额之间的关系有如下数据：第几年12345城市居民年收入x(亿元)32.231.132.935.837.1某商品销售额y(万元)25.030.034.037.039.0第几年678910城市居民年收入x(亿元)38.039.043.044.646.0某商品销售额y(万元)41.042.044.048.051.0(1)画出散点图；(2)如果散点图中的各点大致分布在一条直线的附近，求y与x之间的回归直线方程．【解】(1)散点图如下图．(2)由散点图知各点大致分布在一条直线的附近，y与x之间具有线性相关关系．b∧＝i＝110xiyi－10xyi＝110x2i－10x2＝15202.9－10×37.97×39.114663.67－10×37.972＝356.63246.461≈1.447，a∧＝y－bx＝39.1－1.447×37.97≈－15.843，因此所求的回归直线方程是y∧＝bx＋a＝1.447x－15.843.非线性回归分析下表为收集到的一组数据：x21232527293235y711212466115325(1)作出x与y的散点图，并猜测x与y之间的关系；(2)建立x与y的关系，预报回归模型并计算残差；(3)利用所得模型，预报x＝40时y的值．【思路探究】画出散点图→确定是否线性相关→确定函数模型→转化为线性模型→求回归方程→进行拟合→进行预报【自主解答】(1)作出散点图如图，从散点图可以看出x与y不具有线性相关关系，根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数型函数曲线y＝c1ec2x的周围，其中c1、c2为待定的参数．(2)对两边取对数把指数关系变为线性关系，令z＝lny，则有变换后的样本点应分布在直线z＝bx＋a，a＝lnc1，b＝c2的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立y与x之间的非线性回归方程了，数据可以转化为：x21232527293235z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784求得回归直线方程为z∧＝0.272x－3.849，∴y∧＝e0.272x－3.849.残差列表如下：yi711212466115325yi∧6.44311.10119.12532.95056.770128.381290.325ei∧0.557－0.1011.875－8.9509.23－13.38134.675(3)当x＝40时，y＝e0.272x－3.849≈1131.非线性回归问题的处理方法(1)指数函数型y＝ebx＋a①函数y＝ebx＋a的图象：②处理方法：两边取对数得lny＝lnebx＋a，即lny＝bx＋a.令z＝lny，把原始数据(x，y)转化为(x，z)，再根据线性回归模型的方法求出a，b.(2)对数函数型y＝blnx＋a①函数y＝blnx＋a的图像：②处理方法：设x′＝lnx，原方程可化为y＝bx′＋a，再根据线性回归模型的方法求出a，b.(3)y＝bx2＋a型处理方法：设x′＝x2，原方程可化为y＝bx′＋a，再根据线性回归模型的方法求出a，b.为了研究某种细菌随时间x的变化繁殖个数y的变化，收集数据如下：时间x/天123456繁殖个数y612254995190(1)用时间作解释变量、繁殖个数作预报变量作出这些数据的散点图；(2)求y与x之间的回归方程；(3)计算残差、相关指数R2.【解】(1)散点图如图所示：(2)由散点图可看出，样本点分布在一条指数函数y＝c1ecx2的周围，于是令z＝lny，则x123456z1.792.483.223.894.555.25由计算器算得z∧＝0.69x＋1.112，则有y∧＝e0.69x＋1.112.(3)残差分析列表如下：xi123456yi612254995190z∧i－0.06176－0.085420.9051050.961633－0.77484－0.94778经计算，相关指数R2≈0.9999.混淆a，b致误假设学生在初一和初二的数学成绩是线性相关的，若10个学生初一数学成绩(x)和初二数学成绩(y)列表如下：x74717268767367706574y76757170767965776272试求初一和初二数学成绩间的回归直线方程．【错解】由题意求得x＝71，∑10i＝1x2i＝50520，y＝72.3，∑10i＝1xiyi＝51467，∴a∧＝51467－10×71×72.350520－10×712≈1.2182.b