第3章_连续信号的频谱傅里叶变换

第三章连续信号的频谱——傅里叶变换本章的主要内容：1、周期信号的傅里叶级数分析2、典型周期信号的傅里叶级数3、傅里叶变换4、典型非周期信号的傅里叶变换5、冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换6、傅里叶变换的基本性质7、卷积特性（卷积定理）8、周期信号的傅里叶变换9、抽样信号的傅里叶变换10、抽样定理第一节引言傅里叶分析发展史•从本章开始由时域分析转入频域分析。•傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的。•傅里叶分析的研究与应用经历了一百余年。•1822年法国数学家傅里叶（J.Fourier,1768-1830）在研究热传导理论时发表了“热的分析理论”著作，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。•泊松（Poisson）、高斯（Gauss）等人把这一成果应用到电学中去。•伴随电机制造、交流电的产生与传输等实际问题的需要，三角函数、指数函数以及傅里叶分析等数学工具已得到广泛的应用。•直到19世纪末，制造出电容器。20世纪初，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的在通信系统中的应用开辟了广阔的前景。•从此，在通信与控制系统的理论研究和实际应用之中，采用频率域（频域）的分析方法比经典的时间域（时域）方法有许多突出的优点。•当今，傅里叶分析方法已成为信号分析与系统设计不可缺少的重要工具。•20世纪70年代，出现的各种二值正交函数（沃尔什函数），它对通信、数字信号处理等技术领域的研究提供了多种途径和手段。使人们认识到傅里叶分析不是信息科学与技术领域中唯一的变换域方法。•但傅里叶分析始终有着极其广泛的应用，它是研究其他变换方法的基础。而且出现了”快速傅里叶变换（FFT）”它给傅里叶分析这一数学工具增添了新的生命力。•傅里叶分析方法不仅应用于电力工程、通信和控制领域之中，而且在力学、光学、量子物理和各种线性系统分析等许多有关数学、物理和工程技术领域中得到广泛的应用。•本章讨论的路线：•傅里叶级数正交函数——傅里叶变换，建立信号频谱的概念；•通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，掌握傅里叶分析方法的应用。•对于周期信号而言，进行频谱分析可用傅里叶级数或傅里叶变换；傅里叶级数相当于傅里叶变换的一种特殊表达形式。•最后对研究周期信号与抽样信号的傅里叶变换，并介绍抽样定理，抽样定理奠定了数字通信的理论基础。第二节周期信号的傅里叶级数分析一、三角函数形式的傅里叶级数）角频率为任意周期信号（周期设1112,Tf(t)T则其可展开为三角函数形式的傅里叶级数11;nn其中基波——角频率为的分量次谐波——角频率为的分量0111cos()sin()()nnnaaftttbnn1、一种三角函数形式的傅里叶级数011001001010111011cos()11()()2()2()1,2,in)...s(tTTttTtnntTtftdtftdtTTftdtTftdtttTnaabnn直流分量：其中余弦分量幅度：正弦分量幅度：为了积分方便，通常取积分区间为：2~2~0111TTT或三角函数集是一组完备函数集。110101cos(()()s)in()nnnnnnftftddntctcn或展开为常用形式f(t)2、另一种三角函数形式的傅里叶级数20200,nnnnnnnnnnddaarctgarctgcacabbab其中f(t)傅里叶级数存在的充分条件：周期信号须满“狄利克雷”(Dirichlet足)条件，即010()tTtftdt间断点极值绝一周期内仅有限个；一周期内仅有限个；一周可期内对，积3、傅里叶级数展开的充分条件通常所遇到的周期性信号都能满足此条件，因此，以后除非特殊需要，一般不再考虑这一条件。4、基波、谐波通常把频率为：1112wTf称为基波。频率为：1112222wTf称为二次谐波。1112333wTf频率为：称为三次谐波。1112333wTf频率为：称为三次谐波。可见，直流分量的大小以及基波与各次谐波的幅度、相位取决于周期信号的波形。1~nnc单边频谱图：信号的幅度谱1~nn信号的相位谱其中各频率分量幅度称为“”；连各谱线顶点的曲线称为?谱线包络线”。5、幅度谱、相位谱0n1w13w1nww1w13w0cnc1c2c3c1nww0离散性谐波性具有、、收敛性周期信号的主要特点：二、指数形式的傅里叶级数）角频率为任意周期信号（周期设1112,Tf(t)T则其可展开为指数形式的傅里叶级数11(())jtnnnFfte1、指数形式的傅里叶级数的形式2.指数形式的傅里叶级数中各个量之间的关系221n021122(nnnnnnnnnnnjFFaFjbabce当时，其中三角函数形式）)(21nnjnnjbaeFFn010110100()1()~tTtnnjtftdtTnFnFFcae记复函数：其中直流分量：3.指数形式表示的信号频谱--复数频谱11~~nnnnF双边频谱图：复函数幅度谱，复函数相位谱具有、、（负频率的结离散果仅性谐波性收敛性是数学处理）Fn一般是复函数，所以称这种频谱为复数频谱。1w0cnF121c221c1nww01w1nw0n1nww1nw1w0cnF121c221c1nww01w1nw幅度谱与相位谱合并正、负频率相应项成对合并，才是实际频谱函数。4.周期信号的功率特性—时域和频域能量守恒定理f(t)P平均功率时域与频域的能量守恒：任意周期信号的等于其傅各谐波分量里叶级数展有效值开式中的平方和周期信号的平均功率P：在一个周期内求平方再求积分。)(2tfP12220)(21nnnbaannF2100)(121TttdttfT122021nncc帕塞瓦尔定理1.函数的对称性三、函数的对称性与傅里叶系数的关系要将信号f(t)展开为傅里叶级数，如果f(t)是实函数，且它波形满足某种对称性，则在其傅里叶级数中有些项为0，留下的各项系数的表示式也比较简单。波形对称性有两类：（1）对整周期对称。即偶函数和奇函数。（2）对半周期对称。即奇谐函数、偶谐函数。2.傅里叶级数的系数求解(1)偶函数信号1()Fn其傅里叶级数三角展开式中仅含和，其傅里叶级数指数展开式中直为流项余弦项实函数。112014cos()()()0()nnTtanftdtTftfbt1)偶函数信号：,20nnnnnnacaFFt)(tfE021T21T例如：周期三角波信号是一偶函数)5cos(251)3cos(91)cos(42)(1112twtwtwEEtf其傅里叶级数表达式为：1()Fn其傅里叶级数三角展开式中仅含，其傅里叶级正弦项数指数展开式纯中为虚函数。102011004()()(sin())TnnaftftftabtTtnd2)奇函数信号：，－0010,,290nnnnnncacbFFbj)3sin(31)2sin(21)sin()(111twtwtwEtf其傅里叶级数表达式为：t)(tf2E021T21T例如：周期锯齿波信号是一奇函数2E（2）奇函数信号其傅里叶级数三角展开式中仅含和基波奇次谐波1112011201cos()sin4()4(()0)nnnTTnababnnnttftdtTftdtnT为偶，为奇，（3）奇谐函数信号（半波对称函数）002210,,2nnnnnnnncacabFarctbagc＋奇谐函数信号：若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转，此时波形并不发生变化，即满足：00a)2()(1Ttftf例子例如：奇谐函数t)(tf2E021T21T2Et)(tf2E021T21T2E)cos(1twt)(tf2E021T21T2E)sin(1twt)(tf2E021T21T2E)2sin(1tw四、傅里叶有限级数与最小方均误差010221)()1(nNNtTtEdtTtt方均误差：0111()cos()sin()NnnNnnttaabStn有限项傅里叶级数：()(f(t(()))NNtStft其中误为逼近的差函数）实际应用中，经常采用有限项级数来代替无限项级数。显然，有限项数是一种近似的方法，所选项数愈多，有限项级数愈逼近原函数，其方均误差愈小。例子以下为对称方波，注意不同的项数，有限级数对原函数的逼近情况，并计算由此引起的方均误差。t)(tf2E041T41T2Et)(tf)cos(21twE041T41T2E只取基波分量一项)5cos(51)3cos(31)cos(2)(111twtwtwEtf解：其傅里叶级数表达式为：从上面例子看出：（1）n愈大，则愈逼近原信号f(t)。(2)当信号f(t)是脉冲信号时，其高频分量主要影响脉冲的跳变沿；低频分量影响脉冲的顶部。f(t)波形变化愈剧烈，所含的高频分量愈丰富；f(t)变化愈缓慢，所含的低频分量愈丰富。(3)当信号中任一频谱分量的幅度或相位发生相对变化时，输出波形一般要发生失真。t)(tf)cos(21twE041T41T2E取基波分量和三次谐波分量)3cos(321twE取基波、三次谐波分量和五次谐波分量t)(tf)cos(21twE041T41T2E)cos(21twE)5cos(521twE当选取傅里叶有限级数的项数N很大时，该峰起值趋于一个常数，它大约等于总跳变值的9%，并从不连续点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去。此现象称为吉布斯现象。五、吉布斯（Gibbs）现象105.0t)(tf1n%99n3n举例3.1：指数形式的傅里叶级数函数形式和将图示信号展开为三角f(t)-T-T/20T/2Tt解：0)(natf为奇函数02,1220,12)(tTtTTttTtf11)sin()(nntnbtf20111)sin()(4TndttntfTb201111)sin(]12[4TdttntTTbababavduuvudv分部积分法2011201111112)cos()cos(124TTndtTtntntTnTb121011142[1]cos()TtdntTnT,2,1,2411nnTn20111111)sin(1214TntnnTTnb11)sin(2)(ntnntf11)90cos(12)(ntnntf常用形式次谐波分量的相位）（第次谐波分量的幅值）（第（直流分量）其中n90n200nnnnnabarctgnbcc112nnnFFbjjnntjnjeentf1)90(1)(ntnjen901112nnFn，举例3.2：求其平均功率画出信号的频谱图，并已知信号)45cos(21)3cos()4sin()3sin()sin(21)(ttttttf)435cos(21)24cos()]3sin()3[cos()2cos(21)(ttttttf解：)435cos(21)24cos()43cos(2)2cos(21)(