第3章习题及答案(3-5)未

[3-1]基本微分方程中没有包含水的密度，为什么说它表示了质量守恒定律?答：首先，连续性方程：zyxntzyxzvyvxvzyx表达了渗流区内任何一个“局部”所必须满足的质量守恒定律，且各种研究地下水运动的微分方程都是根据连续性方程和反映动量守恒定律的方程（如Darcy定律）建立起来的。其次，在基本微分方程，如承压水运动微分方程中：tHzHKzyHKyxHKxs它表明单位时间内流入、流出单位体积含水层的水量差等于同一时间内单位体积含水层弹性释放（或弹性贮存）的水量。它还通过应用Darcy定律反映了地下水运动中的能量守恒与转化关系。可见，基本微分方程表达了渗流区中任何一个“局部”都必须满足质量守恒和能量守恒定律。这一结论也适用于半承压水运动和潜水运动的基本微分方程。最后，由：nggngdVdVbs，所以在各基本微分方程当中，水的密度的影响是通过贮水率μs来表达的。[3-2]推导渗流的连续性方程、承压水运动的基本微分方程、半承压水运动的基本微分方程、潜水运动的基本微分方程（选做其二）。答：（1）连续性方程：设在充满液体的渗流区内，以p（x，y，z）点为中心取一无限小的平行六面体（其各边长度分别为△x，△y，△z，且和坐标轴平行）作为均衡单元体（图1）。xyzaa'dd'cc'bb'ΔzΔyΔxp(x,y,z)o图1均衡单元体如p（x，y，z）点沿坐标轴方向的渗流速度分量为vx、vy、vz，液体密度为ρ，那么，通过abcd面，在△t时间内流入的水流质量1xv可利用Taylor级数求得：tzyxxvvtzyvxxx211（1.1）同理，可求出通过右侧a′b′c′d′面流出的质量为tzyxxvvtzyvxxx212（1.2）因此，沿x轴方向流入和流出单元体的质量差为：tzyxxvtzyxxvvzyxxvvxxxxx2121（1.3）同理，可以写出沿y轴方向和沿z轴方向流入和流出这个单元体的液体质量差，分别为：tzyxyvy和tzyxzvz因此，在△t时间内，流入与流出这个单元体的总质量差为：tzyxzvyvxvzyx（1.4）在均衡单元体内，液体所占的体积为n△x△y△z，其中n为孔隙度。相应的，单元体内的液体质量为ρn△x△y△z。因此，在△t时间内，单元体内液体质量的变化量为：tzyxnt（1.5）在连续流条件下（渗流区充满液体等），根据质量守恒定律，两者应该相等。因此，zyxntzyxzvyvxvzyx（1.6）式（1.6）即为渗流的连续性方程。（2）承压水运动的基本微分方程：假设，地下水流动主要是沿水平面方向进行，垂直流速可以忽略，只考虑垂向压缩。于是，只有水的密度ρ、孔隙度n和单元体高度△z三个量随压力而变化，（1.6）式的右端可改写成；zyxtpnyxtpzntpnztpznzyxnt1（2.1）于是连续性方程（1.6）变为：zyxtpnzyxzvyvxvzyx（2.2）因为水头pzH，故有：tptHgtp（2.3）将dpVdVd式代入上式得；tHpgtp1（2.4）因为水的压缩性很小，l-βp≈1，所以，tHgtp（2.5）将（2.5）式代入（2.2）式，得：zyxtHngzyxzvyvxvzvyvxvzyxzyx2（2.6）上式中，左端第二个括弧项比第一个括弧项要小得多，因此可以忽略不计，于是（2.6）式变为：zyxtHngzyxzvyvxvzyx（2.7）同时，根据Darcy定律在各向同性介质中，有：zHKvyHKvxHKvzyx,,（2.8）将式（2.8）代入式（2.7），得：zyxtHngzyxzHKzyHKyxHKx（2.9）根据贮水率的定义，上式可改写为：zyxtHzyxzHKzyHKyxHKxs（2.10）整理上式，得：tHzHKzyHKyxHKxs（2.11）上述方程就是承压水非稳定运动的基本微分方程。（3）半承压水运动的基本微分方程：近似地认为水基本上是垂直地通过弱透水层，折射90°后在主承压含水层中基本上是水平地流动的，主含水层中的水流可近似地作二维流问题来处理，水头看作是整个含水层厚度上水头的平均值，即：MdztzyxHMtyxHH0,,,1,,（3.1）为简化起见，在以后叙述中略去H上方的横杠。同时假设和主含水层释放的水及相邻含水层的越流量相比，弱透水层本身释放的水量小到可以忽略不计。由图2所示的均衡单元体，根据水均衡原理可以写出下列形式的连续性方程tyxtHtyxvvtyyQQyyQQtxxQQxxQQyyyyxxxx*122222（3.2）式中：v1、v2分别为通过上部和下部弱透水层的垂直越流速率或越流强度，即222222111111mHHKzHKvmHHKzHKv（3.3）式中：m1和m2分别为厚度为M的承压含水层上、下的弱透水层厚度，K1和K2分别为承压含水层上、下弱透水层的渗透系数。tyxH,,1和tyxH,,2分别为上含水层（图中为潜水含水层）和下含水层（图中为下承压含水层）中的水头，如以T表示主含水层的导水系数，则xyHTQyxHTQyx（3.4）图2半承压含水层中的均衡单元体把式（3.4）代入式（3.2），并在式的两端分别除以tyx，同时令x、y、t→0，则有tHmHHKmHHKyHTyxHTx*222111（3.5）这就是不考虑弱透水层弹性释水条件下非均质各向同性越流含水层中非稳定运动的基本微分方程。（4）潜水运动的基本微分方程：潜水面是个自由面，相对压强p＝0。对整个含水层来说，可以不考虑水的压缩性。先考虑一维问题。取平行于xoz平面的单位宽度进行研究。在渗流场内取一土体，它的上界面是潜水面，下界面为隔水底板，左右为二个相距△x的垂直断面。上断面流入的流量为2xxqq，下断面流出的流量为2xxqq，设单位时间、单位面积上垂向补给含水层的水量为W（入渗补给或其它人工补给取正值，蒸发等取负值）。在△t时间内，从上游流入和由下游流出的水量差，根据Dupuit假设为：txxhvtxxqtxxqqtxxqqx22（4.1）在△t时间内，垂直方向的补给量为W△x△t。因此，△t时间内小土体中水量总的变化为：txWxhvx2xxQQxx2xxQQxx2yyQQyy2yyQQyyyxv,1yxv,2Mxy小土体内水量的变化必然会引起潜水面的升降。设潜水面变化的速率为tH，则在△t时间内，由于潜水面变化而引起的小土体内水体积的增量为：txtH当潜水面上升时μ为饱和差，下降时为给水度，此时忽略了水和固体骨架弹性贮存的变化。由于假设水是不可压缩的，根据连续性原理，这两个增量应相等，即：txtHtxWxhvx（4.2）将xHHdxdHKvx代入上式，得；tHKKWxHhx（4.3）上式为有入渗补给的潜水含水层中地下水非稳定运动的基本方程（沿x方向的一维运动），通常称为Boussinesq方程。在二维运动情况下，可用类似方法导出相应的方程为：tHKKWyHhyxHhx（4.4）当隔水层水平时，上式中h＝H。对于非均质含水层，Boussinesq方程有如下形式：tHWyHKhyxHKhx（4.5）Boussinesq方程是研究潜水运动的基本微分方程。[3-3]为什么初始时刻可以任意选定，不一定选用地下水的原始状态？答：所谓初始条件，就是给定某一选定时刻（通常表示为t＝0）渗流区内各点的水头值，用于表明所研究实际问题的特定条件。所以，利用渗流区内已知的水头H的分布情况，即可以作为初始时刻。[3-4]为什么可以根据具体条件任意用一个区作为计算区，它的周界就作为边界？答：边界条件，即渗透区边界所处的条件，用来表示水头H（或渗流量q）在渗流区边界上所应满足的条件，也就是渗流区内水流与其周围环境相互制约的关系。边界条件和初始条件合称定解条件。一个描述某实际问题的数学模型中，定解条件用来表明所研究实际问题的特定条件。我们用这样的模型来再现一个实际水流系统。所以，只要其周界能够比较好的符合边界条件的选取要求，能够相对简单准确的给出数学模型的定解条件，该区域就可以作为计算区[3-5]如果选用天然边界作为计算区边界，有什么优越性？答：选取方便求解准确[3-6]边界上的泉一般作为什么边界条件？如在开采过程中泉水可能被疏干，还能作为边界吗？答：通过实际观测可以得到边界上的泉单位面积（二维空间为单位宽度）上流出时的流量q时，因此泉可以作为第二类边界或给定流量的边界。泉水疏干后，相当于各点在每一时刻的水头都是已知的，此时这部分边界可作为第一类边界。[3-7]为什么一定要有识别（校正）模型这个阶段？直接用野外试验所得的参数值和边界条件建立模型，不经过上述阶段行不行？答：当已建立确定性模型来描述实际地下水流后，我们对通过上述步骤建立的模型是否能确实代表所研究的地质体还没有把握；模型中出现的参数这时一般也不能确切给出。因此，必须对所建立的模型进行检验，即把模型预测的结果与通过抽水试验或其它试验对含水层施加某种影响后所得到的实际观测结果或一个地区地下水动态长期观测资料进行比较，看两者是否一致。若不一致，就要对模型进行校正，直至满意地拟合为止。这一步骤称为识别模型或校正模型。模拟实际问题的数学模型还应满足下列基本条件这个解对原始数据是连续依赖的（稳定性）。这意味着当参数或定解条件发生微小变化时，所引起的解的变化也是很微小的。只有有了这条保证，当参数和定解条件的数据有某些误差时，所求得的解才能仍然接近于真解；否则，解是不可信的，并应该认为此时的数学模型是有毛病的。在实际工作中，原始数据有某种误差，在所难免，所以这个条件很重要。所以一定要有识别（校正）模型这个阶段，不能直接用野外试验所得的参数值和边界条件建立模型。[3-8]下图所示为均质、各向同性的潜含水层，地下水流为平面