第3章信号的采样与重构(1-2)

第三章信号的采样与重构虽然自然界中存在离散时间信号，但是最常见的还是连续时间信号。采样连续时间信号的处理分析往往经由对之采样后的离散时间序列处理完成的。计算机利用离散处理后的结果往往需要在连续域表达出来，便于接收和理解重构采样后信号是否包含了连续信号的所有信息？如何无失真恢复原始信号？时域采样导致了信号频域发生了何种变化？采样的信号是否包含冗余信息？是否可以进行速率的变化？离散处理如何用于实际连续信号的处理应用？如何提高信号处理的性能？本章要解决的问题3.1采样和重构3.2连续信号的离散处理3.3变速率处理（抽取和内插）3.4连续信号离散化处理的若干问题3.5过采样和噪声成形技术3.1.1理想周期采样典型的周期采样为冲激脉冲采样，亦称理想采样，形式如下：物理模型数学模型)()(nTtts)t()()(*)()(nTnTxtstxtxccs)()(nTxnxcC/D)()(nTxnxc)(txcA/D器件是理想C／D转换器的工程近似。调制器+序列的转换xc(nT)是连续冲激串的冲激面积，它除了在整倍数T时刻以外都为零，包含有物理时间的概念；x(n)是以整数变量n给出的，引入了时间归一化，x(n)没有任何采样率的信息。冲激串到时间序列的转换)(txc)(ts)()(nTxnxc)(txs一个连续时间信号两种采样采样的不确定性采样一般是不可逆的为保证采样不丢失信息，该做何约束？)()()()()(nTtnTxtstxtxccs3.1.2、采样的频域表示tjnneFts0)(TdtetTdtetsTFTTtjnTTtjnn/1)(1)(12/2/2/2/00T/20)(2)(0nTS傅里叶变换是由的傅里叶变换按整数倍的采样频率移位，然后叠加起来得到，即周期性延拓。)(1)(*)(1)(*)(21)(00nXcTnXcTSXcXs)(txs)(txc北京航空航天大学204教研室孙国梁x(n)频谱与x(t)频谱的关系nnTjcntjctjnctjsenTxdtenTtnTxdtenTtnTxdtetxjX)(s)()()(])()([)()(nnjenxjX)()()(|)(sjXjXTTjXjX/s|)()(nTnTkjXTTkjjXTjX))2((1|)2(1)(c/cnsjkjXTjX)(1)(cs北京航空航天大学204教研室孙国梁113.1.3信号重构采样的第二步和重构的第一步湮灭了序列到冲激串转换调制逆过程采样周期T)(nx)(txs)(txr冲激串到离散时间序列的转换)(txc)(ts)()(nTxnxc)(txs理想重构序列到冲激串转换理想重构滤波器采样周期T)(nx)(txs)(jHr)(txr)(jHrTT信号的重构系统物理和数学模型TD/C)()(nTxnxc)(txr理想重构滤波器的增益为T(用以补偿采样损耗)，截止频率为截止频率通常选取。理想重构滤波器的频率响应为：c2sTtTtthr)sin()()()(|)()()()()(TjrTjrsrreXjHeXjHjXjHjXTnTtTnTtnxnTthnxthnTtnxthtxtxrrrsr)())(sin()()()()()()()()()(理想重构信号在各采样点上与原连续信号有相同的数值，并且与采样速率无关。如果原始信号的采样没有发生频谱混叠，则采样重构后的信号在采样点以外无失真；若发生混叠，则采样点之间的信号将发生失真。注：奈氏低通采样定理假设有一个（实）带限信号，其正频带限制在（0，）内，B=，如果以不小于的采样速率对信号进行等间隔采样，则得到离散时间采样信号可以不失真的完全恢复原始信号。HfHfHsff2)()(snTxnx)(tx3.1.3采样定理奈氏带通采样定理奈氏低通采样定理只讨论了频谱分布在(0，)上的基带信号的采样问题如果信号的频率分布在某一有限的频带(，)上时，那么该如何对这样的带限信号进行采样呢?HfHfLfHLff,当时，信号的最高频率远大于带宽，如果仍然按奈氏低通采样率进行采样，则：采样频率很高，现实中很难实现；后处理的速度也满足不了要求；有用信号仅处于有限频段，资源浪费能否采用比奈氏低通采样率更低的速率来采样呢?LHHffBf存在的问题1、当时Bfs2f0fLfHBfs讨论：信号频谱必然混叠，无法恢复原始信号Bfs2f0fLfHBfs2、当时1、不一定能够由采样后的信号恢复原始信号2、实信号频谱区间是正负对称的，从而其搬移之后的频谱亦是正负对称的，要使其频谱不发生混叠，只能符合以下的两种情况a)144*400kfffkffsssb)144*400kfffkffsssf0fLfHBkfsfsfs/4f0fLfHBkfsfs-fs/4当时，若采样率满足（n=0,1,2…）则可以无失真的从采样信号中恢复原始信号当时，取n=0，即为奈氏低通采样速率。Bfs21240nffsHHfBff，2/0sf奈氏带通采样定理（欠采样）2)12(0BnfBnffs21240由带通采样定理可知，若要用最低采样速率即两倍带宽对信号进行采样，其信号中心频率必须满足：信号最高(或最低)频率是带宽整数倍。推论：任何一个中心频率为(n=0，1，2，3，…),带宽为B的带通信号均可以用同样的采样频率对信号进行采样，这些采样均能准确地表示或者重新恢复出位于不同频段(中心频率不同)的原信号。前提：只允许在其中的一个频带上存在信号，而不允许在不同的频带上同时存在信号。onfBfs2跟踪滤波器采样)(tx)(txn)(nxnBnfn2120BfS2当需要对某一个中心频率的带通信号进行采样时，就先把跟踪滤波器调到与之对应的中心频率上，滤出所感兴趣的带通信号，然后再进行采样，以防止信号混叠，亦称之为抗混叠滤波器。如果滤波器理想的话，采用同一采样速率就能实现对全频域信号进行数字化，然后用软件方法进行解调分析，这正是软件无线电的根本出发点。带通采样把位于不同频带的信号都用位于(0，B)上相同的基带信号来表示，但是：奇数通带上的高频分量对应基带上的低频分量，奇数通带上的低频分量对应基带上的高频。偶数频带与采样后的数字基带谱是高、低频率分量一一对应的。3.2离散与连续LTI系统的等效关系由信号重构的讨论可知29)(txrTjrsrreXjHjXjHjX|)()()()()(TjrsrreYjHjYjHjY|)()()()()(假设离散时间系统是LTIY()()()jjjeHeXe()()()()jTjTrrYjHjHeXe12()()()()jTrrckkYjHjHeXjjTT()(),/()0,/jTcrHeXjTYjT()()()jTreffcYjHeXj/(),()/0,jTeffTHeHjTTjrsrreYjHjYjHjY|)()()()()(输入是带限的，采样率满足奈奎斯特定理在C/D中即使有混叠发生，只要H(ejw)不通过这些混叠的分量，结论仍正确(2)NcT(2)NNTTNcTCC)(jeH122TC)(jHeff1TC1、带限输入，并且满足采样定理整个系统将表现为一个线性时不变连续时间系统2、截止频率既依赖为wc，又与T有关。当利用固定的离散时间低通滤波器而改变采样周期T时，就能实现具有可变截止频率的连续时间低通滤波器连续低通滤波的离散实现作业4.24.34.44.54.84.20