第3章图像变换1.

第3章图像变换3.1傅里叶变换3.2离散余弦变换3.3小波变换及其应用•引言•时域与频域•时域：我们队音乐最普遍的理解，一个随着时间变化的震动。•频域：对于乐器小能手们来说，音乐更直观的理解是乐谱。•在时域，我们观察到钢琴的琴弦一会上一会下的摆动，而在频域，只有那一个永恒的音符。•引言•时域与频域•你眼中看似落叶纷飞变化无常的世界，实际只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章。•我们可以理解为，利用对不同琴键不同力度，不同时间点的敲击，可以组合出任何一首乐曲。•引言•时域与频域图像变换基础1.什么是图像变换？为了有效地和快速的对图像进行处理和分析，常常需要将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到另外一些空间，并利用这些空间的特有性质方便地进行一定的加工，最后再转换回图像空间以得到所需的效果。这些转换方法称为图像变换技术。第3章图像变换图像变换基础2.为什么要学习图像变换？从某种意义来说，使用不同的域来描述图像，就好比使用不同的语言来表达观点。能讲两种语言的人常常会发现，在表达某些观点时，一种语言会比另一种语言优越。类似的，图像处理的分析者在解决某一问题时会在不同的空间来回切换。掌握图像变换技术，就可以在不同的空间下思考问题，并利用不同空间的优越性解决问题，这种能力是非常有用的。傅里叶变换也被喻为描述图像的第二种语言。第3章图像变换3.1傅里叶变换3.1.1一维傅里叶变换3.1.2二维离散傅里叶变换3.1.3二维离散傅里叶变换的性质3.1.4傅里叶变换在图像处理中的应用傅里叶变换时域与频域的桥梁1.时域分析的局限性3.1傅里叶变换3.1.1一维傅里叶变换•任何函数信号，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的叠加。3.1傅里叶变换3.1.1一维傅里叶变换3.1.1一维傅里叶变换2.一维傅里叶变换功能傅里叶变换是一种数学变换（正交变换），可以把一维信号（或函数）分解成不同幅度的具有不同频率的正弦和余弦信号（或函数）。输入信号=傅里叶（正）变换=频率域信号函数函数频率域信号=傅里叶反变换=输出信号函数函数()Ff()ft()Ff()ft3.频域分析3.1.1一维傅里叶变换4.一维（连续）傅里叶变换表达式1()()d,()()()exp[j2π]d()()()exp[j2π]dj1,fxfxxFuFfxFufxuxxFFufxFuuxuu条件：如果实变量函数是连续可积的，即且是可积的，则傅里叶变换对一定存在。一维傅里叶变换对表示为：—频率变量3.1.1一维傅里叶变换4.一维（连续）傅里叶变换表达式j()122222()()()()j()()()e()()()()()arctan()()()ufxFuFuRuIuFuFuFuRuIuIuuRuRuIu满足只有有限个间断点、有限个极值和绝对可积的条件，并且也是可积的复数形式指数形式＝幅值函数（傅里叶谱）＝＋相角能量谱或能量谱：＋3.1.1一维傅里叶变换-j2πj2π0j2πj2π0jπjπjπjπjj()(0)()0()()()ededee1j2πj2πeeej2π1sin(π)esin(ee)π2sinuxXuxXuxuXuXuXuXuXxxfxAxXfxxXFufxxAxAAuuAuAuXxuj门叶变换：数：该叶谱≤≤≥例1是一函求它的傅里解：尤拉公式傅里是一()cu数函3.1.1一维傅里叶变换5.一维（连续）傅里叶变换例题AX()fx03.1.1一维傅里叶变换5.一维（连续）傅里叶变换例题3.1.1一维傅里叶变换Ask：如何获得时域非周期有限长离散信号的离散频谱？Answer：把非周期有限长离散信号变成周期离散信号！3.1.1一维傅里叶变换3.1.1一维傅里叶变换一维离散傅里叶变换2π1j02π1j0()1()()e0,1,1()()e0,1,1mnNNnmnNNmxnXmxnmNNxnXmnN则如果为一数字序列，其离散傅里叶正反变换：其中其中3.1.1一维傅里叶变换DFT小结：3.1.1一维傅里叶变换•频域分析应用3.1.1一维傅里叶变换频域分析的其他应用利用傅里叶变换的特性，将时间信号正变换到频率域后进行处理（例如低通、高通或带通），然后再反变换成时间信号，即可完成对信号的滤波。低通滤波：在频率域中抑制高频信号高通滤波：在频率域中抑制低频信号3.1.1一维傅里叶变换我们之前所讨论的、大家所熟悉的图像空间为“空域”空间。经过二维傅里叶变换，则可获得图像的“频域”空间。•空域•图像•频域•频谱图3.1.2二维离散傅里叶变换1.二维连续函数的傅里叶变换(,)fxy221/2222(,)(,)exp[j2π()]dd(,)(,)exp[j2π()]dd(,)arctan[(,)/(,)](,)[(,)(,)](,)(,)(,)(,)FuvfxyuxvyxyfxyFuvuxvyuvuvIuvRuvFuvIuvRuvEuvFuvIuvRuv傅里叶变换的相角、傅里叶谱或功率谱可由下式给出：3.1.2二维离散傅里叶变换000000000000-jπ-jπ000000,0,02(,)0,(,)(,)exp[-j2π()]ddexp[j2π()]ddexp[j2π]dexp[j2π]dsin(π)sin(π)eeππ(,)xyxyuxvyAxxyyfxyFuvfxyuxvyxyAuxvyxyAuxxvyyuxvyAxyuxvyFuv≤≤≤≤例：其它傅里叶谱：000000sin(π)sin(π)ππuxvyAxyuxvy3.1.2二维离散傅里叶变换1.二维连续函数f(x,y)的傅里叶变换0,,0,00,0),(yYyxXxYyXxAyxf3.1.2二维离散傅里叶变换其傅立叶谱为：tttSavYSauXSaAXYπvYπvYπuXπuXAXYvuF)sin()()()(|)sin(||)sin(||),(|其中频谱是一种图像。亮的部分表示幅值比较大。图像的中心位置的频域低，向四周扩散的方向频率逐渐增高。1.二维连续函数f(x,y)的傅里叶变换11[-j2π(//)]0011[j2π(//)]001(,)(,)e(,)(,)eMNuxMvyNxyMNuxMvyNuvFuvfxyMNfxyFuv变换在一个周期内进行。M，N表示图像f(x,y)在x，y方向上具有大小不同的阵列。离散信号频谱、相谱、幅谱分别表示为：j(,)221/2(,)(,)e(,)j(,)(,)(,)arctan(,)(,)[(,)(,)]uvFuvFuvRuvIuvIuvuvRuvFuvRuvIuv2.二维离散函数f(x,y)的傅里叶变换3.1.2二维离散傅里叶变换在图像处理时，一般选取图像块为的方阵，即取这时二维离散傅立叶变换和反变换式：NNMN11001(,)(,)exp(2())NNmnmunvFuvfmnjNNN11001(,)(,)exp(2())NNmnmunvfmnFuvjNNN,,,0,1,,1uvmnN3.1.2二维离散傅里叶变换2.二维离散函数f(x,y)的傅里叶变换3.1.2二维离散傅里叶变换二维离散函数=数字图像二维离散函数傅里叶变换=数字图像频谱图2.数字图像频谱图图像的频谱表示为和原图像等大小的一幅二维图像。NNNNYXuv•图像频谱图的横纵坐标都是？•什么是图像的频率？3.1.2二维离散傅里叶变换图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。2.数字图像频谱图那幅图含有的高频分量多？思考：在图像中灰度变化缓慢的区域，对应的频率值？；而对于在图像中灰度变化剧烈的区域，对应的频率值？。3.1.2二维离散傅里叶变换2.数字图像频谱图•图像频谱图的幅值是？3.1.2二维离散傅里叶变换在每一个位置(u,v)上都是F(u,v)的模。以灰度的明暗代表模的大小。NNNNYXuv2.数字图像频谱图ABCD0N/2N/2N-1N-1(N/2,N/2)(N-1,N/2)(N-1,N-1)(N/2,N-1)uv3.1.2二维离散傅里叶变换2.数字图像频谱图(a)原图像(b)移位前的频谱(c)移位后的频谱对图像进行二维傅立叶变换得到频谱图，频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系。傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，实际上图像上每一点与邻域点差异的强弱，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。频域图像的每一点都来自于整个原图像3.1.2二维离散傅里叶变换3.图像频谱图的物理意义如果频谱图中暗的点数多，那么实际图像是比较柔和的（因为各点与邻域差异都不大，梯度相对较小），反之，如果频谱图中亮的点数多，那么实际图像一定是尖锐的，边界分明且边界两边像素差异较大的。3.图像频谱图的物理意义3.1.2二维离散傅里叶变换1、频率图像往往以图像的中心为坐标原点，左上-右下、右上-左下对称。2、图像中心为原始图像的平均亮度，频率为0.从图像中心向外，频率增高。高亮度表明频率特征?3、频率域图像中心明显的频率变化方向与原图像中的物体方向垂直。也就是说如果原始图像中有多种水平分布的地物，那么频率域图像中在垂直方向的频率变化比较明显。如果原始图像中地物左下-右上分布，那么频率域图像中在左上-右下方向频率变化比较明显，反之亦然。4.如何看频域图像3.1.2二维离散傅里叶变换3.1.2二维离散傅里叶变换水平条纹图像水平条纹频谱图水平条纹图像，只在垂直方向上有灰度跳变（即有水平边缘），所以它的频谱图中只看到了垂直分量，中心点为低频分量，离它越远，则频率越高。4.如何看频域图像斜条纹图像斜条纹频谱图3.1.2二维离散傅里叶变换4.如何看频域图像3.1.2二维离散傅里叶变换白方块图像白方块频谱图白方块存在水平边缘和垂直边缘，并且在白方块的4个角还有斜边缘（分量较少）4.如何看频域图像图像中的颗粒状对应的幅度谱呈环状。3.1.2二维离散傅里叶变换4.如何看频域图像从幅度谱中我们可以看出明亮线和原始图像中对应的轮廓线是垂直的。如果原始图像中有圆形区域那么幅度谱中也呈圆形分布3.1.2二维离散傅里叶变换4.如何看频域图像3.1.2二维离散傅里叶变换傅里叶反变换的作用？幅度谱vs相位谱只用幅度谱能否再现原始图像？答：不能5.傅里叶反变换3.1.2二维离散傅里叶变换原始图幅值谱相位谱相位谱重构图幅值谱重构图5.傅里叶反变换幅度谱告诉我们图像中某种频率的成份有多少相位谱告诉我们频率成份位于图像的什么位置通常我们所说的频谱指的是幅度谱3.1.2二维离散傅里叶变换5.傅里叶反变换