第3章图像处理中的正交变换.

第3章图像变换傅里叶及傅里叶变换简介：傅里叶：法国数学家，生于1768年，其最大的贡献在于他指出任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦和（或余弦和）的形式，每个正弦和（或余弦和）乘以不同的系数。现在称这个和为傅里叶级数。傅里叶变换：非周期的函数（曲线有限情况下）也可以用正弦和（或余弦）乘以加权函数的积分来表示。这种情况下的公式就是傅里叶变换。其重要特性之一就是用傅里叶级数或变换表示的函数特征可以完全通过傅里叶反变换来重建，不丢失任何信息。傅里叶变换与频率域：傅里叶变换是将函数基于频率分成不同的成分，使我们可以通过频率成分来分析一个函数。（傅里叶变换被比作“数学的棱镜”）3.1引言1.图像变换的目的：（1）使图像处理问题简化；（2）有利于图像特征提取；（3）有助于从概念上增强对图像信息的理解。2.图像变换特点：二维正交变换；正交变换必须是可逆的；正交变换和反变换的算法不能太复杂。正交变换的图像特点：在变换域中，图像能量集中分布在低频率成分上，边缘和线信息反映在高频率成分上。3.正交变换应用：图像增强、图像恢复、特征提取、图像压缩编码和形状分析等。4.常用图像变换算法：二维傅里叶变换（重点）、沃尔什——哈达玛变换、离散余弦变换、小波变换等。3.1.1函数的傅里叶变换傅里叶变换是把图像从空间域转换到频率域，即将空间域中复杂的卷积运算转化为频率域中简单的乘积运算。应用：在频率域中可以有效的实现图像增强、特征提取、图像恢复、纹理分析与水印嵌入等。1.傅里叶变换的定义：dueuFtfjdtetfuFtfutjutj222)()()1(,)()()(反变换：的一维傅里叶变换定义正变换：函数注意：正反傅里叶变换的唯一区别是幂的符号不同。几个术语：傅里叶幅度谱、相位谱、能量谱称为傅里叶能量谱。谱；被称为（傅里叶）相位的（傅里叶）幅度谱；被称为那么，其中，或是一个复数，即的傅里叶变换函数)()()()()()()()(,)()()(,)()()()()()()(222)()(22)(uIuRuFuEutfuFarctguuIuRuFeuFuFujIuRuFuFtfuRuIuj二维傅里叶变换的傅里叶幅度谱、相位谱和能量谱二维傅里叶变换对：dudvevuFyxfdxdyeyxfvuFvyuxjvyuxj)(2)(2),(),(),(),(二维傅里叶变换的傅里叶幅度谱、相位谱和能量谱分别为：),(),(),(),(),(),(),(),(),(2222vuIvuRvuEvuRvuIarctgvuvuIvuRvuF222222222)(1)(,)()()()()(22)2(2suusjstsstjtstjtteSFduedueeSFdtdujStudteeSFSjSdtedteeSFetf由于高斯积分则进行变量替换：设其傅里叶变换为：高斯函数为：例：高斯函数的傅里叶变换。构成一个傅立叶变换对与可见：22)()(stesFetf高斯函数的傅里叶变换仍然是高斯变换。2.离散傅里叶变换（DFT）一维离散傅里叶变换对定义：1,,2,1,0)(1)()1(),2(),1(),0(1,,2,1,0)()(210210NmemXNnxNxxxxNx(m)NnenxmXNmnjNmNmnjNn式中：序列。即个等间隔抽样值。任意为取自相应连续函数的，式中：离散傅里叶变换（DFT）离散傅里叶反变换（IDFT）3.二维离散傅里叶变换二维傅里叶变换为：1010)(21010)(2),(1),(),(),(),(MuNvNvyMuxjMxNyNvyMuxjevuFMNyxfIDFTeyxfvuFDFTNMnmf）逆变换为：（）其傅里叶变换为：（的数组，则是一个设在图像处理中,一般选择方阵,即取M=Na.原始图像b.离散傅立叶频谱二维图像及其离散傅立叶频谱的显示3.1.2傅里叶变换的性质1.共轭对称性和周期性)(2)]()([2)]()([)()(2)]()([)(:2)]()([)(,2)]()([)()()()()(0000tftftftftftftftftftftftftftftftftftftftfeeee则为实函数，且设fo(t)为实奇函数。fe(t)为实偶函数。dtsttfsFdtsttfdtsttfjdtsttfdtetfdtetfsFtftfeeeestjestje)2cos()()(00)2sin()()2sin()()2cos()()()()(),()(22。，则虚部为上的积分为在对称区间由于奇函数则其傅里叶变换为：若（ｉ）实偶函数可见，实偶函数的傅里叶变换仍然是实偶函数。dtsttfjsFdtsttfjdtsttfdtetfsFtftfstj)2sin()()(00)2sin()()2cos()()()(),()(00020。，则实部为上的积分为由于奇函数在对称区间则其傅里叶变换为：若（ii）实奇函数可见，实奇函数的傅里叶变换是虚奇的。由(i)，(ii)可知，傅里叶变换不改变函数的奇偶性，但对虚实性有影响，也就是说，偶函数的傅里叶变换不引入系数，虚实性保持不变；而奇函数的傅里叶变换将引入系数-j，从而改变虚实性，即“奇变偶不变”。结论：)()()2sin()()2cos()()()()()()()()(020220sjFsFdtsttfjdtsttfdtetfdtetfdtetfsFtftftfoeestjstjestje，则若（iii）实函数具有偶的实部和奇的虚部（称为Hermite函数）)()()()()()(sFsjFsFsjFsFsFoeoe（Hermite）函数具有共轭对称性：Fe(s)为偶函数；Fo(s)为奇函数。傅里叶变换和反变换均具有周期性为周期。以傅里叶变换和反变换均NN)vN,F(uN)vF(u,v)N,F(uv)F(u,2.加法定理设两个傅里叶变换对：，见图则)()()()()()()()(tGtFtgtfsGtgsFtf)()()}({,,)()()}({2222)(22sFedueufeatfdtduatudteeatfdteatfatfsajsujsajsajatsjstj则变量替换：设3.位移定理描述坐标平移（原点移动）对变换的影响。结论：函数位移不会改变其傅立叶变换的模（幅值），但是会改变实部与虚部之间的能量分布，其结果是产生一个与角频率和位移量均成正比的相移。4.相似性定理（尺度变换）描述函数自变量的尺度变化对其傅里叶变换的影响。).,(1)()(1)(1)}({,,)(1)()}({222bvauFabbyaxfasFadueufaatfadtduatudtaeatfadteatfatfasujasatjstj二维函数相似定理：则变量替换：设傅立叶变换的比例性实例a)比例尺度展宽前的频谱b)比例尺度展宽后的频谱)()()()(])()[()()()}()({)(),(222sGsFdusGeufdudteutgufdteduutguftgtftgtfsujstjstj（由位移定理）变换为：。则它们卷积的傅里叶设两个函数５．相关定理（卷积定理）傅里叶变换的优势：在一个域中的卷积计算可以在另一个域中做乘法计算，效果相同。dssFdttfdttfEtf2)(2)(2)()(.6则的能量定义为：设函数帕斯维尔定理：上式称为帕斯维尔（Parseval）等式，它表明：变换函数与原函数具有相同的能量。也称能量保持定理。NvyjvuFNuxjNyxfNvyjyxfNuxjNvuFNvuNvyuxjvuFNyxfNvuNvyuxjyxfNvuFNvNuNyNxNuNvNxNy2exp),(2exp1),(2exp),(2exp1),(1,,2,1,0,,])(2exp[),(1),(1,,2,1,0,,])(2exp[),(1),(1010101010101010则将上两式分离：7.二维傅里叶变换的分离性设二维傅里叶变换对为：1,,2,1,0,]2exp[),(1),(]2exp[),(1),(1,,2,1,0]2exp[),(1),(1,,2,1,0]2exp[),(1),(10101010NyNvyjvuFNNyufNuxjyufNNyxfNvNuxjvxFNNvuFNvNvyjyxfNNvxFNvNuNxNy其中同理：，，上两式中看出：由分离性可知：一个二维傅里叶变换可以由连续两次运用一维傅里叶变换来实现。角度。它的频谱也旋转同样的，则角度如果一幅图像旋转一个:即即代入傅里叶变换对，和将表示为其极坐标形式：将其中表示为其极坐标形式：证明：将000),(),(:),(),(),(),()sin,cos(),(),(FfFfFvuFyxfyxf8．旋转性质.),(),(00也旋转的傅里叶变换旋转对于vuFyxf二维离散傅立叶变换的旋转性原图像原图像的傅立叶频谱旋转后的图像旋转后图像的傅立叶频谱)0,0(1),(),(1)0,0(0,0])(2exp[),(1),(),(1),()(1010101010102FNyxfyxfNFvuNvyuxjyxfNvuFyxfNyxfxyfNxNyNxNyNxNy时，得当而亮度的平均值为：一幅二维图像９．平均值３.1.4快速傅里叶变换（FFT），则为正整数，且的正整数次幂，即为设，则令傅里叶变换为：MNMNNWxfNuFNjWNuNuxjxfNuFnuxNNxNNx2,22)(1)(]2exp[1,,1,0,]2exp[)(1)(1010逐次加速法的快速傅里叶变换算法：])12(1)2(1[21)()12(1)2(121)(21)(10210221010)12(2)2(21202MxuMuxMuxMMxuxMuxMMxMxxuMxuMMxuxMWWxfMWxfMuF，而）（同理）（则）（）（定义4])()([21)(3])()([21)(21,,1,0,)12(1)(11,,1,0,)2(1)(221010uxModdevenuxModdevenMxuxModdMxuxMevenWuFuFMuFWuFuFuFMuWxfMuFMuWxfMuF上式表明：一个N点的变换可通过将原始表达式分成两半来计算，用式（1）、（2）计算2个（N/2）点的变换得到Feven(u)和Fodd(v),在将它们代入（3）、（4），得到F(u)。点变换）的两个结果计算一个层用（）在第（点变换个个结果计算层用以上）