第3章多维随机变量及其分布.

第三章多维随机变量及其分布3.1二维随机变量3.2边缘分布3.3条件分布3.4相互独立的随机变量3.5(多维)随机变量函数的分布3.1二维随机变量引例：炮弹的弹着点的位考查某一地区学实例1实例2构成二维随机变量(H,W).童的身高H和体重W就前儿童的发育情况,机变量.置(X,Y)就是一个二维随则儿定义:将n个随机变量X1，X2，...,Xn构成一个n维向量(X1,X2,...,Xn)称为n维随机变量。说明：1.一维随机变量X：R1上的随机点坐标二维随机变量(X,Y)：R2上的随机点坐标n维随机变量(X1,X2,…,Xn)：Rn上的随机点坐标2.二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X、Y有关，而且还依赖于X、Y的相互关系。3.多维随机变量的研究方法也与一维类似，用分布函数、概率密度、或分布律来描述其统计规律一.n维随机变量设(X,Y)是二维随机变量，(x,y)R2,则称F(x,y)=P{Xx,Yy}为(X,Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数。二.联合分布函数00,yx00,,,yyxxyx几何意义：分布函数F()表示随机点(X,Y)落在区域中的概率。如图阴影部分：对于(x1,y1),(x2,y2)R2,(x1x2，y1y2),则P{x1Xx2，y1yy2}＝F(x2,y2)－F(x1,y2)－F(x2,y1)＋F(x1,y1).(x1,y1)(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)分布函数F(x,y)具有如下性质：0),(lim),(yxFFyx1),(lim),(yxFFyx且0),(lim),(yxFyFx0),(lim),(yxFxFy(1)归一性对任意(x,y)R2,0F(x,y)1,(2)单调不减对任意yR,当x1x2时，F(x1,y)F(x2,y)；对任意xR,当y1y2时，F(x,y1)F(x,y2).);y,x(F)y,x(Flim)y,0x(F0xx00).y,x(F)y,x(Flim)0y,x(F0yy00(3)右连续对任意xR,yR,(4)矩形不等式对于任意(x1,y1),(x2,y2)R2,(x1x2，y1y2),F(x2,y2)－F(x1,y2)－F(x2,y1)＋F(x1,y1)0.反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x,y)都可以作为某个二维随机变量(X,Y)的分布函数。例1.已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为)]3()][2([),(yarctgCxarctgBAyxF1)求常数A，B，C。2)求P{0X2,0Y3}解:(,)[][]122FABC0)]3(][2[),(yarctgCBAyF0]2)][2([),(CxarctgBAxF212ACB161)0,2()3,0()3,2()0,0(}30,20{FFFFYXP三.联合分布律定义：若二维随机变量(X,Y)只能取至多可列个值(xi,yj),(i,j＝1,2,…)，则称(X,Y)为二维离散型随机变量。定义：若二维离散型随机变量(X,Y)取(xi,yj)的概率为pij,则称P{X＝xi,Y＝yj,}＝pij，(i,j＝1,2,…)，为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律，或随机变量X与Y的联合分布律.可记为(X,Y)～P{X＝xi,Y＝yj,}＝pij，(i,j＝1,2,…)，XYy1y2…yj…p11p12...P1j...p21p22...P2j...pi1pi2...Pij...........................联合分布律的性质(1)pij0,i,j＝1,2,…；(2)1p1i1jij＝x1x2xi二维离散型随机变量的分布律也可列表表示如下:例2.袋中有两只红球，三只白球，现不放回摸球二次。令第二次摸到白球第二次摸到红球第一次摸到白球第一次摸到红球0101YX,求(X,Y)的分布律。XY10101011031031032522}1,1{PPYXP2532}0,1{PYXP2523}1,0{PYXP2523}0,0{PPYXP四.二维连续型随机变量及其密度函数1、定义对于二维随机变量(X,Y)，若存在一个非负可积函数f(x,y)，使对(x,y)R2，其分布函数xy,dudv)v,u(f)y,x(F则称(X,Y)为二维连续型随机变量，f(x,y)为(X,Y)的密度函数(概率密度)，或X与Y的联合密度函数，可记为(X,Y)～f(x,y)，(x,y)R2);y,x(fyx)y,x(F2GdxdyyxfGYXP.),(}),{((4)对于任意平面区域GR2,例3.设othersyxyxfYX010,101),(~),(求:P{XY}211}{010xdydxYXP求：(1)常数A；(2)F(1,1)；(3)(X,Y)落在三角形区域D：x0,y0,2X+3y6内的概率。其它,00,0,),(~),()32(yxAeyxfYXyx例4.设解：(1)由归一性6A101032)32()1)(1(6)1,1()2(eedxdyeFyx(3)(X,Y)落在三角形区域D：x0,y0,2X+3y6内的概率。解dxdyeDYXPDyx)32(6}),{(303220)32(6dyedxxyx671e3.两个常用的二维连续型分布(1)二维均匀分布若二维随机变量(X,Y)的密度函数为则称(X,Y)在区域D上(内)服从均匀分布。其它，的面积,0),(1),(2RDyxDyxfDGSSGYXP}},{(易见，若（X，Y）在区域D上(内)服从均匀分布，对D内任意区域G，有例5.设(X,Y)服从如图区域D上的均匀分布，(1)求(X,Y)的概率密度；(2)求P{Y2X}；(3)求F(0.5,0.5)1DS41123211GS41211213S其中，1、2为实数，10,20,||1，则称(X,Y)服从参数1,2,1,2,的二维正态分布，可记为),,,,(~),(222121NYX(2)二维正态分布N(1,2,1,2,)若二维随机变量(X,Y)的密度函数为,e121)y,x(f])y()y)(x(2)x([)1(212212222212121212分布函数的概念可推广到n维随机变量的情形。事实上，对n维随机变量(X1,X2,…,Xn)，F(x1,x2,…,xn)＝P(X1x1,X2x2,…,Xnxn)称为的n维随机变量(X1,X2,…,Xn)的分布函数，或随机变量X1,X2,…,Xn的联合分布函数。定义:若(X1,X2,...Xn)的全部可能取值为Rn上的有限或可列无穷多个点，称(X1,X2,...Xn)为n维离散型的，称P{X1=x1,X2=x2,...Xn=xn}，(x1,x2,...xn)为n维随机变量(X1,X2,...Xn)的联合分布律。则称(X1,X2,...Xn)为n维连续型随机变量，称f(x1,x2,...xn)为(X1,X2,...Xn)的概率密度。nnnbxabxaxxD,...:,...111DnnndxdxxxfDXXP...),...,x(......1211定义:对于n维随机变量(X1,X2,...Xn)，如果存在非负的n元函数f(x1,x2,...xn)使得对任意的n元立方体有FY(y)＝F(+,y)＝＝P{Yy}称为二维随机变量(X,Y)关于Y的边缘分布函数.)y,x(Flimy)y,x(Flimx3.2边缘分布FX(x)＝F(x,+)＝＝P{Xx}称为二维随机变量(X,Y)关于X的边缘分布函数；边缘分布实际上是高维随机变量的某个(某些)低维分量的分布。一、边缘分布函数例1.已知(X,Y)的分布函数为其它00101),(xyyeeyxxeeyxFyyyx求FX(x)与FY(y)。解：FX(x)=F(x,)=0001xxexFY(y)=F(,y)=0001yyyeeyy二、边缘分布律若随机变量X与Y的联合分布律为(X,Y)～P{X＝xi,Y＝yj,}＝pij，i,j＝1,2,…则称P{X＝xi}＝pi.＝，i＝1,2,…为(X,Y)关于X的边缘分布律；1jijp1iijpP{Y＝yj}＝p.j＝，j＝1,2,…为(X,Y)关于Y的边缘分布律。边缘分布律自然也满足分布律的性质。例2.已知(X,Y)的分布律为x\y1011/103/1003/103/10求X、Y的边缘分布律。解：x\y10pi.11/103/1003/103/10p.j故关于X和Y的分布律分别为：X10Y10P2/53/5P2/53/52/53/52/53/5三、边缘密度函数为(X,Y)关于Y的边缘密度函数。dyyxfxfX),()(dxyxfyfY),()(设(X,Y)～f(x,y),(x,y)R2,则称为(X,Y)关于X的边缘密度函数；同理，称易知N(1,2,12,22,)的边缘密度函数fX(x)是N(1,12)的密度函数，而fX(x)是N(2,22)的密度函数，故二维正态分布的边缘分布也是正态分布。例3.设(X,Y)的概率密度为othersxyxcyxf0),(2（1）求常数c;(2)求关于X的边缘概率密度解:(1)由归一性1021xxcdydx6cdyyxfxfX),()()2(100xorx10)(6622xxxdyxx3.4相互独立的随机变量定义:称随机变量X与Y独立，如果对任意实数ab,cd，有P{aXb,cYd}=P{aXb}P{cYd}即事件{aXb}与事件{cYd}独立，则称随机变量X与Y独立。定理：随机变量X与Y独立的充分必要条件是F(x,y)=FX(x)FY(y)定理:设(X,Y)是二维连续型随机变量，X与Y独立的充分必要条件是f(x,y)=fX(x)fY(y)定理:设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为Pi,j=P{X=xi,Y=yj},i,j=1,2,...，则X与Y独立的充分必要条件是对任意i,j，Pi,j=Pi.Pj。由上述定理可知，要判断两个随机变量X与Y的独立性，只需求出它们各自的边缘分布，再看是否对(X,Y)的每一对可能取值点,边缘分布的乘积都等于联合分布即可例4.已知随机变量(X,Y)的分布律为x1200.150.151ab且知X与Y独立，求a、b的值。例5.甲乙约定8:009:00在某地会面。设两人都随机地在这期间的任一时刻到达，先到者最多等待15分钟过时不候。求两人能见面的概率。定义.设n维随机变量(X1,X2,...Xn)的分布函数为F(x1,x2,...xn),(X1,X2,...Xn)的k（1kn)维边缘分布函数就随之确定，如关于(X1,X2)的边缘分布函数是FX1,X2（x1,x2,)=F(x1,x2,,...)若Xk的边缘分布函数为FXk(xk),k=1,2,…,n,)()....()(),...(21121nXXXnxFxFxFxxFnn维随机变量的边缘分布与独立性则称X1,X2,...Xn相互独立，或称(X1,X2,...Xn)是独立的。对于离散型随机变量的情形，若对任意整数i1,i2,…,in及实数有则称离散型随机变量X1,X2,…,Xn相互独立。niii,...,x,xx21}{}{1111nnnniiiiiiiixX...