第3章平面力系的合成与平衡32

授课教师：花丽坤理学院力学教研室内容以及要求：学时：5§3-1平面汇交力系合成与平衡§3-2力线的平移§3-3平面一般力系的简化§3-4平面一般力系的平衡方程和应用§3-5平面平行力系的合成与平衡平面力系：所有的外力都作用在一个平面内的力系为平面力系。平面汇交力系——力系中各力汇交于一点。平面平行力系——力系中各力相互平行。平面任意力系——力系中各力既不全部平行，又不全部交于一点。平面力偶系：——若干个力偶组成的力系。平面力系平面汇交力系平面平行力系平面任意力系空间汇交力系空间一般力系空间平行力系§3–1平面汇交力系合成与平衡一、平面汇交力系的合成的几何法（图解法）1、三角形法则AF2F1F4F3表达式：RF1BF2CF3DF4EAF1、F2、F3、F4为平面汇交力系：4321FFFFR把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段（称为力链）。加上一封闭边，就得到一个多边形，称为力多边形。2、力的多边形规则：RF1BF2CF3DF4EAAF2F1F4F3RF1BF2CF3DF4EA3、汇交力系的合成结果汇交力系可以合成为一个力，合力作用在力系的公共作用点，它等于这些力的矢量和，并可由这力系的力多边形的封闭边表示。矢量的表达式：RF1BF2CF3DF4EAAF2F1F4F3RF1BF2CF3DF4EA121FniniRFFF0Fi该力系的力多边形自行闭合，即力系中各力的矢量和等于零。4、汇交力系平衡的几何充要条件：F5F1BF2CF3DF4EAAF2F1F4F3F5AB30ºaaC(a)60º30º60º30º解：(1)取梁AB作为研究对象。(4)解出：NA=Pcos30=17.3kN，NB=Psin30=10kN(2)画出受力图。(3)应用平衡条件画出P、NA和NB的闭合力三角形。例题1水平梁AB中点C作用着力P，其大小等于20kN，方向与梁的轴线成60º角，支承情况如图(a)所示，试求固定铰链支座A和活动铰链支座B的反力。梁的自重不计。几何法解题步骤：1.取研究对象；2.画受力图；3.作力多边形；4.选比例尺；5.解出未知数。几何法解题不足：1.精度不够，误差大；2.作图要求精度高；3.不能表达各个量之间的函数关系。平面汇交力系合成与平衡的另一种方法：解析法。平面汇交力系合成与平衡的几何法二、平面汇交力系的合成与平衡的解析法（数解法）1、力在坐标轴上的投影：cosxFFcosFFy结论：力在某轴上的投影，等于力的模乘以力与该轴正向间夹角的余弦。yb´a´abFOxBFxFy已知合力求分力公式注意：力的投影是代数量！反之，当投影Fx、Fy已知时，则可求出力F的大小和方向：2y2xFFFFFFFyxcoscosyb´a´abFOxBFxFyxyFFtan已知分力求合力公式AF2F1(a)F3F1F2RF3xABCD(b)合力在任一轴上的投影，等于它的各分力在同一轴上的投影的代数和。证明：以三个力组成的共点力系为例。设有三个共点力F1、F2、F3如图。2、合力投影定理合力R在x轴上投影：F1F2RF3xABCD(b)推广到任意多个力F1、F2、Fn组成的平面汇交力系，可得：abcd各力在x轴上投影：xnxxxFFFFR21xynyyyyFFFFR21合力的大小2222xyxyRRRFF合力的方向cos,cosyyxxRFFRRRRR根据合力投影定理得合力作用点：为该力系的汇交点平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系的合力为零。3、汇交力系平衡的解析充要条件0022yxRRR00yyxxFRFR或：力系中所有力在各个坐标轴上投影的代数和分别等于零。为平衡的充要条件，也叫平衡方程解析法求解汇交力系平衡问题的一般步骤:1.选分离体，画受力图。分离体选取应最好含题设的已知条件。2.建立坐标系。3.将各力向各个坐标轴投影，并应用平衡方程求解。00xyFF2个方程解能求解2个未知力。解：1.取滑轮B轴销作为研究对象。2.画出受力图（b)。SBCTSABPxy30°30°bB例题3利用铰车绕过定滑轮B的绳子吊起一重P=20kN的货物，滑轮由两端铰链的水平刚杆AB和斜刚杆BC支持于点B(图(a))。不计铰车的自重，试求杆AB和BC所受的力。30°BPAC30°a3.列出平衡方程：x0:F4.联立求解，得反力SAB为负值，说明该力实际指向与图上假定指向相反。即杆AB实际上受拉力。con30sin300BCABSSTsin30cos300BCSPTy0:FSBCTSABPxy30°30°bB§3-2力线的平移根据力的可传性原理，力沿其作用线移动到刚体上任意一点，而不改变力对刚体的效应。那么，力离开作用线向任意点平移（即力线的平移）呢？?A点的力平行移动至B点时，必须附加一个相应的力偶，这样才与原P力对物体作用的效应相等。§3-2力线的平移FFF’F”FF’M=FhF’=F’’=F力的平移定理作用于刚体上的力可以平行移动至刚体内任意一点，欲不改变它对刚体的作用效应，则必须附加一个相应的力偶，此力偶矩等于原力F对新的作用点之矩。MFh'FFFhF’M力线平移的应用划船例如用丝锥攻丝P'P如一厂房中行车梁立柱受力将P力平移至立柱轴线的O点处，并附加一个力偶，该力偶矩M=Pe式中，e称为偏心距。§3-3平面一般力系的简化=1、力系向给定点O的简化、简化中心F1F3F2F’1F’2F’3平面一般力系F1、F2…Fn平面汇交力系F1’、F2’…Fn平面力偶系:M1、M2…MnF1’=F1F2’=F2Fn’=Fn1122(),(),()oononMMFMMFMMF简化中心0R00M合成合成§3-3平面一般力系的简化应用力线平移定理，可将刚体上平面任意力系中各个力的作用线全部平行移到作用面内某一给定点O。从而这力系被分解为平面汇交力系和平面力偶系。这种变换的方法称为力系向给定点O的简化。点O称为简化中心。(1)主矢R0汇交力系F1’、F2’…Fn’的合成结果为一作用点在点O的力R0,这个力矢R0称为原平面任意力系的主矢。2、主矢和主矩R0的大小与方向由原力系各力的矢量和决定，可用力多边形法则的图解法求解，或用数解法求出。主矢是原力系的合力?用数解法时，先计算R0在x轴和y轴上的投影：(1)主矢R0121noxxxnxixiRFFFF121noyyynyiyiRFFFF22oyoxRRRoxoyRRtan附加力偶系M1、M2…Mn的合成结果是作用在同平面内的合力偶，该力偶的矩用MO代表，称为原平面任意力系对简化中心O的主矩。(2)主矩M012121()()()()onooonnoiiMMMMMFMFMFMF主矩M0等于原力系中各力对简化中心之矩的代数和。主矢R0与主矩M0合成的结果得到原力系的合力R。(3)合力R合力R的大小、方向与主矢R0相同，作用线距简化中心的垂直距离为：MOO0RO0RRA'0RORA'00RRR3、平面任意力系对简化中心O的简化结果主矩：主矢：121()()()()noooonoiiMMFMFMFMF汇交力系之合力RO(主矢)，(作用在简化中心)力偶系之合力偶MO(主矩)，(作用在该平面上)（1）主矢的大小与方向取决于原力系中各力的大小和方向，与简化中心0的位置无关；（2）主矩与简化中心0的位置有关。因此，必须指明对哪一点的主矩。主矢和主矩是决定平面力系对刚体作用效应的两个物理量。=平面一般力系简化结果的讨论（1）00R00M简化为一个合力偶M0，则原力系无合力，而只有合力偶矩。此时主矩与简化中心的位置无关。（2）00R00M力系简化成为过简化中心的一个合力。?若另选一适当点作为简化中心，力系能否简化为一力偶？不能，因为主矢与简化中心无关。合力偶合力（3）RO≠0，MO≠0原力系简化成一个力偶和一个作用于点O的力。这时力系还可简化为一个合力。MOO0RO0RRA'0RORA'00RRR（4）RO=0，MO=0，原力系平衡。合力平衡总结平面力系简化的三种结果RO=0，MO=0RO=0，MO≠0合力偶平衡力系RO≠0，MO≠0合力RO≠0，MO=0例题3在长方形平板的O、A、B、C点上分别作用着有四个力：F1=1kN，F2=2kN，F3=F4=3kN（如图），试求以上四个力构成的力系对点O的简化结果，以及该力系的最后的合成结果。解：取坐标系Oxy。1、求向O点简化结果：①求主矢R0F1F2F3F4OABCxy2m3m30°60°614.0Rcos000RRxx、kN794.020200yxRRR'652,Rx789.0Rcos000RRyy、'5437,R0ykNFFFFRyy768.0213232130sin60sin4210R0OABCxy'652F1F2F3F4OABCxy2m3m30°60°②求主矩：（2）求合成结果：合成为一个合力R，R的大小、方向与R0相同。其作用线与O点的垂直距离为：yR0OABCxMoRhF1F2F3F4OABCxy2m3m30°60°一、平面一般力系平衡的平衡方程1、平面一般力系平衡充要条件：力系的主矢等于零，且力系对任一点的主矩也等于零。平面一般力系平衡的必要与充分条件：力系中各力对坐标轴投影的代数和为零，且对平面内任意点的力矩的代数和也为零。00R00M§3-4平面一般力系的平衡方程和应用无移动无转动2、平衡方程基本形式:平衡方程的二力矩式：0)(000FMFFyx0)(0)(0FMFMFBAx（A、B连线不垂直X轴）ABxABx平衡方程的三力矩式(A、B、C三点不共线)0)(0)(0)(FMFMFMBACABCF若A、B、C三点共线，在R0≠0，也满足上面三个方程，但力系不是平衡力系。例4求图示结构的支座反力。解：(1)取AB杆为研究对象画受力图∑Fx=0：0AXF42200AYBYFF∑Fy=0：∑MA=0：42120240BYF注意：平面一般力系只能列出三个独立方程，只能求出三个未知数。(2)列平衡方程(3)解方程16AYFkN12BYFkN0AXF8AXFkN0AyByFF5AyFKN∑Fy=0：∑MA=0：242440ByF5ByFKN∑FX=0：例5求图示结构的支座反力。解：（1）取整个结构为研究对象画受力图240AXF4kNm（2）列平衡方程（3）解方程4kNmFAyFAxFBy例6求阳台固定端约束力（简化为悬臂梁）.1、取梁AB，受力分析力系类型：２、建坐标系，解方程平面一般力系（3个独立方程）xy列平衡方程解：解：2、列平衡方程、3、解方程0,xFFlqlMFqlFFAAyAx2,02阳台（简化为悬臂梁）。求：固定端约束力例60,yF0,AM0AxF0AyFqlF202AqlMFl例题8p41例3-6一个三角形管道支架固定在砖柱上，支架由两根型钢与节点板构成。节点A，B，C均采用焊接，在分析支架受力情况时，可简化为铰接计算，已知每一管道重为248N／m，支架间距为6m。试求支架A，B两处的约束反力。支架自重忽略不计。解（1）作计算简图1224861488N1.488kNFF（2）取整体作受力分析AyFAxFA0.3m0.4mBF2C1.26mF10301mBF（3）建立坐标系，列平衡方程：B0.4mF2CA1.26mF10300.3m1mAyFAxFBFExy0:xF0cos300BAxFF（4）联立求解：FB=5.67kN；FAx=4.91kN；FAy=0.141kN0yF0xF0AM0:yF012sin300AyBFFFF0: