第3章恒定电流的电场和磁场.

第三章恒定电流的电场和磁场第三章恒定电流的电场和磁场3.13.23.3恒定磁场的基本方程3.4矢量磁位3.5磁偶极子3.6磁介质中的场方程3.7恒定磁场的边界条件3.83.9互感和自感3.10磁场能量3.11磁场力第三章恒定电流的电场和磁场3.1恒定电流的电场3.1.1电流密度图3-1电流密度第三章恒定电流的电场和磁场设通过ΔS的电流为ΔI，则该点处的电流密度J为ndSdInSIJS0lim电流密度的单位是安培/米3(A/m3)。导体内每一点都有一个电流密度，因而构成一个矢量场。我们称这一矢量场为电流场。电流场的矢量线叫做电流线。可以从电流密度J求出流过任意面积S的电流强度。一般情况下，电流密度J和面积元dS的方向并不相同。此时，通过面积S的电流就等于电流密度J在S上的通量，即SSdSJdSJIcos第三章恒定电流的电场和磁场图3-2面电流密度ndldInlIJSS0limvJ第三章恒定电流的电场和磁场3.1.2电荷守恒定律VSdVdtddtdqdSJdVtdSJVS0dVtJV第三章恒定电流的电场和磁场要使这个积分对任意的体积V均成立，必须使被积函数为零，即0tJ0t0JSdSJ0第三章恒定电流的电场和磁场3.1.3EJ材料电导率σ/(S/m)铁(99.98%)107黄铜1.46×107铝3.54×107金3.10×107铅4.55×107铜5.80×107银6.20×10硅1.56×10-3表3-1常用材料的电导率第三章恒定电流的电场和磁场图3-3电动势第三章恒定电流的电场和磁场ABdlE'ldlE0lABdlEEdlE)'('第三章恒定电流的电场和磁场3.1.4焦耳定律当导体两端的电压为U，流过的电流为I时，则在单位时间内电场力对电荷所作的功，即功率是UIP在导体中，沿电流线方向取一长度为Δl、截面为ΔS的体积元，该体积元内消耗的功率为VEJSlEJIlEIUP第三章恒定电流的电场和磁场当ΔV→0，取ΔP/ΔV的极限，就得出导体内任一点的热功率密度，表示为20limEEJVPpV或EJp此式就是焦耳定律的微分形式。应该指出，焦耳定律不适应于运流电流。因为对于运流电流而言，电场力对电荷所作的功转变为电荷的动能，而不是转变为电荷与晶格碰撞的热能。第三章恒定电流的电场和磁场3.1.5恒定电流场的基本方程00EJlSdlEdSJ00我们将电源外部导体中恒定电场的基本方程归纳如下：与其相应的积分形式为第三章恒定电流的电场和磁场电流密度J与电场强度E之间满足欧姆定律J=σE。以上的电场是指库仑场，因为在电源外的导体中，非库仑场为零。由于恒定电场的旋度为零，因而可以引入电位φ,E=-▽φ。在均匀导体内部(电导率σ为常数)，有0)(2E第三章恒定电流的电场和磁场3.1.6恒定电流场的边界条件图3-4边界条件第三章恒定电流的电场和磁场0)(0)(1212JJnEEn或ttnnEEJJ2121恒定电流场的边界条件为第三章恒定电流的电场和磁场在恒定电场中，用电位φ表示的边界条件为21nn2211112211122212nnnnnSJJJDD式中，Jn=J1n=J2n,当时，分界面上的面电荷密度为零。1122第三章恒定电流的电场和磁场应用边界条件，可得2121tantan可以看出，当σ1σ2，即第一种媒质为良导体时，第二种媒质为不良导体时，只要θ1≠π/2,θ2≈0，即在不良导体中，电力线近似地与界面垂直。这样，可以将良导体的表面看作等位面。第三章恒定电流的电场和磁场例3-1设同轴线的内导体半径为a,外导体的内半径为b，内、外导体间填充电导率为σ的导电媒质，如图3-5所示，求同轴线单位长度的漏电电导。图3-5同轴线横截面第三章恒定电流的电场和磁场解：媒质内的漏电电流沿径向从内导体流向外导体，设流过半径为r的任一同心球面的漏电电流为I，则媒质内任一点的电流密度和电场为rrerEerJ224141内、外导体间的电压为baIEdrUba114第三章恒定电流的电场和磁场漏电电导为ababUG41也可以通过计算媒质内的焦耳损耗功率，并由P=I2R求出漏电电阻R：baIPRbaIdrrrIEdVJPVba11411144)4(22222第三章恒定电流的电场和磁场3.1.7恒定电流场与静电场的比拟表3-2恒定电场与静电场的比较第三章恒定电流的电场和磁场图3-6两极板间的电场第三章恒定电流的电场和磁场21dlEdSEUqCS211dlEdSDUGSaadnC1aadnG1第三章恒定电流的电场和磁场例3-3计算深埋地下半径为a的导体球的接地电阻(如图3-7所示)。设土壤的电导率为σ0。图3-7例3-3用图第三章恒定电流的电场和磁场解：导体球的电导率一般总是远大于土壤的电导率，可将导体球看作等位体。用静电比拟法，位于电介质中的半径为a的导体球的电容为aC4所以导体球的接地电导为aG4接地电阻为aGR411第三章恒定电流的电场和磁场3.2磁感应强图3-8安培定律第三章恒定电流的电场和磁场安培定律指出：在真空中载有电流I1的回路C1上任一线元dl1对另一载有电流I2的回路C2上任一线元dl2的作用力表示为31122012)(4RRdlIdlIdF31122012)(421RRdlIdlIFCC31202212124RRdlIudlIFCC第三章恒定电流的电场和磁场令131104CRRdlIB若电流不是线电流，而是具有体分布的电流J，则式(3-29)改为(3-29)')'(4)(30dVRRrJrBV')'(4)(30dSRRrJrBSSBIdldF第三章恒定电流的电场和磁场可以用上式计算各种形状的载流回路在外磁场中受到的力和力矩。对以速度v运动的点电荷q，其在外磁场B中受的力是BqvF如果空间还存在外电场E，电荷q受到的力还要加上电场力。这样，就得到带电q以速度v运动的点电荷在外电磁场(E，B)中受到的电磁力为)(BvEqF上式称为洛仑兹力公式。第三章恒定电流的电场和磁场例3-4求载流I的有限长直导线(参见图3-9)外任一点的磁场。图3-9例3-4用图第三章恒定电流的电场和磁场解：取直导线的中心为坐标原点，导线和z轴重合，在圆柱坐标中计算。CRRIdlrB30'4)(从对称关系能够看出磁场与坐标φ无关。不失一般性，将场点取在φ=0，即场点坐标为(r,0,z)，源点坐标为(0，0，z′)。secsec''sec',tan'','',22rRredzedlrdzrzzrrRezrzererzzzzr第三章恒定电流的电场和磁场22sec'])'([''rerdzeezzredzeRdlzrz所以)sin(sin4cos4'421002/2/3021rrIedrIeRRdlIBll第三章恒定电流的电场和磁场式中：222221)2/(2/sin)2/(2/sinlzzlzlzzlz对于无限长直导线(l→∞)，α1=π/2,α2=-π/2，其产生的磁场为rIeB20第三章恒定电流的电场和磁场3.3恒定磁场的基本方程3.3.1磁通连续性原理磁感应强度在有向曲面上的通量简称为磁通量(或磁通)，单位是Wb(韦伯)，用Φ表示：sdSB如S是一个闭曲面，则SdSB第三章恒定电流的电场和磁场SCCSSRdSRIdldSRRIdldSB30304''4上式中，，故可将其改写为RRR13SSCdSRIdldSB14'0由矢量恒定式VSdSAAdV第三章恒定电流的电场和磁场则有dVRIdldSBVSC14'0而梯度场是无旋的，01R所以SdSB0第三章恒定电流的电场和磁场使用散度定理，得到SVBdVdSB0由于上式中积分区域V是任意的，所以对空间的各点，有0B上式是磁通连续性原理的微分形式，它表明磁感应强度B是一个无源(指散度源)场。第三章恒定电流的电场和磁场3.2.2安培环路定律图3-10环路定律第三章恒定电流的电场和磁场'30'30)'(4'4CCdldlRRIdlRRdlIdlB假设回路C′对P点的立体角为Ω，同时P点位移dl引起的立体角增量为dΩ，那么P点固定而回路C′位移dl所引起的立体角增量也为dΩ′。-dl×dl′是dl′位移-dl所形成的有向面积。注意到R=r-r′，这个立体角为。把其对回路C′积分，就得到P点对回路C′移动dl时所扫过的面积张的立体角，记其为dΩ，则以上的磁场环量可以表示为3)()'(RRdldld第三章恒定电流的电场和磁场CCdIdlB40可以证明，当载流回路C′和积分回路C相交链时，有4Cd当载流回路C′和积分回路C不交链时，有0Cd这样当积分回路C和电流I相交链时，可得IdlBC0(3-36)第三章恒定电流的电场和磁场当穿过积分回路C的电流是几个电流时，可以将式(3-36)改写为一般形式：IdlBC0根据斯托克斯定理，可以导出安培回路定律的微分形式：CCdSBdlB)(由于SdSJI第三章恒定电流的电场和磁场SSdSJdSB0)(因积分区域S是任意的，因而有JB0上式是安培环路定律的微分形式，它说明磁场的涡旋源是电流。我们可用此式从磁场求电流分布。对于对称分布的电流，我们可以用安培环路定律的积分形式，从电流求出磁场。第三章恒定电流的电场和磁场例3-5半径为a的无限长直导线，载有电流I，计算导体内、外的磁感应强度。解:SCdSJrBdlB02在导线内电流均匀分布，导线外电流为零，02aIeJzr≤ara第三章恒定电流的电场和磁场当ra时，积分回路包围的电流为I；当r≤a时，包围电流为Ir2/a2。所以当r≤a时，2022022aIrBaIrrB当ra时，rIBIrB2200写成矢量形式为rIeaIreB22020r≤ara第三章恒定电流的电场和磁场3.4矢量磁位可以令AB称式中的A为矢量磁位(简称磁矢位)，其单位是T·m(特斯拉·米)或Wb/m(韦伯/米)。矢量磁位是一个辅助量。式(3-40)仅仅规定了磁矢位A的旋度，而A的散度可以任意假定。因为若B=▽×A，另一矢量A′=A+▽Ψ，其中Ψ是一个任意标量函数，则BAAA'0A第三章恒定电流的电场和磁场JA0使用矢量恒等式AAA2JA02上式是磁矢位满足的微分方程，称为磁矢位的泊松方程。对无源区(J=0)，磁矢位满足矢量拉普拉斯方程，即02AzzyyxxAeAeAeA2222第三章恒定电流的电场和磁场zzyyxxJAJAJA020202VzzVyyVxxdVRJAdVRJAdVRJA444000第三章恒定电流的电场和磁场将其写成矢量形式为VdVRJA40若磁场由面电流