第3章正弦交流电路.

第3章正弦交流电路3.2正弦量的相量表示法3.4电阻、电感与电容元件的交流电路3.5串联交流电路3.8正弦交流电路的功率3.7正弦交流电路的分析与计算*3.9交流电路的频率特性与谐振3.1正弦交流电的基本概念3.10三相交流电路3.3基尔霍夫定律的相量形式3.6并联交流电路正弦量：随时间按正弦规律做周期变化的电量。itu+_正弦交流电路是指含有正弦激励电源而且电路中各处的电压和电流(响应)均按正弦规律变化的电路。i=Imsin(t+i)u=Umsin(t+u)正弦量瞬时值的一般表达式：正弦量瞬时值的波形图：3.1正弦交流电的基本概念设正弦交流电流：角频率：决定正弦量变化快慢幅值：决定正弦量的大小幅值、(角)频率、初相角称为正弦量的三要素。初相角：决定正弦量起始位置tIisinmIm2TitO3.1.1周期、频率与角频率T周期T：交流电变化一周所需要的时间，单位为秒（s）。i0tTT/2t2=T2=2ff=T1频率f：交流电每秒内变化的周数，单位为赫兹（Hz）。频率和周期的关系是互为倒数，即：角频率ω：交流电每秒内变化的弧度数，单位为弧度每秒（rad/s）。常见的频率值有线通信频率：300~5000Hz；中国和欧洲国家50Hz，美国、日本60Hz各国电网频率：高频加热设备频率：200~300kHz。无线通信频率：30kHz~3×104MHz；工频3.1.2瞬时值、幅值与有效值瞬时值：交流电在任一瞬间的值。用小写字母表示，如i，u，e分别表示交流电流、电压和电动势的瞬时值。幅值：最大的瞬时值，也称为最大值、峰值。用大写字母加下标表示，如Im、Um、Em分别表示交流电流、电压和电动势的幅值。i0Imt2i=Imsin(t+i)幅值虽能反映交流电的大小，但它只是一个特定瞬间的数值，不能用来计量交流电。因此，我们规定了一个用来计量交流电大小的值——有效值。定义：若某交流电流i通过一个电阻R时，在一个周期内所消耗的电能与某直流电流I通过同一电阻时在相同时间内所消耗的电能相等，则这一直流电流的数值就定义为该交流电流的有效值，用大写字母表示。如I、U、E分别表示电流、电压和电动势的有效值。即：∫0Ti2dt1TI=Ri2dt=RI2T∫0TI=2ImU=2UmE=2Em有效值与幅值的关系：一般交流测量仪表的刻度都指示的是它们的有效值。ti0i=ImSin(t+)i=ImSint正弦量是随时间变化的，因此要确定一个正弦量还需从计时起点(t=0)上来考虑。所取的计时起点不同，其初始值(t=0时的值)及到达幅值或某一特定时刻的值就不同。it0i0=0i0=ImSin3.1.3相位、初相位和相位差正弦交流电的波形:ωtiOωtiOψωtiOωtiOψ0＜ψ＜180°－180°＜ψ＜0°ψ=0°ψ=±180°在t=0时刻的相位角就称为初相位角或初相位。i=ImSin(t+)i=ImSint初相位=因此(t+)就表明了正弦量的变化进程，称为正弦量的相位角或相位。若所取计时时刻不同，则正弦量的初相位不同。ti0it0初相位=00tiu=Umsin(t+1)ui=Imsin(t+2)两个同频率正弦量的相位角之差或是初相角之差称为相位差，用表示。=(t+1)–(t+2)=1–2u和i的相位差当两个同频率的正弦量计时起点改变时，它们的初相位角改变，但初相角之差不变。iu21图中12称为u超前i一个角或称i滞后u一个角相位差)sin(umψtωUu如：)()(iuttiuψψ若0iuψψ电压超前电流相位差：两同频率的正弦量之间的初相位之差。uiuiωtO)sin(imψtωIi超前、滞后、同相和反相的概念：电压滞后电流90iuψψ90电压与电流同相0iuψψ电压滞后电流0iuψψ电压与电流反相180iuψψuiωtuiOuiωtui90°OuiωtuiOωtuiuiO正交②不同频率的正弦量进行相位比较无意义。①两同频率的正弦量之间的相位差为常数，与计时的选择起点无关。注意:ti2i1iO③通常取：－180°≤（，）≤＋180°例：=u-i=210°=-150°我们知道，正弦信号由振幅、角频率和初相三个要素确定。由于在正弦稳态电路中，各处的电流和电压都是正弦信号，并且它们的角频率与正弦电源的角频率相同，因此，在进行正弦稳态电路分析时，对于正弦电流、电压的振幅和初相，是我们最为关心的两个要素。3.2正弦量的相量表示法瞬时值表达式)(sin2)sin(mttUuU前两种方法不便于运算，重点介绍相量表示法。波形图１.正弦量的表示方法重点必须小写相量ψUUutωO3.2.1用旋转有向线段表示正弦量2.正弦量可以用旋转有向线段表示ω)(sinmψtUu设正弦量:若:有向线段长度=mUω有向线段以速度按逆时针方向旋转则:该旋转有向线段每一瞬时在纵轴上的投影即表示相应时刻正弦量的瞬时值。在起始时刻有向线段与横轴夹角=初相位1u1tωu0xyOmUψutωOmUmU3.2.2正弦量的相量表示法+j+1Abar0正弦量可用旋转有向线段表示，而有向线段在复平面中可用复数表示，所以正弦量可以用复数来表示，称之为相量。用大写字母上打“•”表示。例如、。UI正弦量的相量表示法就是用复数来表示正弦量。+j+1Abar0一、复数表示形式及运算设A为复数:(1)代数式A=a+jbabψarctan22bar复数的模复数的辐角式中:ψracosψrbsin(2)三角式bajA实部虚部)sinj(cossincosψψrψrjψr(3)指数式ψrAje)sinj(cossinjcosψψrψrψrA由欧拉公式:2jeesinjjψψψ,2eecosjjψψψψψψsinjcosej可得:ψrrrjrbjaAψjesincos(4)极坐标式ψrA复数在进行加减运算时应采用代数式，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。复数在进行乘除运算时应采用指数式或极坐标式，模与模相乘除，幅角与幅角相加减。正弦量可用复数表示读作“r在一个角度”则例如，有如下两个复数A、B111111212111jerrabbajbaAarctan222222222222jerrabbajbaBarctanrrejbabbjaaBAj)()(2121rreerrererBAjjjj)(21212121rreerrererBAjjjj)(21212121)(sinmψtωUu设正弦量:有效值相量用相量表示则有:相量的模=正弦量的有效值相量辐角=正弦量的初相角ψUUeUψj或：相量的模=正弦量的最大值相量辐角=正弦量的初相角ψUeUUψmjmm幅值相量UUm2二、正弦量的相量表示法①相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。注意:)(sinmψtωIi？=②只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不能用相量表示。ψIeIψmjm④相量的书写方式模用最大值表示，则用符号：mmIU、③相量的两种表示形式相量图:把相量表示在复平面的图形实际应用中，模多采用有效值，符号：IU、可不画坐标轴IU)jsincos(ejψψUψUUUψ相量式:只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。UUm2IIm21U202U452U1U超前于1U2U超前滞后？解:(1)相量式(2)相量图例1:将u1、u2用相量表示V)45(sin21102tωuV)20(sin22201tωu+1+jV202201UV451102U2022020220sincosjVj752074511045110sincosjVj877877..+1O+jψ由于：e±j90=1±90=cos(±90°)+jsin(±90°)=±j－jI=Iej90=Iejψ·ej90=Iej(ψ90)jIIjI设有一电流相量jI=Iej90=Iejψ·ej90=Iej(ψ+90)⑤相量式中“j”的数学意义和物理意义90jej旋转因子90901则I=Iejψ则有：+j=e+j90，-j=e-j90V452220U？正误判断1.已知：)V45(sin220tωuVe22045mU？有效值)A30(sin24tω？Ae4j30I3.已知：复数瞬时值j45•)A60(sin10tωi？最大值V100U？Ve100j15U？负号2.已知：A6010I4.已知：V15100U用相量表示正弦量有两种形式：一种是复数式形式，另一种是相量图形式。在相量图表示形式中，只要将各个正弦量按照它们的大小和相位关系用有向线段表示在复平面上即可。三、正弦量的相量图表示法此外，相量之间的相互加、减运算除了可以用相量的复数式形式进行运算之外，也可以用平行四边形法则在相量图上用作图的方法来进行，这种方法也称为相量图法。注意：只有同频率的正弦量才可以画在同一相量图上。例：已知相量V301001UV5310022U，试用相量图法求解相量21UU和21UU。解：首先画出相量和1U2U+j+11U2U2U21UU21UU正弦电量（时间函数）正弦量三角运算所求正弦量(时间函数)正变换相量（复数）反变换相量运算（复数运算)正弦交流电路的求解方法相量(复数)结果3.3基尔霍夫定律的相量形式KCL的相量形式：在正弦交流稳态电路中，对任一节点，各支路电流相量的代数和恒为零。但需注意，一般情况下：01nkkI一、KCL的相量形式01nkkmI01nkkI或但需注意，一般情况下：01nkkUKVL的相量形式：在正弦交流稳态电路中，沿任一回路绕行一周，则沿这一绕行方向上，各支路电压相量的代数和恒为零。二、KVL的相量形式01nkkmU01nkkU或[例3.2.1]已知i1=20sin(ωt+60º)A，i2=10sin(ωt－45º)A。两者相加的总电流为i，即i=i1+i2。(1)求i的时间函数表达式；(2)画出相量图；(3)说明i的最大值是否等于i1和i2的最大值之和，i的有效值是否等于i1和i2的有效值之和，并说明为什么。[解](1)采用相量式运算I1m=2060AA–45I2m=10Im=I1m+I2mA=19.931i=Imsin(ωt+ψ)=19.9sin(ωt+31)A=20cos60°+j20sin60°=10+j17.32A=10cos(-45°)+j10sin(-45°)=7.07-j7.07A=17.07+j10.25(2)用相量图运算[例3.2.1]已知i1=20sin(ωt+60º)A，i2=10sin(ωt－45º)A。两者相加的总电流为i，即i=i1+i2。(1)求i的时间函数表达式；(2)画出相量图；(3)说明i的最大值是否等于i1和i2的最大值之和，i的有效值是否等于i1和i2的有效值之和，并说明为什么。[解]I1m=2060AA–45I2m=10Im=I1m+I2mi=Imsin(ωt+ψ)=20sin(ωt+30)A+j+1O60°30°45°I1mI2mIm=2030A[例3.2.1](3)说明i的最大值是否等于i1和i2的最大值之和，i的有效值是否等于i1和i2的有效值之和，并说明为什么。i1=20sin(ωt+60º)A，i2=10sin(ωt－45º)Ai=19.9sin(ωt+31)A因为i1和i2的初相位不同，它们不是在同一时刻达到最大值，故最大值和有