第3章流体动力学基础.

第三章流体动力学基础•§3–1流体运动的描述•§3–2欧拉法的基本概念•§3–3连续性方程•§3–4流体的运动微分方程•§3–5伯努利方程•§3–6总流动量方程§３.３连续性方程流场中的微元平行六面控制体3.3.1连续性微分方程zyxzumzyxyumzyxxumzzyyxxddd)(ddd)(ddd)(1、单位时间内在x、y、z方向流进、流出控制体的流体质量差分别为：连续性微分方程的一般形式2、根据质量守恒定律，单位时间内流进、流出控制体的流体质量差应等于控制体内因流体密度变化所引起的质量增量：即dzddyxtmmmzyx0)()()(zuyuxutzyx0)(ut或适用范围：理想、实际、恒定流或非恒定流的不可压缩流体流动。§3.4流体的运动微分方程3.4.1理想流体的运动微分方程xzoy微元平行六面体x方向的受力分析2dxxppM2dxxppN欧拉运动微分方程dtduzpfdtduypfdtduxpfzzyyxx111dtdupf1uutupf)(13.4.2欧拉运动微分方程的积分dtduzpfdtduypfdtduxpfzzyyxx111dx（）dzdtdudydtdudxdtdudzzpdyypdxxpdzfdyfdxfzyxzyx)(1)(dy（）dz（）1、恒定流：0)(tdpdzzpdyypdxxp2、流体不可压缩：ρ=const)(1)(1pddpdzzpdyypdxxp3、质量力有势dWdzfdyfdxfzyx4、沿流线积分)2(2uddzdtdudydtdudxdtduzyxdzdtdudydtdudxdtdudzzpdyypdxxpdzfdyfdxfzyxzyx)(1)()2()(2udpddW不可压缩理想流体的伯努利积分式CupW22理想流体恒定元流的伯努利方程§3.5伯努利方程一、理想流体恒定元流的伯努利方程质量力只有重力：fx=0，fy=0，fz=-ggdzdzfdyfdxfdWzyx)2()(2udpddW0)2()(2udpdgdzCgugpz22物理意义：在同一恒定不可压缩流体重力势流（无旋流）中，理想流体各点的总机械能相等即在整个势流场中，伯努里常数C均相等。gugpzgugpz2222222111或符号说明：gpgu22gpzgugpz22z符号物理意义几何意义单位重流体的位能位置水头单位重流体的压能压强水头单位重流体的动能流速水头单位重流体总势能测压管水头单位重流体总机械能总水头总水头线和静水头线[例]皮托管测速zAzBgpAgpBguh22u皮托管测速原理022gpzgugpzBBAAgugpzgpzhAABB2)()(2ghgpzgpzguAABB2)]()[(2ghu2考虑到实际流体粘性作用引起的水头损失和测速管对流动的影响，实际应用时，应对上式进行修正：式中：ξ称为皮托管系数，由实验确定，通常接近于1.0。先按理想流体研究，由A至B建立恒定元流的伯努利方程，有3.6.2渐变流和急变流性质：①流线近似于平行的直线，流线之间的夹角很小，曲率半径很大。②动水压强符合静水压强规律分布。3.6总流的伯努利方程3.6.1均匀流及其性质流线图均匀流均匀流非均匀流均匀流非均匀流均匀流非均匀流渐变流急变流急变流3.6.3总流的伯努利方程gdQgd2gd22222211121wAAhQgugpzQgugpzwhgugpzgugpz22222221111、势能的积分QgpzudAgpzAgpzAA)(g)(ggud)(2、动能的积分QgvAgvAguA2g2ggd223333323d)(12ggd2vdAuAvuAdAgvAguAAAA动能修正系数：实际流体恒定总流的伯努利方程3、能量损失积分QghQghwwQd`QhQgvgQgpzQgvgQgpzwg2)g(2)g(222222121111whgvgpzgvgpz2222222111适用条件：①流体是不可压缩的，流动为恒定的。②质量力只有重力。③过流断面为渐变流断面。④两过流断面间没有能量的输入或输出，否则应进行修正：whgvgpzHgvgpz2222222111②压强p的计量标准。应用恒定总流的伯努利方程解题时，应注意的问题：①基准面、过流断面、计算点的选取。三选一列①选择基准面：基准面可任意选定，但应以简化计算为原则。例如选过流断面形心（z=0），或选自由液面（p=0）等。②选择计算断面：计算断面应选择均匀流断面或渐变流断面，并且应选取已知量尽量多的断面。③选择计算点：管流通常选在管轴上，明渠流通常选在自由液面。对同一个方程，必须采用相同的压强标准。④列伯努利方程解题：注意与连续性方程的联合使用。2019/12/2020图3-26水头线hw3.6.4水头线实际流体恒定元流的伯努利方程whgugpzgugpz2222222111Hp01H1z1p/g112g112v20p/gz2222HH2v222ghwdlgugpzddldhJw)2(2`dlgpzdJp)(总水头线坡度：测压管线坡度：①理想流动流体的总水头线为水平线；②实际流动流体的总水头线恒为下降曲线；③测压管水头线可升、可降、可水平。④若是均匀流，则总水头线平行于测压管水头线，即J=JP。⑤总水头线和测压管水头线之间的距离为相应段的流速水头。注意：[例]文丘里流量计100p2hpz12zd11d22p/g2p/g1hgvgpzgvgpz2222222111)()(2211gpzgpzh12212112)(vddAvAv1)(/24211ddhgv1)(/244212111`ddhgdAvqV1)(/2442121ddhgdqV[例]某一水库的溢流坝，如图所示。已知坝下游河床高程为105.0m,当水库水位为120.0m时，坝址处过流断面C处的水深hc=1.2m。设溢流坝的水头损失求坝址处断面的平均流速。gvhcw21.022012Cvchc120.0v110105.0解：如图，取基准、计算断面，列出断面1，2总流伯努利方程whgvgpzgvgpz222222221111计算点选在液面上，即有021pp02211gv，Z1=120-105=15mZ2=hc=1.2mgvgvcc21.020.102.1001522smgvc/68.151.1)2.115(2令v2=vc3.6.5伯努利方程的扩展11v12233v2v3节点1、分叉恒定流)2()2(222222211111gvgpzgqgvgpzgqVV3,1233332,12222221111222wwhgvgpzhgvgpzgvgpz3,132,12233333)2(wVwVVhgqhgqgvgpzgq2、能量的输入与输出whgvgpzHgvgpz2222222211112019/12/20263.7总流的动量方程在许多工程实际问题中，可以不必考虑流体内部的详细流动过程，而只需求解流体边界上流体与固体的相互作用，这时常常应用动量定理直接求解显得十分方便。例如求弯管中流动的流体对弯管的作用力，以及计算射流冲击力等。由于不需要了解流体内部的流动型式，所以不论对理想流体还是实际流体，可压缩流体还是不可压缩流体，动量定理都能适用。一、恒定流的动量方程将质点系动量定理应用于流体系统的运动，可以导出流体运动的动量方程。根据动量定理，流体系统动量的时2019/12/2027间变化率等于作用在系统上的外力矢量和，即设不可压缩流体在管中作恒定流，如图3-24所示。取过流断面1-1和2-2之间的流段作为研究对象，两截面上的平均流速分别和，流段在质量力、两截面上的压强和管壁的作用力的作用下，经过dt时间后从位置1-2流到1’-2’。与此同时，流段的动量发生了变化，其变化等于流段在1’-2’和1-2位置时的动量之差。由于恒定流中流管内各空间点的流速不随时间变化，因此1’-2这部分流体（图中阴影部分）的动量没有改变。于是在dt时间内流段的动量变化就等于2-2’段的动量和1-1’段的动量之差。(3-53)tVmVmF1212)(VQdtVQdtVmd2019/12/2028图3-24推导动量方程用图2019/12/2029由于按平均流速计算得到的动量变化量和以实际流速计算的动量变化量是不同的，故引入一个动量修正系数β加以修正。根据实验测定值约为1.02～1.05，近似于l，所以为计算方便，在工程计算中通常取β＝1。于是上式可改写成(3-54)根据不可压流体一元流动总流的连续性方程，流过截面1-1的流量和流过截面2-2的流量相等，即或（3-55）方程(3-55)就是不可压缩流体恒定流的动量方程111222dd)(dVtQVtQVmQQQ21tFVmVVtQd)(d)(d1122FVVQ)(11222019/12/2030把上式写成分量形式为(3-56)管流的恒定动量方程常用于求解作用在管道上的动水反力等问题。由式(3-56)可知，在恒定流中，可以有某一段流体进、出口的流速变化，而不需要知道这一流段的内部情况，就可以求出流体所受外力的合力，即管壁对流体的作用力，从而求出流体对管壁的作用力。由于动量方程是一个矢量方程，所以应用投影方程比较方便。应用时应注意，适当地选择控制面，完整地表达出控制体和控制面上的外力，并注意流动方向和投影的正负等。zzzyyyxxxFQFvvQFQ)()()(1122112211222019/12/2031二、动量方程应用举例【例3-9】水平放置在混凝土支座上的变直径弯管，弯管两端与等直径管相连接处的断面1-1上压力表读数p1=17.6×104Pa，管中流量Q=0.1m3/s，若直径d1=300㎜，d2=200㎜，转角Θ=600，如图3-25所示。求水对弯管作用力F的大小【解】水流经弯管，动量发生变化，必然产生作用力F。而F与管壁对水的反作用力R平衡。管道水平放置在xoy面上，将R分解成Rx和Ry两个分力。取管道进、出两个截面和管内壁为控制面，如图所示，坐标按图示方向设置。1.根据连续性方程可求得：2019/12/2032图3-252019/12/2033(m/s)(m/s)2.列管道进、出口的伯努利方程则得：(Pa)42.13.041.042211dQv18.32.041.042222dQvgvgpgvgp222222112/)(222112vvpp2/)18.342.1(1000106.172233102.172019/12/20343.所取控制体受力分析进、出口控制面上得总压力：（kN）（kN）壁面对控制体内水的反力Rx、Ry，其方向先假定如图(3-25)所示。4.写出动量方程选定坐标系后，凡是作用力（包括其分