第3章离散系统动力学参数

第一篇离散系统的线性振动第3章离散系统的动力学参数及其确定方法第3章离散系统的动力学参数及其确定方法§3-1结构系统的离散化方法离散化——将结构系统简化为有限自由度系统关键：合理考虑惯性力的作用，合理选择动力自由度3.1.1质量集中法将分布质量集中在有限个离散点，质点之间通过一定的弹性连接。(b)3m2m1m图3.1.2三层剪切框架及简化模型(a)(1)只考虑竖向的惯性力，三个自由度；(2)若考虑转动惯量，六个自由度；(3)再考虑水平位移，九个自由度。图3.1.1三个自由度的集中质量系统x3()yt2()yt1()yt1m2m3my()Fto3IF2IF1IF第3章离散系统的动力学参数及其确定方法n=1第3章离散系统的动力学参数及其确定方法图3.1.3简支梁的离散化1m2m3m2m1m3l2l1l)(2211211lmlmm)1.1.3()(3322212lmlmm3.1.2广义位移法简支梁的广义位移xly)2.1.3(sin)(),(1nnlxntYtxyn=2n=3)3.1.3(3sin)(2sin)(sin)(),(321lxtYlxtYlxtYtxy三个广义坐标，近似为三自由度)(1tY)(2tY)(3tY推广:一维问题:)4.1.3()()(),(1NnnnxtYtxy二维问题:)5.1.3(),()(),,(11MmNnmnmnyxtWtyxW。),()(应满足几何边界条件和条件：yxxmnn3.1.2广义位移法第3章离散系统的动力学参数及其确定方法3.1.3有限单元法数学思想:分片插值和变分原理应用有限单元法进行结构系统动力分析的基本步骤:(1)单元划分：选择合适的单元对结构进行离散；(2)单元分析：计算单元的动能和势能及外力和阻尼力的功，应用哈密顿原理建立单元的运动方程；(3)单元集总：组装所有的单元，形成整体运动方程；(4)引入边界条件，消除刚体位移，修改运动方程；(5)解动力方程，求固有频率、固有振形及结点动位移；(6)用插值公式求出各单元内部各点的动位移和动应力。)6.1.3()(tFxKxCxMF(t)—等效激振力列阵。M—质量矩阵；C—阻尼矩阵；K—刚度矩阵；3.1.3有限单元法第3章离散系统的动力学参数及其确定方法§3-2质量参数及其确定方法质量参数与系统的动能密切相关！图3.2.1有集中质量的简支梁mM/2l/2l例3.2.1图示等截面简支梁，设质量块在振动过程中梁的挠曲线可用单个正弦波函数来表示，试计算系统的动能，并确定作为单自由度系统的等效质量。解：梁挠曲线方程：)1.2.3(/sin)(),(lxtYtxyY(t)是质量块的竖向位移，为广义坐标。系统的动能：ldxtymtYMT02221)(21(t)YdxlπxmMl202sin21)2.2.3()(21212tYlmMT等效质量：)3.2.3(2121mMlmMMeq)(1tY§3-2质量参数及其确定方法(例3.2.1)第3章离散系统的动力学参数及其确定方法例3.2.2考察例3.2.1中的简支梁，假设梁的挠曲线可用三个正弦波的和来表示，试计算系统的动能，并确定系统的质量参数。解：梁挠曲线方程：)4.2.3(3sin)(2sin)(sin)(),(321lxtYlxtYlxtYtxy系统的动能：)5.2.3(21212022/dxtymtyMTllx将式(3.2.4)代入式(3.2.5)，并利用正弦函数的正交性，得)6.2.3(22322214123312121YYYmYYYYMT矩阵形式：)7.2.3(000021321212121321TYYYmMMmMmMYYYT例3.2.2第3章离散系统的动力学参数及其确定方法质量矩阵：)7.2.3(0000212121mMMmMmMM多自由度离散系统动能的一般表达式:nknllklkqqmT1121)23.2.1(31liNikiikllkqxqxmmm动能的矩阵形式:)8.2.3(21TqMqTnqqq21q)9.2.3(212222111211nnnnnnmmmmmmmmmM多自由度离散系统动能的一般表达式第3章离散系统的动力学参数及其确定方法例3.2.3考察某一维的弹性体，长度为l，分布质量为m(x)。设弹性体的振动位移可用满足边界条件的位移函数的和来表示:)10.2.3()()(),(1niiixtYtxy试求系统的质量矩阵。解：动能:dxtyxmTl20/)(21dxxYxmlniii201)()(21ninjjiljidxxxxmYY110)()()(21ninjjiijYYm1121质量矩阵的系数:)12.2.3()()()(0dxxxxmmjilij对于有限单元法，质量矩阵与单元划分及单元形式有关。不论采用哪种方法，最后系统的动能都可以表达为式(3.2.8)的形式。例3.2.3第3章离散系统的动力学参数及其确定方法§3-3能量耗散与阻尼参数的确定系统的阻尼系数与系统在运动过程中所耗散的能量密切相关。阻尼的主要形式:内阻尼和外阻尼内阻尼:也称结构阻尼，由材料的非弹性部分所致；外阻尼：介质阻尼、库仑阻尼、连接阻尼等3.3.1粘滞阻尼模型)1.3.2(iiiDcrF图3.3.1粘滞阻尼模型DFDF1xcDF2x阻尼力：)2.3.2()(12xxxFFccDD§3-3能量耗散与阻尼参数的确定第3章离散系统的动力学参数及其确定方法3.3.2滞变阻尼模型特点：振动时结构材料的应变ε的相位总是落后于应力σ的相位一个角度γ。)3.3.3()(,)()(0)(0tjtjetEet应力—应变关系：)4.3.3(Eejγ称为结构阻尼参数，γ远小于1)5.3.3(1jej近似应力—应变关系：)6.3.3()1(*EEj复弹性模量：复刚度：jEE1*kjk1*复阻尼理论：复阻尼的实部就是刚度系数，虚部代表的阻尼。3.3.2滞变阻尼模型第3章离散系统的动力学参数及其确定方法3.3.3能量耗散与等效阻尼运动方程：)7.3.3()(tFxkxcxm)8.3.3()()1(tFxkjxm对数衰减率:)/ln(/ln3221xxxx3221xxxxe)9.3.3(2312xxxxe各振动周期开始的能量:21211xkV)10.3.3(,22212xkV能量耗散比:11VV121VVV212221xxx2121xx21e)11.3.3(423.3.3能量耗散与等效阻尼第3章离散系统的动力学参数及其确定方法11VV42114VV212xk2122xm)12.3.3(21xc阻尼系数的等效:结构阻尼:振动一个周期阻尼所耗散的能量相等。2*AV等效粘滞阻尼：2AcVeqVV*)13.3.3(/eqc一般等效原理:在一个振动周期内阻尼力所做的虚功相等。阻尼系数的等效第3章离散系统的动力学参数及其确定方法图3.3.2等效阻尼系统M1c2c/3l/3l/3l例3.3.1图示悬臂梁，自由端固定一个质量块。梁在l/3和2l/3处各安装一个阻尼器，阻尼系数分别为c1和c2，求等效阻尼系数ceq。解：近似取悬臂梁在自由端集中荷载作用下的静挠度曲线为梁的位移函数，以自由端的竖向最大位移为广义坐标。)14.3.3(3)(),(221tYtxylx/:31)(2741tYv)(12741tYcFD)(2741tYy)(27142tYv)(227142tYcFD)(27142tYy:322211yFyFWDDDYYcc7291961621YYceq729/1961621ccceq例3.3.1第3章离散系统的动力学参数及其确定方法3.3.4多自由度粘滞阻尼系统的能量耗散与阻尼矩阵N质点系统,l个完整约束，n自由度，广义坐标：nqqq,,,21qi质点所受的阻尼力:)18.3.3(iiiDcrF广义力:NijiiijqqxxcF31*)19.3.3(31Nijiiiqxxc瑞雷(Rayleigh)耗散函数:)20.3.3(21312NiiixcR)21.3.3(/*jjqqRF比较式(3.3.19)和(3.3.20)：3.3.4多自由度粘滞阻尼系统的能量耗散与阻尼矩阵第3章离散系统的动力学参数及其确定方法用广义坐标表示广义力：nkkjkjqjqcqRF1*粘滞阻尼系统的拉格朗日方程：)25.3.3(,,2,1*njFqRqLqLdtdjjjj——除阻尼力以外的非保守力。*jF广义坐标表示R:)23.3.3(21212111312qCqTnjnkkjjkNiiiqqcxcRC为阻尼矩阵:)24.3.3(31Nikijiijkqxqxcc3.3.4续第3章离散系统的动力学参数及其确定方法图3.3.3两个自由度的质量—弹簧—阻尼器系统3k2k1k3c2c1c2m2x1x1m223212221121xcxxcxcR矩阵形式:21322221T2121xxccccccxxR322221ccccccC阻尼矩阵:瑞雷耗散函数:例3.3.2图示双自由度系统，质量块的质量分别为m1和m2，刚度系数和阻尼系数分别为ki和ci(i=1,2,3)，试求系统的质量矩阵M和阻尼矩阵C。解：取质量块的水平位移x1(t)和x2(t)为广义坐标质量矩阵:212100),(mmmmdiagM例3.3.2第3章离散系统的动力学参数及其确定方法弹性参数，包括刚度和柔度，与系统的变形能有关。§3-4弹性参数及其确定方法图3.4.1弹簧模型SFSF1x2xk弹簧的相对变形:12xxx()SFfx图3.4.2弹簧的变形曲线xSF(1)(2)线性范围外力—变形关系:软弹簧:弹簧刚度随变形的增大而减少;硬弹簧:弹簧刚度随变形的增大而增大。tan/0xxfk小变形情况:)1.4.3()(xkxFS21()(3.4.2)SSFFkxkxx弹性恢复力:§3-4弹性参数及其确定方法第3章离散系统的动力学参数及其确定方法储存在弹簧内部的变形势能V等于外力在变形过程中所做的功)3.4.3()(00221xxSxkdkdFV3.4.1并联弹簧和串联弹簧(1)并联弹簧的特点图3.4.3并联弹簧模型SFSFeqkSFSFnk2k1k)4.4.3(,,2,1nixkFiiS总外力:niiSSFF1niixk1xknii1)5.4.3(xkeq等效刚度系数:)6.4.3(1niieqkk各弹簧的变形相等:xi=x3.4.1并联弹簧和串联弹簧第3章离散系统的动力学参数及其确定方法图3.4.4串联弹簧模型SFSFeqkSFSFnk2k1k(2)串联弹簧的特点各弹簧所受的力相等：SiSFF各弹簧的变形：)7.4.3(,,2