第3章线性系统的时域分析.

第三章线性系统的时域分析法3.1系统时间响应性能指标3.2一阶系统时域分析3.3二阶系统时域分析3.4高阶系统时域分析3.5线性系统的稳定性分析和稳定判据3.6线性系统的稳态误差3.1系统时间响应的性能指标线性控制系统常用的分析方法:时域分析法，根轨迹法、频域分析法时域分析法：控制系统在一定的输入信号作用下，根据系统输出量的时域表达式，分析系统的稳定性、暂态（动态）和稳态性能时域分析在典型输入信号作用下，控制系统的时间响应是由动态响应和稳态响应组成。动态响应TransientResponse又称为过渡过程或瞬态过程，指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程稳态响应Steady-stateResponse指系统在典型输入信号作用下，当时间趋于无穷时，系统输出量的表现形式。稳定是系统能够运行的首要条件，只有当动态过程收敛时，研究系统的动态性能才有意义3.1.1典型输入信号为了评价线性系统时间响应的性能指标，需要研究控制系统在典型输入信号作用下的响应过程。常根据系统常见的工作状态来选取典型输入信号，往往选取最不利的信号作为系统的典型输入信号。典型输入信号：根据系统常遇到的输入信号的形式，在数学描述上加以理想化的一些基本输入函数。1.阶跃函数(Stepfunction)如电流突然接通、负载突变2.斜坡函数（速度函数）(Rampfunction)为单位阶跃函数,1)0(0)0()(1)(RsRtttRtr为单位斜坡函数,1)0(0)0()(2RsRtttRtr如船闸升降、机床加工斜面典型输入信号3.加速度函数(Accelerationfunction)4.正弦函数（Simusoidalfunction）为单位加速度函数,2/12)0(0)0()(32RsRtttRtr为角频率。为振幅或幅值，AtAtrsin)(如海浪的扰动力5.单位脉冲函数与单位冲激函数(Impulsefunction)单位冲激函数的性质),0(0)0(/1)(htththth0()()()d()1L[()]1limhhttttδt00()()d()(0)()()d()()ftttffttttft时间响应的性能指标通常在阶跃函数作用下，测定或计算系统的动态性能。假定：系统在单位阶跃输入信号作用前处于静止状态，输出量及各阶导数均等于零。动态性能指标：稳定的系统在阶跃函数作用下，动态过程随时间变化状况的指标动态性能指标动态性能指标示意图1h(t)t时间tr上升峰值时间tpAB超调量σ%=AB100%调节时间tsh(t)t上升时间tr调节时间ts动态性能指标示意图2动态性能指标1、上升时间tr(RiseTime):阶跃响应曲线从零第一次上升到稳态值所需的时间。若阶跃响应曲线不超过稳态值，则定义阶跃响应曲线从稳定值的10%上升到90%所需时间为上升时间tptrtst0)(c)(ptc)(tc)(2c单位阶跃响应dt0.5()c2、峰值时间tp(PeakTime):阶跃响应曲线（超过稳态值）到达第一个峰值所需的时间称为峰值时间单位阶跃响应3、延迟时间(DelayTime):阶跃响应曲线第一次到达终值一半所需的时间tptrtst0)(c)(ptc)(tc)(2c单位阶跃响应dt0.5()c4、最大超调量(MaximumOvershoot):%,Mp5、调节时间ts(SettlingTime):阶跃响应曲线到达并保持在允许误差范围所对应的时间称为过渡过程时间或称调节时间。误差范围常用终值的2%或5%()()%100%()pctcc6、振荡次数N在0tts内，阶跃响应曲线穿越其稳态值次数的一半称为振荡次数。tptrtst0)(c)(ptc)(tc)(2c单位阶跃响应dt0.5()c时域动态性能指标tr或tp评价系统的响应速度；ts同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。σ%评价系统的阻尼程度。h(t)t时间tr上升峰值时间tpAB超调量σ%=AB100%调节时间ts系统输出响应的求取()s)(sR)(sC()()()CssRs11()[()][()()]CtLCsLsRs()()()CssRstketmmetktkk)(121)sin(tket)]sin()sin()sin([12211mmmtttkttktke极点运动模态实数单极点σm重实数极点σ一对复数极点σ+jωm重复数极点σ+jω11()[()][()()]CtLCsLsRs根据拉氏反变换的部分分式法可知，有理分式C(S)的每一个极点（分母多项式的根）都对应于c(t)中的一个时间响应项，称为运动模态。每种模态代表一种类型的运动型态。运动模态零极点与运动模态的关系C(t)就是由C(s)的所有极点所对应的时间响应项（运动模态）的线性组合。系统输出信号拉氏变换的极点是由传递函数的极点和输入信号拉氏变换的极点组成。11()[()][()()]CtLCsLsRs传递函数极点所对应的运动模态称为系统的自由运动模态或振型(modeofvibration)。传递函数的零点不形成运动模态，但却影响各模态在响应中所占的比重，因而，也影响时间响应及其曲线形状。传递函数的极点对应的时间响应分量称为瞬（暂）态分量；输入信号拉氏变换的极点对应的时间响应分量称为稳态分量;零极点与运动模态的关系11()[()][()()]ctLCsLsRs3.2一阶系统的时域分析输入信号r(t)与输出信号c(t)的关系用一阶微分方程表示的系统称为一阶系统常见的温度控制系统和液压控制系统中的被控对象都是一阶系统dc(t)()()dTctrttC(s)1(s)R(s)1Ts将典型输入信号加入系统通过分析系统时域响应来得到系统的性能指标（动态、稳态）11)()()(TssRsCs一阶系统的时域分析1Ts)(sR)(sC1单位阶跃响应1T1)(trssR/1)(()()()CssRs()1(0)tTctet稳态分量暂态分量11111TTsssTs()1()()1CssRsTs()()stctctUnit-StepResponseofFirst-orderSystemR(s)的极点形成系统响应的稳态分量。传递函数的极点是产生系统响应的瞬态分量。延迟时间：上升时间：调节时间：超调量：稳态误差：响应速度与时间常数T成反比，T越小，响应速度越快。td=0.69Ttr=2.2Tts=3T(=5%)4T(=2%)ess=02一阶系统的单位冲激响应R(s)＝1可知，输出量的拉氏变换与系统的传递函数相同，这时输出称为单位冲激响应，记作h(t)1()()1cssTs1()()[()]htctLs1(0)tTetTUnit-impulseresponseoffirst-ordersystems3一阶系统的单位速度响应2()11()1rttCsTssCs=t-T是稳态分量，也就是速度函数与输入信号斜率相同，时间滞后一个时间常数T。Ct按指数规律衰减到零，衰减速度由极点决定lim()lim[()()]sstteetrtctT()(0)tTstctTetctTcUnit-rampResponseoffirst-orderSystems4一阶系统的单位加速度响应跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。231()211()1rttCsTss221()(1)(0)2tTcttTtTet223211TTTssssT2()()()(1)tTTtetrtctTe表1:一阶系统对典型输入信号的响应•系统对输入信号导数的响应，等于系统对该输入信号响应的导数•系统对输入信号积分的响应，等于系统对该输入信号响应的积分；积分常数由零初始条件确定。输出响应输入信号)(1t0,1teTTt0,1teTt0,tTeTtTt0,22221teTTTttTt)(tt221t3.3二阶系统的时域分析二阶系统：凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统1.典型二阶系统的数学模型()s)2(2nnss)(sR)(sC:n无阻尼自振角频率，单位是rad/s:阻尼比（相对阻尼系数），阻尼系数与临界阻尼系数的比值2222nnnss(1)ksTs)(sR)(sC)2(2nnss)(sR)(sC222()2nnnsss两种二阶系统的典型形式1,2nkTkT对比系数??n222()2nnnsss二阶系统的特征根21,21(01)nnsj二阶系统的特征方程为：2220nnss特征根等于：nn特征根取决于及，时间响应也取决于及特征根分析2220nnsss1,s2为位于复平面的左半部的一对共轭复根21,21nnsj(01)特征根分析2220nnsss1,s2为一对相等的负实根1,2ns(1)阻尼比特征根（闭环极点）010110无阻尼过阻尼临界阻尼系统输出量发散欠阻尼jnjs2,121,21nnsj122,1nnsjjj1,2nns2220nnss特征方程分析当取不同值时的二阶系统的时域响应C(t)及性能指标针对不同的典型输入信号221,),(1),()(tttttr二阶系统的时域响应2二阶系统的单位阶跃响应2222)()(nnnsssRsC22222()1()211()22nnnnnnrttsCsssssss取值范围？(1)欠阻尼()二阶系统的单位阶跃响应01222222222211()221()()nnnnnnnndnddndsCsssssssssss有阻尼自振角频率21dn其中，22221sin()((0)1)1(1cos1sin1)1nntnntdcteetttt22221()()()nndnddndsCssss求反拉氏变换，可得(1)欠阻尼()二阶系统的单位阶跃响应01稳态响应为1，表明系统在单位阶跃函数作用下，不存在稳态位置误差;暂态响应为按指数衰减的正弦振荡形态，其振荡频率为21nd21()1sin()(0)1ntdctett(1)欠阻尼()二阶系统的单位阶跃响应01衰减的振荡21()1sin()(0)1ntdctett衰减速度与什么相关？与特征根分布关系如何阻尼比的减小将导致系统响应的振荡加剧，且衰减速度变慢；21,21nnsj临界阻尼情况下的二阶系统的单位阶跃响应称为临界阻尼响应当时，二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的无超调,单调上升过程(2)临界阻尼()1)1(1)(tetcntn1nnnnnssssssC1)(1)()(222(3)过阻尼()11)(tct1、过阻尼状态的两个特征根均为负实数，其响应为两个衰减的指数项的线性组合。2、响应速度与两个特征根相关的两个时间常数共同决定3、响应曲线是无振荡单，无超调，调上升。不同于一阶系统；21111/nnsT