第3节泰勒(Taylor)公式

高等数学●戴本忠1二、几个初等函数的麦克劳林公式第三节一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的应用—应用用多项式近似表示函数理论分析近似计算泰勒(Taylor)公式第三章高等数学●戴本忠2Taylor公式多项式是一类很重要的函数，其明显特点是结构简单，因此无论是数值计算还是理论分析都比较方便。从计算的角度看，只须加、减、乘三种运算，连除法都不需要，这是其它函数所不具备的优点。用多项式近似地表示给定函数的问题不仅具有实用价值，而且更具有理论价值。一般的函数不好处理先用较好处理的多项式近似替代，然后通过某种极限手续再过渡到一般的函数。“以直代曲”就是用一次多项式去近似给定函数。高等数学●戴本忠3学习指导1.教学目的了解泰勒公式的条件和结论,知道麦克劳林公式。2.注意事项(1)求给定函数的泰勒公式时要明确指定点X0和最高阶数，要正确写出拉格朗日余项或皮亚诺余项。(2)几个常用函数的n阶麦克劳林公式要记清楚，很多场合可以直接用。(3)求某些未定式的极限可借助于带皮亚诺余项的泰勒公式完成。(4)证明某些与高阶导数有关的命题时常用到泰勒公式。高等数学●戴本忠4一、问题的提出,)(.10处连续在设xxf)0,()()(00xxxfxf因为);()(0xfxf所以,)(.20处可导在设xxf),())(()()(0000xxoxxxfxfxf因为).)(()()(000xxxfxfxf所以泰勒公式主要是用多项式近似代替函数,且误差可由公式表示出来。这样对精确度要求较高且需要估计误差的情形就可用高次多项式来近似表示函数,同时给出误差公式。以直代曲高等数学●戴本忠5(如下图)例如,很小时当x,1exx.)1ln(xxxeyxy1xyexy)1ln(xy高等数学●戴本忠6不足:问题:1.精确度不高;2.误差不能估计..)()()(可估计误差xPxfxR.)()(,)(xPxfxP使寻找函数nnnxxaxxaxxaaxp)()()()(0202010,)1()(0阶的导数的开区间内具有直到在含设函数nxxf).()()(xpxfxRnn误差),()(0xpnxxn次多项式的试找出一个关于需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?高等数学●戴本忠7oxy0x)(xfy)()(00xfxpn)()(00xfxpn)()(00xfxpn2.若有相同的切线3.若弯曲方向相同近似程度越来越好点相交若在0.1x,)()(0点的情况在和函数分析多项式xxfxpn系数和余项的确定高等数学●戴本忠8nkxfxpkkn,,2,1)()(0)(0)(,)(,),(),()(0)(0000相等处的值依次与的导数在阶处的函数值及它的直到在假设xfxfxfxnxxpnn),()(00xfxpn即nnnxxaxxaxxaaxp)()()()(0202010),(00xfa于是得),(101xfa),(!202xfa,)(!0)(xfannn则)(xpn)(xpnnan!)()(xpnn1a)(202xxa10)(nnxxan2!2a20)()1(nnxxann高等数学●戴本忠9nnnxxnxfxxxfxxxfxfxp)(!)()(!2)())(()()(00)(200000),,2,1,0()(!10)(nkxfkakk综合得)(中得代入xpn找到n次多项式高等数学●戴本忠10)()(!)()(!2)())(()()(00)(200000xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn,),(,)1(),()(0有则对任一阶的导数具有直到内的某个开区间在含如果函数baxnbaxxf.,)()!1()()(010)1(之间的某个值和是这里其中xxxxnfxRnnn二、泰勒(Taylor)中值定理高等数学●戴本忠11证)()()(xpxfxRnn)(,)()!1()()(010)1(之间和在xxxxnfxRnnn只需证明,)1(),()(阶的导数内具有直到在nbaxRn根据假设可知,,0)()()()(0)(000xRxRxRxRnnnnn且,)()(10nnxxxR和两个函数,0理条件西中值定为端点的区间上满足柯和在以xx高等数学●戴本忠12nnxnR))(1()(0110)()()()()(10010nnnnnxxxRxRxxxR根据柯西中值定理)(01之间与在xx))(1()(0nnxxnxR和再对两个函数,10西中值定理为端点的区间上应用柯和在以x0))(1()()())(1()(0101011nnnnnxnxRRxnR1022))(1()(nnxnnR)(102之间与在x高等数学●戴本忠13照此方法继续下去,,)1(得次后经过n)1()!1()()()()1(10nRxxxRnnnn,0之间与在nx.0之间与因而也在xx),()()1()1(xfxRnnn所以,0)()1(xpnn因为),()()(xpxfxRnn且代入(1)式得)(,)()!1()()(010)1(之间和在xxxxnfxRnnn证毕高等数学●戴本忠14nnnxxnxfxxxfxxxfxfxp)(!)()(!2)())(()()(00)(200000.)()(0近似多项式次的幂展开的按称为函数nxxxf多项式高等数学●戴本忠15)()()!1()()(010)1(之间与在xxxxnfxRnnn)()(!)()(!2)())(()()(00)(200000xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn公式.)()(0阶泰勒公式拉格朗日型余项的的幂展开的带有按称为函数nxxxf高等数学●戴本忠16关于泰勒公式的说明)())(()()(000之间与在xxxxfxfxf:,0.1中值公式泰勒公式变成拉格朗日时当n泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.,.2n如果对于某个固定的,)()1(Mxfn,),(时当bax10)()!1(nxxnM10)1()(!)1()()(nnnxxnfxR则高等数学●戴本忠17佩亚诺型(Peano)余项0)()(lim00nnxxxxxR当].)[()(0nnxxoxR即带有佩亚诺型余项的n阶泰勒公式])[()(!)()(!2)())(()()(000)(200000nnnxxoxxnxfxxxfxxxfxfxf无穷小性质高等数学●戴本忠18.)!1()()(1)1(nnnxnxfxR则余项,0,0.30之间和在取xx),10(x令)10()!1()(!)0(!2)0()0()0()(1)1()(2nnnnxnxfxnfxfxffxf带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式（多项式）麦克劳林（Maclaurin）公式（多项式）高等数学●戴本忠19)(!)0(!2)0()0()0()()(2nnnxoxnfxfxffxf带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式函数的近似公式.!)0(!2)0()0()0()()(2nnxnfxfxffxf误差估计式.)!1()(1nnxnMxR高等数学●戴本忠20三、几个初等函数的麦克劳林公式,)()(xkexf),2,1(1)0()(kfkxe1x!33x!nxn)(xRn!22x其中高等数学●戴本忠21由公式可知!!21e2nxxxnx估计误差)0(x设!1!2111e,1nx取.)!1(3n其误差)!1(enRn).10()!1(e)!1(e)(11nxnxnxnxnxR高等数学●戴本忠22)sin(x)()(xfkxsinx!33x!55x!)12(12mxm)(2xRm其中)(2xRm)sin(212mx2k2sin)0()(kfkmk2,012mk,)1(1m),2,1(m1)1(m)10(12mx!)12(m)cos()1(xmf(x)cosxf(x)sinxf(x)cosxf(0)0f(0)1f(0)0f(0)1f(4)(0)0高等数学●戴本忠23xyxysinsinx的Taylor多项式对sinx的近似情况：m=1时：高等数学●戴本忠24xyxysin!33xxyosinx的Taylor多项式对sinx的近似情况：m=3时：高等数学●戴本忠25xyxysin!33xxyo!5!353xxxysinx的Taylor多项式对sinx的近似情况：m=5时：高等数学●戴本忠26xysin!11!9!7!5!3119753xxxxxxyosinx的Taylor多项式对sinx的近似情况：m=11时：高等数学●戴本忠27!)2(2mxm类似可得xcos1!22x!44x)(12xRm其中)(12xRm!)22(m)cos()1(1xm)10(m)1(22mx高等数学●戴本忠28)()(xfk)1(x1x2xnx)(xRn其中)(xRn11)1(!)1()()1(nnxxnn)10(kxk)1)(1()1()1()1()0()(kfk),2,1(k!2)1(!n)1()1(n高等数学●戴本忠29已知)1ln(xx22x33xnxn)(xRn其中)(xRn11)1(1)1(nnnxxn)10(1)1(n类似可得)()(xfkkkxk)1(!)1()1(1),2,1(k高等数学●戴本忠30常用函数的麦克劳林公式)()!12()1(!5!3sin221253nnnxonxxxxx)()!2()1(!6!4!21cos22642nnnxonxxxxx)(1)1(32)1ln(1132nnnxonxxxxx)(1112nnxoxxxx)(!)1()1(!2)1(1)1(2nnmxoxnnmmmxmmmxx高等数学●戴本忠31例1.131阶泰勒公式的在求nxxy解xy31)1(21x,211121x)(1112nnxoxxxx因为21121x221xnx21nxo21).)1((2)1(2)1(21211322nnnxoxxx高等数学●戴本忠32例2.sin2阶麦克劳林公式的求nxy解xy2sin,22cos1x)()!2()1(!6!4!21cos22642nnnxonxxxxxxy2sin21211!2)2(2x!4)2(4x)!2()2()1(2nxnn)(2xRn).()!2(2)1(312212142nnnnxoxnxx高等数学●戴本忠33四、泰勒公式的应用1.在近似计算中的应用误差1!)1()(nnxnMxRM为)()1(xfn在包含0,x的某区间上的上界.需