第3章随机过程.

通信原理PrinciplesofCommunications课件整理：王怀兴QQ：76944908Email：[e-mail]：18971025983第3章随机过程通信过程中的信号与噪声都有一定的随机性，需要用随机过程(rondomprocess)来描述。本章主要学习随机过程的分布及数字特征，随机过程的统计特性，随机过程通过线性系统。本章内容随机过程的分布与数字特征平稳、高斯、窄带随机过程的统计特性随机过程通过线性系统正弦波加窄带高斯噪声的统计特性高斯白噪声和带限白噪声3.1随机过程的基本概念(Thebasicconceptsoftherandomprocess)第3章随机过程1随机过程的定义(Definition)例：n台示波器同时观测并记录噪声源的输出噪声波形，每一台输出记为i(t)。(t)={1(t),2(t),…,n(t)}称为随机过程。1(t)2(t)3(t)4(t)5(t)6(t)随机过程是所有样本函数i(t)的集合；i(t)是随机过程的一次实现，是确定的时间函数;随机过程任意时刻的值是一个是随机变量；是时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。3.1随机过程的基本概念(Thebasicconceptsoftherandomprocess)第3章随机过程2随机过程的分布函数(Distributionfunction)一维分布函数：])([),(11111xtPtxF一维概率密度函数：1111111),(),(xtxFtxf221121212)(,)(),,;,(xtxtPttxxF2121212221212),;,(),;,(xxttxxFttxxfnnnnnxtxtxtPtttxxxF)(,,)(,)(),,;,,,(22112121n21n21n21nnn21n21nx)tx()tx(xxttxxFttxxf，，，；，，，，，，；，，，二维分布函数：二维概率密度函数：n维分布函数：n维概率密度函数：3.1随机过程的基本概念(Thebasicconceptsoftherandomprocess)第3章随机过程3随机过程的数字特征(Numeralcharacteristic)※均值(Average)或者数学期望(Mathematicexpectation)dxtxxftEdxtxfxtE),()(),()(1111111或(t)的均值是时间的确定函数，常记作a(t)，它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心。上式中，由于t1是任取的，所以可以把t1直接写为t，x1改为x。a(t)3.1随机过程的基本概念(Thebasicconceptsoftherandomprocess)第3章随机过程3随机过程的数字特征(Numeralcharacteristic)※方差(Variance)2)]()([)]([tatEtD)()]([)(2)]([2222222tatξEtatξEtatξEtatξtatξEtξD212)]([),(tadxtxfx常记为2(t)，此处把任意时刻t1直接写成了t。所以，方差等于均方值与均值平方之差，它表示随机过程在时刻t对于均值a(t)的偏离程度。均方值均值平方3.1随机过程的基本概念(Thebasicconceptsoftherandomprocess)第3章随机过程3随机过程的数字特征(Numeralcharacteristic)※相关函数(correlationfunction)2121212212121),;,()]()([),(dxdxttxxfxxttEttR(t1)和(t2)分别是t1和t2时刻观测到的随机变量。可见，R(t1,t2)是两个变量t1和t2的确定函数。※协方差函数(covariancefunction)21212122211221121),;,()]()][([])()()][()([),(dxdxttxxftaxtaxtattatEttBa(t1)和a(t2)分别是在t1和t2时刻得到的(t)的均值f2(x1,x2;t1,t2)为(t)的二维概率密度函数。3.1随机过程的基本概念(Thebasicconceptsoftherandomprocess)第3章随机过程3随机过程的数字特征(Numeralcharacteristic)※相关函数与协方差函数的关系2121212221121),;,()]()][([),(dxdxttxxftaxtaxttB212121212212121),;,()]()()()([dxdxttxxftaxtaxtataxx)()(2)()(),;,(2121212121221tatatatadxdxttxxfxx)()(),(2121tatattR※互相关函数)]()([),(2121ttEttR(t)和(t)为两个随机过程，R(t1,t2)也称自相关函数。3.2平稳随机过程(stationaryrandomprocess)第3章随机过程1平稳随机过程的定义若随机过程(t)的统计特性与时间起点无关，则称该随机过程是严平稳随机过程。若(t)平稳则有：),,,,,,(),,,,,,(21212121nnnnnntttxxxftttxxxf；；);,(),;,(21221212xxfttxxfadxxfxtE1111)()()();,()]()([),(21212211121RdxdxxxfxxttEttR)(),(11111xftxf一维分布函数与时间t无关二维分布函数只与时间间隔=t2–t1有关(1)其均值与t无关，为常数a(2)自相关函数只与有关满足(1)和(2)为广义平稳在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。因此，研究平稳随机过程有着很大的实际意义。3.2平稳随机过程(stationaryrandomprocess)第3章随机过程2各态历经性(Ergodicity)随机过程(t)的数字特征(均值与相关函数)是对(t)所有样本函数的统计平均，但实际很难获得。各态历经含义：各态历经性随机过程任一实现都经历了随机过程所有可能状态，其数字特征完全可由随机过程中的任一实现的时间平均值来代替。各态历经随机过程一定是平稳过程，反之不一定。)()()(1lim)()()()(1lim)(2/2/2/2/RdttxtxTtxtxRadttxTtxaTTTTTT平稳过程的统计平均等于它任一次实现的时间平均，则为随机过程具有各态历经性。通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。3.2平稳随机过程(stationaryrandomprocess)第3章随机过程2各态历经性(Ergodicity)【例3-1】随机相位正弦波，A和c为常数，在(0,2π)均匀分布，(t)具有各态历经性？)cos()(tAtc解：(1)先求(t)的统计平均值：)]cos([)]([)(tAEtEtac※数学期望※自相关函数)]cos()cos([)]()([),(212121tAtAEttEttRcc]}2)(cos[)({cos212122ttttEAcc20122122122)(cos221]2)(cos[2)(cos2ttAdttAttAccc]sinsincos[costtAEcc0][sinsin][coscostEAtEAcc3.2平稳随机过程(stationaryrandomprocess)第3章随机过程2各态历经性(Ergodicity)【例3-1】随机相位正弦波，A和c为常数，在(0,2π)均匀分布，(t)具有各态历经性？)cos()(tAtc可见，(t)的数学期望为常数，自相关函数只与时间差有关，所以为广义平稳随机过程。(2)求(t)的时间平均值220)cos(1limTTcTdttATa22])(cos[)cos(1lim)(TTccTdttAtATRcAcos22因此，随机相位余弦波是各态历经的。cARRaacos2)()(023.2平稳随机过程(stationaryrandomprocess)第3章随机过程3平稳过程的自相关函数(self-correlationfunction)212122111);,()]()([)(dxdxxxfxxttER平稳过程自相关函数的性质)]([)0()1(2tER—(t)的平均功率)()()2(RR—的偶函数)0()()3(RR—R()的上界是R(0)22a)]([)()4(tER—(t)的直流功率2是方差，表示平稳过程(t)的交流功率。22)]([)]([)]([)]()([lim)(limatEtEtEttER2)()0()5(RR--当均值为0时，有R(0)=23.2平稳随机过程(stationaryrandomprocess)第3章随机过程3平稳过程的功率谱密度(powerspectraldensity)对任意确定功率信号f(t)的功率谱密度定义为TfFmilfPTTf2)()(FT(f)是f(t)的截短函数fT(t)的频谱函数，如图：把f(t)当作是(t)的一个样本，过程的功率谱密度应看作是对所有样本的功率谱的统计平均，即：TfFEmilfPEfPTTf2)()()(3.2平稳随机过程(stationaryrandomprocess)第3章随机过程3平稳过程的功率谱密度(powerspectraldensity)※功率谱密度的计算平稳随机过程自相关函数与其功率谱密度是一对傅里叶变换，称为维纳-辛钦关系(Wiener-Khinchine)。dePRdeRPjj)(21)()()()()(fPRdffPtER)()]([)0(2(1)过程平均功率(2)各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度。)()()()()(R)()(fPfPRRandfPandfPRff(3)功率谱密度P(f)具有非负性和实偶性，即0)(fP)()(fPfP3.2平稳随机过程(stationaryrandomprocess)第3章随机过程3平稳过程的功率谱密度(powerspectraldensity)※功率谱密度的计算cARcos2)(2)()(PR)]()([2)(2ccAP2)(21)0(2AdPRS[例3-2]求随机相位余弦波(t)=Acos(ct+)的自相关函数和功率谱密度。解：[例3-1]已求出(t)为平稳过程，相关函数为相关函数与功率谱密度是一对傅里叶变换，即有3.3高斯随机过程(Gaussianrandomprocess)第3章随机过程1定义如果随机过程(t)的任意n维（n=1,2,...）分布均服从正态分布，则称它为正态过程或高斯过程。n维正态概率密度函数表示式为：22])([)],([kkkkkatEtEanjnkkkkjjjjknnnn