第4章傅里叶变换

第4章傅里叶变换本章介绍连续时间傅里叶变换。上一章我们讨论了周期信号的傅里叶分析，然而，我们要处理的信号中，还有相当大一部分信号是非周期信号。有必要考虑非周期信号的傅里叶分析。4.1非周期信号的傅里叶分析首先，我们从周期信号的傅里叶级数入手，然后，让周期信号的周期趋向于无穷大，从而研究其频谱的变化。抽样函数或者称为采样函数：xxxSasin)(通过罗必塔法则，可以得到1)0(Sa抽样函数右边的第一个过零点在x)()(xSaxSa偶函数0)(Sa1xx/14.1.2傅里叶变换对于任意的连续信号（可能是周期的也可能是非周期的，也可能在负无穷大到正无穷大时间段都不为零）0)(,20txTt2/0T2/0T周期延拓rrTtxtx)()(~02/0T2/0Tktjkkeatx0)(~00)(~10TtjkkdtetxTa2/2/0000)(1TTtjkdtetxTdtetxTtjk0)(10dtetxjXtj)()(定义一个连续函数)(100jkXTakktjkejkXTtx0)(1)(~0000/2TktjkejkXtx000)(21)(~0T00)()(~txtxtjejX)(00ktjkejkX0)(0000)(tjkejkX面积ktjkejkX000)(dejXtj)(00dejXtxtj)(21)(傅里叶反变换一种分解dtetxjXtj)()(傅里叶正变换傅里叶变换频谱)()(jXtxF)()(1txjXF例题4.2求的频谱。)()(ttx解dtetxjXtj)()(dtettj)(1)(0dtetj单位冲激信号的频谱是常数1，或者说，在所有的频率点上，频谱的值都是恒定的。这个例子的物理含义非常广泛，它意味着，尖脉冲信号的频谱非常宽，会对处于不同接收频率的电子设备产生干扰。在生活中我们有这样的体验，当我们开灯的时候，电视和收音机的都受到了不同的干扰。我们知道收音机和电视机的接收频段是不一样的，这说明开灯的时候，电流的突变激发了一个尖脉冲的磁场，而这个磁场又激发了电场，形成一个尖脉冲的电磁波，这个尖脉冲电磁波的频谱是很宽的，它同时干扰了电视和收音机。电机干扰、大电流设备的开机所产生的电磁干扰……..等等都有这种因素。)(tx1T1Tt11{10)(TtTttx例题4.3解：dtetxjXtj)()(11TTtjdte11TTtjje)(111TjTjeej方波信号的频谱是一个抽样函数1sin2T)(211TSaT)(jXWWjX10{)(例题4.4求傅里叶反变换解：dejXtxtj)(21)(WWtjde21WWtjjte21tjWtj2sin2tWtsin)(WtSaWWW)(tx/www4.2周期信号的傅里叶变换本小节主要研究周期信号的傅里叶变换。上一节的讨论并没有限定信号为非周期信号，周期信号当然也可以有傅里叶变换（注意，不是傅里叶级数）。显然，周期信号是不满足傅里叶变换的收敛条件的，然而，鉴于周期信号的特殊地位，我们不得不考虑周期信号的傅里叶变换。)(2)(?0jXFdetxtj)(221)(0tje0)(200Ftjedetxtj0)(221)(0kkFktjkkkaeatx)(2)(00)(tx)(jXkkkajX)(2)(0周期信号的傅里叶变换可以表示为：周期信号的傅里叶变换是不收敛的，因此，它的频谱也很特别，是冲激函数。周期信号的傅里叶级数和傅里叶变换是不一样的。傅里叶级数是由一系列的频谱系数组成，这些频谱系数可以看成一个离散序列，而周期信号的傅里叶变换虽然是冲激函数串，但却是一个连续函数（这里的连续是离散的反义词，与数学分析里面的连续不是一个概念。）值得注意的是，冲激信号是连续时间信号的特例，并非离散信号。例题4.5求周期方波的频谱解：ktjkkeatx0)(kTkak10sin1010)(sin2)(kkkTkjX0k0102TTa0k)(4)(sin2011010TTkkTkk)(jX例题4.6求正弦波的频谱解：jeettxtjtj2sin)(000ja211ja211－－)()()(00jjjX2cos)(000tjtjeettx211a211－a)()()(00jX本例的结论在信号调制理论中有着广泛的应用例题4.7求一个冲激串的频谱kkTttx)()(tT解：TdtetTaTTtjkk1)(12/2/0kkTjX)(2)(0T20…………)(jXT/2…………4.3傅里叶变换的性质在讨论了傅里叶变换的定义以后，我们来研究一下傅里叶变换的性质。这些性质对于加深对傅里叶变换的理解有着重要的作用。)()(1txjXF)()(jXtxF)}({)(1jXFtx)}({)(txFjX4.3.1线性如果，)()(11jXtxF)()(22jXtxF)()()()(2121jbXjaXtbxtaxF也就是说，两个信号的线性组合的频谱，等于这两个信号的频谱的线性组合。4.3.2时移性质dtetxjXtj)()()(0ttxdtettxtj)(0'''0)(dteetxtjtj0'ttt'''0)(dtetxetjtj)(0jXetj)()(00jXettxtjF从极坐标形式看)(|)(|)(jXjejXjX))((00|)(|)(tjXjFejXttx反映的是频率分量的大小，信号产生时移后，它不会变化相位产生一个线性的变化4.3.3共轭及共轭对称性dtetxtj)(**))((dtetxtj)(*jX)()(*jXtxFdtetxjXtj)()()(*tx实信号)()(*jXjX)()(*txtx)}(Im{)}(Re{)(jXjjXjX实信号的情况1、直角坐标)}(Im{)}(Re{)(*jXjjXjX)}(Im{)}(Re{)(jXjjXjX偶函数奇函数2、极坐标)(|)(|)(jXjejXjX)(|)(|)(jXjejXjX)(|)(|)(jXjejXjX偶函数奇函数对傅里叶反变换公式两边求导dejXtxtj)(21)(4.3.4微分性质dejjXtxdtdtj)(21)()()(jXjtxdtdF))(21()(dejXdtdtxdtdtj4.3.5时频尺度性质我们来考察信号的尺度变换)(atx的频谱dteatxatxFtj)()}({)(||1ajXa00)(1)(1)(1)(1{'aaajXadtetxaajXadtetxaatttajtaj时域里面的一个尺度变化对应于频域里面的一个相反的尺度变化)(||1)(ajXaatxF时域里面的“窄”，对应于频域里面的“宽”。)(jX)(tx)(atx)/(ajX高频成分1a)()(jXtxF分析实信号为偶函数或者奇函数的情况实偶信号)()(txtx)()()(*jXjXjX实偶信号的频谱也是实偶的实奇信号)()(txtx)()()(*jXjXjX实奇信号的频谱是纯虚的、奇的一般实信号)()()(txtxtxoe)}(Re{)(jXtxFe)}(Im{)(jXjtxFo也就是说，实数信号的偶部的频谱等于该实数信号的频谱的实部，实数信号的奇部的频谱等于该实数信号的频谱的虚部。)(jX)(X解析式上的相似性写成4.3.6对偶性质(Duality)dejXtxtj)(21)(dtetxjXtj)()()()(ftgFdtetgftj)()(dtetgftj)(21)(21degtftj)(221)(dtetgtj)(21dtetgftj)(221)()(2)(gtfF例题4.9求212t的傅里叶变换。解：根据例题4.2，我们有，2||12Fte利用对偶性||2212etF)()(XddtjtxF)()(00XtxeFtjdXtxjttxF)()(1)()0(利用对偶性来进一步分析和推导傅里叶变换的性质。（1）下面将微分性质与对偶性结合，可得，（2）下面将时移性质与对偶性结合，（3）下面将积分性质与对偶性结合，)()(XtxF)(2)(xtXF)(2)(xjtXdtdF|)()(XddtjtxF)()(XddtjtxF再利用尺度性质，可得，可以证明，对于能量有限信号djXdttx22|)(|21|)(|4.3.7帕斯瓦尔（Parseval）定理信号在时域里面的能量信号在频域里面的能量能谱密度对于周期信号，那么上面公式的左边将为无穷大。我们有帕斯瓦尔定律的另一种形式kkTadttxT220|||)(|10下面分析两个信号的卷积的频谱。)(*)()(thtxty4.4卷积性质dtetytyFjYtj)()}({)(dtedthxtj])()([dtdethxtj)()(ddtethxtj])()[(dtdethxtj)()()(jHejdjHexj)()(dexjHj)()()()(jXjH两个信号的卷积的频谱等于这两个信号的频谱的乘积)()()()(jXjHthtxF)(tx)(th)(*)()(thtxtydteththFjHtj)()}({)()()(jXjH)(jH)(jX可以将频率响应理解为由频率来决定系统的响应，或者说不同的频率产生不同的响应。由此可见，在频域里面，LTI系统的输出信号的频谱等于其输入信号频谱乘以该系统的频率响应。显然，乘法比卷积更加容易实现，因此，LTI系统的分析将更加地简单。频率响应卷积性质是频率滤波器的理论基础。对于一个滤波器)(jH可以认为是滤波器系统对于输入信号的不同频率分量的放大倍数。下面是高通、低通、带通滤波器的性质，)(jX],[00在这里，我们进一步来理解频谱我们将一个信号除以外的频率分量“滤掉”)(tx)(0tx带通滤波器的含义。)(0tx002|)(|21djX20|)(|jX)(tx02|)(|jX的能量就等于可以说，表示了信号在从这个意义上来说，与随机变量的概率密度函数的含义类似。处的能量密度。从频域的观点来看，)(jH也可以看成是对LTI系统的刻画和描述。)(