第4章刚体力学.

第4章刚体力学4-1刚体的定轴转动如果物体在运动时没有形变或其形变可以忽略，我们就能抽象出一个有形状而无形变的物理模型，这模型叫做刚体。如果一个物体中任意的两个质点之间的距离在运动中都始终保持不变，则我们称之为刚体。刚体刚体是一个理想模型,是一种较为特殊的刚性质点系.一刚体的平动与转动风力发电转动的叶片刚体的运动形式：平动、转动.平动：若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体内任意两点间的连线(参考线)总是平行于它们的初始位置间的连线.在平动过程中刚体上每个质点的位移、速度和加速度相同。刚体平动可以使用质点模型，我们可以用前面质点力学中的知识去分析和处理它们。转动：刚体中所有的点都绕同一直线(转轴)做圆周运动.定轴转动(转轴位置和方向都不变)刚体绕定轴转动的特点(1)所有质点都绕转轴做圆周运动；(2)所有质点在给定时间内都转过相同的角度，都有相同的角速度、角加速度.(角量相同)(3)各点对转轴的位置不同，速度、加速度、位移不相同.(线量不同)非定轴转动(转轴位置或方向变化)转动是否是定轴的，取决于参照系的选择。刚体的一般运动质心的平动绕质心的转动+质心:质量中心简称质心，指物质系统上被认为质量集中于此的一个假想点。)()(ttt角位移P’(t+dt)z.OωxP(t).d0dlimdttt大小：角速度矢量参考线参考平面1角速度和角加速度r00顺沿时针方向转沿时针方向转逆()t角坐标二刚体绕定轴转动的角速度和角加速度刚体定轴转动（一维转动）的转动方向可以用角速度的正负来表示.00zz物体的转动是有方向的(逆时针、顺时针)方向：右手螺旋来描角述物体转度矢量速动的方向角加速度210021dlimlimdtttttt1122   tt刚体绕定轴转动,在时刻,其角速度为；在时刻,其角速度为；2121,.  ttt在时间间隔角速度的增量为角加速度(矢量)•角加速度大于零，刚体做加速转动；•角加速度小于零，刚体做减速转动；11,t22,t2匀变速转动公式当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做匀变速转动.ddt常数0ddtt积分21002,dddtttdt积分22002()刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比刚体绕定轴作匀变速转动质点匀变速直线运动at0vv22100attxxv)(20202xxavvt0)(2020222100tt3角量与线量的关系tevrrtev2tndarrdtartana2tnareretddtt22dddda角速度大小角加速度大小OO’20srad6π30π50t例1一飞轮半径为0.2m、转速为150r·min-1，因受制动而均匀减速，经30s停止转动.试求:（1）角加速度；解（1）,sradπ510.0t=30s时，设.飞轮做匀减速运动00时，t=0s10sradπ4)66ππ5(t2tsm105.0)6π(2.0ra222nsm6.31)π4(2.0ra（2）制动开始后t=6s时飞轮的角速度；（3）t=6s时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度.解:m2.0,sradπ510r已知：.求：2sm5.2π42.0rv解:例2在高速旋转的微型电机里,有一圆柱形转子可绕垂直其横截面并通过中心的转轴旋转.开始起动时,角速度为零.起动后其转速随时间变化关系为：,式中.求：(1)t=6s时电动机的转速．(2)起动后,电动机在t=6s时间内转过的圈数.(3)角加速度随时间变化的规律．)1(/tme　，s0.2r/s540m(2)解:(1)将t=6s代入得r/s513950mω.ω6060/d)1(π21dπ21tetNtm(3)22//sradπ540ddttmeet344（角加速度指数衰减）animate(plot,[[subs(Wm=540,tau=2,Wm*(1-exp(-t/tau)))],t=0..T,labels=[t,'w(r/s)'],thickness=3],T=0..10,frames=50);转速(r/s)随时间变化关系图animate(plot,[[subs(Wm=540*2*Pi,tau=2,Wm/tau*exp(-t/tau))],t=0..T,labels=[t,'w(rad/s^2)'],thickness=3,color=blue],T=0..10,frames=50);角加速度(rad/s2)随时间变化关系图Maple软件问：力是改变物体运动状态的唯一原因，下列两种情况有何不同？是否存在矛盾？0,0iiMF圆盘静止不动0,0iiMF圆盘绕圆心转动FFFF合外力为零，物体还是运动。合力不足以准确描述外界对物体的影响。力的三要素：大小、方向、作用点.4-2力矩转动定律转动惯量作用点---力矩力矩可以反映力的作用点的位置对物体运动的影响.Pz*O   sinzFMFrFd对转轴的力矩大小的MFrd一力矩M  .?   PPFOPzr刚体绕轴转动，力作用在刚体上点点转动平面内，为由点到力的作用点的位矢在，   FMrFz对转力矩轴的  rF180小于的角右手拇指伸直，其余四指弯曲，弯曲方向是由通过到的方向，此时拇指所指的方向就是力矩位矢力的方向。方向：由右手螺旋法则确定力矩是矢量:d力臂，转轴到力线的垂直距离矢量的矢积（叉乘）两矢量的矢积的结果得到一新的矢量。定义式：ABCsinCAB大小：方向：由右手螺旋决定。即右手的四指从第一个矢量(通过小于180。角)转向第二个矢量，则右手的大拇指所指的方向即为新矢量的方向。矢量矢积不满足交换律！矢量矢积除不满足交换律，还有如下性质：(1)//00ABAB当时，；(2)/2ABAB当时，；的数值最大。之间的矢积。：计算例kji,,1xyzijk解：见右图，由矢积定义，有：0kkjjiijikikjkji;;jkiijkkij;;上述关系简记为右图（顺时针取正，逆时针取负）。zOkFr讨论FFFzFrkMzsinzrFMzFF1）若力不在转动平面内，可把力分解为平行于和垂直于转轴方向的两个分量F2）合力矩等于各分力矩的矢量和321MMMM其中对转轴的力矩为零，故力对转轴的力矩zF3）刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消jiijMMjririjijFjiFdOijMjiM结论：刚体内各质点间的作用力对转轴的合内力矩为零.0ijMMz二转动定律()ititFma切向力：2()iiiMmrt()iiiitiititiFMrFrFmar切向力对转轴的力矩大小irOitFtiar22)()(iiiiirmrmMMitirFiirm是质量元到转轴的垂直距离im转动惯量2iiJmr转动定律MJimz质量元受到的切向力矩(对轴)质量m反映质点的平动惯性,转动惯量J反映刚体的转动惯性.刚体定轴转动的角加速度和它所受的合外力矩成正比，和刚体的转动惯量成反比.转动定律JM2iirmJMFJma~~~与牛顿第二运动定律F=ma比较质量不连续分布质量连续分布转动惯量的三个要素:(1)总质量(2)质量分布(3)转轴的位置r0im转动惯量的计算课堂练习质点系如图，每个质点质量均为m，分布在正方形平面的顶点，求：（1）对O轴的转动惯量JO（2）对O’轴的转动惯量JOˊ（3）对z轴的转动惯量，z轴垂直穿过平面中心222(1)2oJmamama22222(2)22oJmamama222(3)422zJmamaazOOmmmm2iiiJmr不连续质量分布dmdldmdsdmdV质量为线分布质量为面分布质量为体分布线分布面分布体分布：质量元md质量连续分布时刚体的转动惯量mrrmJjjjd22mL线密度：mS面密度：mV体密度：例1计算质量为m，长为l的细棒绕一端的转动惯量。oz解:mdmdxdxl20213lmJxdxlmldxdmxOml线密度为，则质量元为(1)J与刚体的总质量有关粗细相同且等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量谁大谁小？m铁m木，形状大小相同的刚体质量大的转动惯量大例2一质量为、半径为的均匀圆环，求通过圆环中心O并与环面垂直的轴的转动惯量.mR   dldmdmdl解：设圆环的线密度为，在环上取一长为的质量元，则 2mR2222200RRJRdlRdlmR22dJRdmRdl质量元对轴的转动惯量整个圆环对轴的转动惯量OROR403π2dπ2RrrJRrdr例3一质量为、半径为的均匀圆盘，求通过盘中心O并与盘面垂直的轴的转动惯量.mR解设圆盘面密度为，在盘上取半径为，宽为的圆环rrd2πmR而rrmdπ2d圆环质量221mRJ所以rrmrJdπ2dd32圆环对轴的转动惯量(2)J与质量分布有关例2圆环绕中心轴旋转的转动惯量例3圆盘绕中心轴旋转的转动惯量dlOmROmrdrR总质量相同的刚体，质量分布离轴越远转动惯量越大lO´Ordr设棒的线密度为，取一距离转轴OO´为处的质量元rrmddrrmrJddd22例4一质量为m、长为l的均匀细长棒，与棒垂直的轴的位置不同(绕中心C、绕端点A)，转动惯量的变化.rd2l2lO´O2201d3lAJrrml转轴过端点垂直于棒/222/21d12lClJrrml转轴过中心垂直于棒(3)J与转轴的位置有关CA竿子长些还是短些较安全？飞轮的质量为什么大都分布于外轮边缘？解：1）分析受力例1如图,有一半径为R质量为的匀质圆盘,可绕通过盘心O垂直盘面的水平轴转动.转轴与圆盘之间的摩擦略去不计.圆盘上绕有轻而细的绳索,绳的一端固定在圆盘上,另一端系质量为m的物体.试求物体下落时的加速度、绳中的张力和圆盘的角加速度.mRommyRo'TmPTm2）选取坐标注意：转动和平动的坐标取向要一致.)'2(2mmmgay)'2/('mmmgmT])'2[(2RmmmgRommyRo'TmPTm3）列方程（用文字式）ymaTmg牛顿第二定律（物体）JRT刚体的定轴转动定律（圆盘）2'2mRJ转动惯量先文字计算求解，后代入数据求值.Ray约束条件TT例3一长为质量为匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链O相接，并可绕其转动.由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O转动.试计算细杆转动到与竖直线成角时的角加速度和角速度.lm解细杆受重力和铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得NFsin2lmgJml2loPNF式中231mlJddddddddtt得sin23lg由角加速度的定义dsin23dlg代入初始条件积分得)cos1(3lgJmglsin21ml2loPNF力矩的时间累积效应冲量矩、角动量、角动量定理.ipji