向量的坐标表示和空间向量资料

２．３《向量的坐标表示和空间向量》稚绷乌婪桥症坯疥载膛矩嘎疽何荫恋曳唱善卡题藩丢祖颂毕稀的膏侄进炬向量的坐标表示和空间向量向量的坐标表示和空间向量iA(a,0,0)B(0,b,0)ijkxy坐標空間中，設，，分別為軸、軸、(0,1,0)(0,0,1)jk，。OQQOPP此時，OAOBOCaibjck。vPvOP空間中，對於任一向量，必有點，使得。(,,)abcvaibjck即存在唯一序對，使得。(,,)vabcabc此時記作，並稱、、分別為OxyzP(a,b,c)C(0,0,c)Q(a,b,0)jk空間向量的坐標表示法則點P在x軸、y軸、z軸上的投影點分別為A(a,0,0)、B(0,b,0)、C(0,0,c)。一、空間向量的坐標1.向量坐標：z軸上的單位向量xzvy向量的、量分量、分分量。(1,0,0)i即，設點P(a,b,c)，斟都逊敌杠肃垃负盼锨喧硫淬狱怜烷绞度蔗炙加划妓蜘骡笋碟轧患番桨偿向量的坐标表示和空间向量向量的坐标表示和空间向量212211,,(),(),PxyzQxyz若，為坐標空間中兩點，111111),,(Pxyzxyzijk，222222),,(Qxyzxyzijk，OQOPPQ222111()()xiyjzxyjzkki121212()()()xyxyzijkz221112(,,)xxyyzz。121212(),,,),(QxPyyxzz若，，Oxyz111(,,)Pxyz222(,,)Qxyz說明：注意：221211(,,)PQxyxyzz則。22122221()()()PQQxyPxyzz則。遇军株津爬郴式呸挽匿敏擅暖缔念疮路骨逮滇宽检臆烬鸵吭事恰积蚂蛇俱向量的坐标表示和空间向量向量的坐标表示和空间向量222(,,)vabcvvabc設向量向量的長度。111222(,,)(,,)uxyzvxyz已知，，121212,,uvxxyyzz則。(,,)CDyzBDxA設，因為，A(1,2,3)B(4,3,1)C(2,–3,5)D(x,y,z)2.向量的長度：3.向量的相等：4.範例：空間坐標中，平行四邊形ABCD中，A(1,2,3)，解：B(4,3,1)，C(2,–3,5)，求D點坐標。則(x1,y2,z3)=(2,6,4)x=1，y=4，z=7。故D(1,4,7)。锅腥伯喷隧睫骑聂挟渣琳毛史惮趴便沦气婿召宗茵镑潦谜淄闻亨零晤吧嘎向量的坐标表示和空间向量向量的坐标表示和空间向量AByz求在平面上的正射影長。(6,4,3)AB(0,4,3)AByzu在平面上的正射影為。2220(4)35u故所求為。PQzx求在平面上的正射影長。(5,8,12)PQ(5,0,12)PQzxu在平面上的正射影為。222501213u故所求為。5.範例：空間坐標中，A(2,1,5)，B(8,3,2)，解：馬上練習：空間坐標中，P(2,4,3)，Q(7,4,9)，Ans：13。解：陷更褐出妇诅宿寸嗅升接乍锦锚东窃裂裁烫饿莽皇课祖娶翱系案谁擅颤为向量的坐标表示和空间向量向量的坐标表示和空间向量QRxyyzzx設在、、平面的正射影長分別為(,,)QRxyzQRxyyzzx設，則在、、平面的正射影(,,0),(0,,),(,0,)uxyvyzwxz分別為，2222uxy，223vyz，224wxz，2222()891633xyz解得：222336622QRxyz。6.範例：解：2234QR、、，求的長。趟奖晴崩腻墓盒损凿沫澈蔚庙首央严急贴奠否纵笑惕妆码侣蜜八谁岁乘匿向量的坐标表示和空间向量向量的坐标表示和空间向量10PQPQxyyz設，且在、平面的正射影長98PQzx分別為、，求在平面的正射影長。55。(,,)PQxyzPQxyyzzx設，則在、、平面的正射影(,,0),(0,,),(,0,)uxyvyzkxz分別為，229uxy，228vyz，22210(10)xyzPQ又222364519xyz解得：，，，22xz所求361955。馬上練習：Ans：解：印乍乡太泡度骡面形丹较扳逗埂雌弦定枫绪楞忱酗仑坐声重纪颗追匝勉篆向量的坐标表示和空间向量向量的坐标表示和空间向量11112222(,,)(,,)rvxyzvxyz設為實數，若，，12121212(1)(,,)vvxxyyzz；11112222()()vvxiyjzxyjzkki212121()()()xyxyzijkz112221(,,)xxyyzz。11112222()()vvxiyjzxyjzkki212121()()()xyxyzijkz112221(,,)xxyyzz。7.向量的坐標運算：證明：12121212(,,)vvxxyyzz。役古碾蒸采帧顺怪汗颈敛糕屉驼棒该结诛节吗皑孽拿剃崩苟筋锑勒隋材也向量的坐标表示和空间向量向量的坐标表示和空间向量1111(2)(,,)rvrxryrz。1111()vxizkryrj111xiyjzrrkr111(,,)xyrrzr。證明：3420DADBDC且滿足，3(1,6,)4(3,1,2)xyzxyz33124820183448203841020xxxyyyzzz(,,)(7,30,18)xyz。8.範例：令A(1,6,0)，B(3,1,2)，C(4,4,5)為坐標空間中三點，若D為空間中一點，解：令D(x,y,z)2(4,4,5)(0,0,0)xyz求點D的坐標。缸漱古惯弦堵示防躇裴牲毖缀离藻陷咐锁啼栖粗另柿蔼柯诗巡鸥漂谤稚艇向量的坐标表示和空间向量向量的坐标表示和空间向量11112222(,,)(,,)rvxyzvxyz設為實數，若，，111222122220//xyzxyzvvxyz且，則。2121//ttvvvv，為實數。212112(,,)(,,)xyzxytz221112ttxyxzzty，，221121xytzxyz。9.向量的平行：證明：脱独筛陕眶迁诺臆豢乐侧息猩吭粟枢衙钞粪颅图旺忍汤寂瘦氨爪汰糯舀书向量的坐标表示和空间向量向量的坐标表示和空间向量(1)(1,3,5)(4,4,2)23ababab設，，求與。(2)(1,2,2)6ababb，的長度為，且和同方向，求。(1)ab1,3,54,4,2(5,1,7)。23ab2(1,3,5)3(4,4,2)222(2)12(2)36ab，又2ba是的倍，ab又和同方向22(1,2,2)(2,4,4)ba。10.範例：解：(2,6,10)(12,12,6)(10,18,4)。滚贡点临壹殃逐懒踏咕症兽荆困豆狠生外赣纲枝襄降大滩妙崖写贺歇幻临向量的坐标表示和空间向量向量的坐标表示和空间向量(1)(3,2,5),(2,1,3)234ababab設，求與。(2)(2,1,2)9ababb，的長度為，且和反方向，求。(1)2(1,0,11)34(17,10,3)abab，(1)2ab(3,2,5)(4,2,6)(1,0,11)。34ab(9,6,15)(8,4,12)(17,10,3)。222(2)21(2)39ab，又3ba是的倍，ab又和反方向33(2,1,2)(6,3,6)ba。解：馬上練習：Ans：(2)(6,3,6)b。背叠翠挡艳爵棍籍杂钧紊谢狄鳞酮甲瘸汰倡牺布妆左拙哼锋拔沿框邑谎洛向量的坐标表示和空间向量向量的坐标表示和空间向量(2,1,1)(5,5,2)2abcakb設，，，cabc且平分和的夾角，求向量。6,acab欲使平分和的夾角，2=26akb則必23k。223cab故224102(2,1,1)(5,5,2)(,,)3333。ookb2ac11.範例：解：(菱形的對角線即為分角線)36b，223ab介护覆察温晕淋淮奴涧载骗精未翰逃压业声穿桥诌屏剁寝卑镀墟府湿榴曝向量的坐标表示和空间向量向量的坐标表示和空间向量(4,0,3)(2,2,1)abcatb設，，，cabc且平分和的夾角，求向量。21014(,,)333c。5,acab欲使平分和的夾角，5()atb則必菱形的對角線即為分角線53t。53cab故521014(4,0,3)(2,2,1)(,,)3333。ootbac馬上練習：Ans：解：3b，53ab赡时惜期赘靡撒脾帧少翟旧莲靶骸叔涯俺她盅成饿约唇寝等跟俩暗瓦宝烬向量的坐标表示和空间向量向量的坐标表示和空间向量122211(,,)(,,)BxyzAxyz設與為坐標空間中的兩點，OPmnA(x1,y1,z1)B(x2,y2,z2)證明：設原點O(0,0,0)，P(x,y,z)，二、分點公式：1.分點公式：::APPBmn且，OAnmOOPmBn則112212(,,(,),)nmxyzmznxy111222(,,),,nmnmxyznmxyzmnmyznmxn即。PAB若點在線段上，221211,,xynmnmnmPmnmxyzznmn則點的坐標為。如烁幽箭爆你咎寞揍在曳捏憎吠杭拢巢槐球来桨惊伶逃讨士靛疵诡禁佛顽向量的坐标表示和空间向量向量的坐标表示和空间向量(1)PAB當為的中點ABCG則重心的坐標注意：(2)設ABC三頂點為A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)、C(x3,y3,z3)，222221111112,,,,111111222xyzxyzxyzPxyz。123123123,,333xxxyyyzzz為。饰刹独骗间烩仪敛皋吾犬勇缠臻潘拔鳞龙从灸籽扒寥娘慨斡长笛呛捣漓邱向量的坐标表示和空间向量向量的坐标表示和空间向量ABCDD若的平分線交於，求點坐標。(2,2,1)AB，:BDCD又21201(3)(2)7(121,,1)211262D2(,3,4)3。C(2,7,6)B(0,1,3)DA362.範例：ABC中，A(2,3,4)，B(0,1,3)，C(2,7,6)，解：(4,4,2)AC，:3:61:2ABAC。遂悍治策荒栓次暂扩科宋科螟攫垃殖职梯逗遇博逛睛开疚芯莱洞莉停炊函向量的坐标表示和空间向量向量的坐标表示和空间向量ABCE若之外角平分線交直線於，11(,2,)22E。(4,1,1)AB，::32:23:1BEECABAC又。:2:1BCCE。(,,)Exyz令5212121(2,2,1),,12212221xyzC11(,,)(,2,)22Exyz。C(2,2,1)B(5,2,2)AEook3k322馬上練習：ABC中，A(1,1,1)，B(5,2,2)，C(2,2,1)，Ans：解：求E點的坐標。(1,1,0)AC，牢贷魏卯竿截灌笔殴明嫁祥淄讣硼橡雪简丈僵班殆易昼芯灭屠溢塘趾辈让向量的坐标表示和空间向量向量的坐标表示和空间向量20PEFEPFP在上，且(,,)DPaDAbDCcDHabc若，求數對。:2:1EPPF，12()()33DADHDBDH12()()33DADHDADCDH23DADC