生物信息学数学模型

生物信息学第八章数学模型毛理凯2本课目录一．概述二．差分方程三．微分方程四．应用五．E-Cell3一、概述4数学模型的例子(米氏方程)酶促反应机制根据稳态/定态(steadystate)假设和反应动力学推导出米氏方程][][maxSKSVvm0d][dtES][])[]([d][d1SESEktES][][d][d32ESkESktES5为什么要使用数学模型？通常利用数学模型来作为所关心的系统工作原理的假设1.通过模拟(simulation)的结果可以证明假设是否正确理解生命现象的机制2.正确的模型可以进一步预测生命系统的其他未知特性预言试验结果,指导实验设计,减少实验成本3.善于在短时间内完成复杂的实验,甚至某些当前实验条件尚无法达到的6定义、构成元素数学模型(mathematicalmodel)是用数学语言来描述一个系统的抽象模型例如一个群体增长模型这个数学语言通常是包含一些方程这些方程(equation)用来建立一些变量之间的关系这些变量(variable)通常代表了系统的某些属性(property)如某群体的大小7构成元素关系系统属性关系/规律数学模型变量方程8参数模型还包括参数(parameter)参数通常是常数,用于描述系统的某个相对不变的属性如某群体的生殖率(以群体大小为变量)参数在模型中相对于变量为从属地位一个属性是变量还是参数没有明显界限,由具体问题的性质决定如果以生殖率为研究对象(变量),那么生殖率就不是参数,而是变量9数学模型的分类(1)1.静态的(static)和动态的(dynamic)区别在于是否考虑时间动态模型常由差分方程或微分方程来表示2.确定性的(deterministic)和随机性的(stochastic)看是否唯一参数决定唯一结果注意:确定性模型可能产生貌似随机的结果,如混沌(chaos)10数学模型的分类(2)3.(时间)离散的(discrete)和连续的(continuous)如差分方程(离散)和微分方程(连续)4.线性(linear)和非线性的(nonlinear)y=ax+b(线性)y=ax2+bx+c(非线性)对于方程组来说,只有全部方程都是线性的,该模型才是线性模型11数学模型的分类(3)5.集总/中(lumped)参数和分布(distributed)参数模型看参数是(集总)否(分布)均一分布分布参数模型常用偏微分方程表示12一个离散模型的具体例子生命游戏(lifegame)属于细胞自动机(cellularautomaton)的一种给定某初始条件和繁衍条件根据这些条件,观察群体的演化定态,周期解,混沌…演示…13二、差分方程(differenceequation)14例:逻辑斯蒂映射(logisticmap)方程Xn+1=rXn(1-Xn)Xn是变量,范围[0,1],代表某群体中第n代的个体数(已归一化)r是参数,表示增长率如果知道前一项Xn,我们就可以推出后一项Xn+1所以差分方程也叫递归(recursion)15解差分方程要解这个差分方程,或者说进行模拟(runasimulation),需要知道参数值(parametervalues)、(变量)初值(initialvalues)令r=1.0X0=0.5这样可以通过迭代(iteration)来求解差分方程16不同参数的效果(1)r=1,X0=0.500.10.20.30.40.50.6r=1.5,X0=0.500.10.20.30.40.50.6r=2.5,X0=0.500.10.20.30.40.50.60.7r=3.3,X0=0.500.10.20.30.40.50.60.70.80.9周期一周期一周期二17不同参数的效果(2)r=3.5,X0=0.500.10.20.30.40.50.60.70.80.911357911131517192123252729r=3.9,X0=0.500.20.40.60.811.2混沌(Chaos)周期四…18迭代对于本例(参数r=1.0)X0=0.5X1=0.25X2=0.1875X3=0.152344X4=0.129135X5=0.112459X6=0.099812…用Excel操作、三维演示…19换个方式演示迭代过程用笔和尺20r=3.9,X0=0.5,X0'=0.500100.20.40.60.811.2混沌的初值敏感性(sensitivitytoinitialconditions)21分岔图(bifurcationdiagram)就是横轴为参数、纵轴为变量的图,显示整个系统随参数的变化22丰富多彩的分岔图–前分岔、后分岔后分岔(r0)前分岔(r0)23丰富多彩的分岔图–自相似前分岔局部放大程序、动画演示…24丰富多彩的分岔图–三维前后分岔、r为复数25三、微分方程(differentialequation)26(微分基础)微分/导数就是速度从导数的定义开始xyxyddΔx0导数表示在x的某一点的切线的斜率,也就是变化率变化率就是速度27两种主要的微分方程1.常微分方程(ordinarydifferentialequation)u是x的函数(都是变量)该方程的解为u(x)=cc为任意常数28两种主要的微分方程2.偏微分方程(partialdifferentialequation)u是x,y的函数该方程暗示u独立于x所以该方程的解为u(x,y)=f(y)f是y的任意函数29(生态学例子)群体增长模型(1)方程x是变量,代表某群体的个体数,即该群体大小,对时间t求导m是参数,表示增长率求导表示上变量对下变量变化的速度,所以这里的求导代表某群体大小的变化速度mxtxdd30群体增长模型(2)这样上述方程就表示某群体的增长速度跟现有的群体大小成正比(这意味着指数增长！)该方程其实就是著名的马尔萨斯人口方程,m是马尔萨斯参数(Malthusianparameter)31群体增长模型(3)该方程的(解析)解(analyticsolution)是0500000100000015000002000000250000030000003500000m=1,x0=1mtexx032xyztzxzyxtyyxtx38dd28dd1010dd(混沌例子)Lorenz奇怪吸引子微分方程也可以产生混沌！而且更漂亮！例如Lorenz奇怪吸引子(strangeattrator)33微分方程的数值解这个方程不易得出解析解需转化成差分方程并借助计算机求得数值解(numericalsolution)欧拉折线法(Eulermethod)dy/dx=f(x,y)(yn+1-yn)/h=f(xn,yn)yn+1=yn+hf(xn,yn)转化成了差分方程用Excel也可以解（演示…）!34用软件Euler解Lorenz方程Euler免费Matlab克隆几乎可做常见的任何数学操作,甚至可以符号运算!~2M!Homepage演示…35(例子)Logistic映射的微分形式(单物种增长)[差分]Xn+1=rXn(1-Xn)[微分]dX/dt=rX(1-X/K)X:群体大小(变量)t:时间r:增值率(参数)K:群体大小极限(参数)该方程比Malthus模型更接近现实,考虑了资源限制36单物种增长模型的解变量初值X0=1参数值(变化)r=1(1…10)K=10000(1000…10000)Euler演示解的演化、解受参数的影响不再指数增长(资源限制K起作用了!)还不如差分方程的解丰富只有定态解(steadystates,fixedpoints,equilibria)37定态解及其稳定性令方程右边rX(1-X/K)=0,即可得定态解X1=0,X2=K求这些定态解的稳定性(stability)对方程右边求导[rX(1-X/K)]’=r-2rX/K将定态解代入r-2rX1/K=r0X1不稳定不可见r-2rX2/K=-r0X2稳定可见38丰富多彩的混沌分形学39DynamicsSolver免费数学运算、作图软件特别擅长于非线性动力学、混沌、分形~7M软件自带混沌示例bifurcation.ds(Logistic)circle.ds,Crutchfield.ds,tent.ds(不同的分岔图)Henon4.ds(初值敏感)Henon1.ds,baker.ds,Lozi.ds,Julia.ds,Mandelbrot.ds,Newton.ds,vonKoch.ds,snowflake.ds,tree.ds(自相似,丰富的细节,分形)40四、应用41应用广泛(仅生命科学方面的部分列举)生态学捕食-被捕食模型酶动力学(生化)米氏方程神经系统细胞代谢系统信号转导系统传染病群体遗传学42群体遗传学–模拟突变研究对象/假设代与代不重叠,随机交配,群体无限大1个位点,2个等位基因(A1,A2),pn和qn=1-pn是它们在第n代时的基因频率A1变异为A2的突变率是u,A2变异为A1的突变率是v设一代中一个等位基因只能变异一次A1A2upnvqn43这样下一代的A1为pn+1=(1-u)pn+v(1-pn)这个差分方程的解为这里p0是开始时(第0代)A1的频率通常u,v很小(10-6或10-5的量级)当n∞,pnv/(u+v),qnu/(u+v)达到平衡(实际很难达到)突变方程及其解nnvuvuvpvuvp)1)((044predator-prey模型Malthus和Logistic模型是单物种模型predator-prey模型是一类双物种模型Predator:捕食者Prey:被捕食者45Lotka-Volterra模型Lotka-Volterra模型是最早的predator-prey模型[美]生物物理学家AlfredLotka(1925)[意]数学家VitoVolterra(1926)基于一阶非线性常微分方程yxyxytyxyxyxtx)(dd)(dd捕食者被捕食者Euler数值解演示…46定态解求定态解1.-αx-βxy=02.-δxy-γy=0得1.{x=y=0}(定态解1)2.{x=α/β,y=γ/δ}(定态解2)47定态解的稳定性用偏导数线性化方程右端得Jacobianmatrix该矩阵的本征值(eigenvalue)是λ1=α0,λ2=-γ0(定态解1)该定态解是鞍点(saddlepoint,不稳定)λ1=i√αγ0,λ2=-i√αγ0(定态解2)该定态解是焦点(focus,稳定周期)xyxyyxJ),(48五、E-Cell49E-Cell简介功能:在分子水平上全细胞模拟免费/GnuGeneralPublicLicense(GPL)、开源跨平台(Linux,Windows,Mac)程序架构:前端/界面python,核心C++支持各类数学模型,参数估计,分析,便于自动化E-Cell3D(forMac)演示…50考试不定项选择题30(15)是非题30(15)名词解释题20(5)综合分析题20(2)51完