第六章II设计要点

一、教学目的和要求掌握利用模拟低通滤波器设计数字滤波器的基本原理，掌握频率变换法设计高通、带通、带阻滤波器的方法。理解冲激响应不变法和双线性变换法的基本原理，掌握IIR数字滤波器的设计基本方法。教学重点：模拟滤波器的设计（巴特沃思和切贝雪夫低通滤波器）；用冲激响应不变法设计IIR数字滤波器，用双线性变换法设计IIR数字滤波器。教学难点：用冲激响应不变法设计IIR数字滤波器，用双线性变换法设计IIR数字滤波器。二、学习要点IIR数字滤波器的设计方法关于滤波器的设计原理与具体的设计方法，对IIR数字滤波器的几种设计方法及设计步骤作简要归纳并指出学习要点，并通过例题及习题与上机题解答说明各种设计方法的具体设计过程及相关设计公式，以便读者能有条理地解答滤波器设计题目，设计实际应用滤波器。为了使初学者对IIR数字滤波器设计方法有一个整体概念，先抛开繁杂的设计过程和设计公式，用图归纳IIR数字滤波器的一般设计方法。由于AF设计手册中给出了各种典型AF归一化低通原型的设计公式和图表及系统函数G(p)，因此设计AF很方便。所以对需要设计的实际AF（低通、高通、带通和带阻AF)，首先将其指标参数转换成相应的归一化(λp=1)低通指标参数，将设计各种实际AF转化为设计归一化低通AF；最后将设计好的归一化低通G(p)转换成实际滤波器H(s)。为此，下面归纳四种实际AF系统函数H(s)与其相应的归一化低通AF系统函数G(p)的相互转换关系，如图所示。图中总结出了图中第（2）步和第（4）步所涉及的所有转换关系和转换公式。图中的系统函数及变量符号的含义如下：G(p)——低通AF系统函数；p=η+jλ——G（p）的拉氏复变量；G(jλ)——低通AF频响函数；λ——G(λ)的频率变量；H(s)——需要设计的“实际AF”系统函数；s=σ+jΩ——拉氏复变量；Ω——模拟角频率（rad/s）；H(jΩ)——实际AF的频响函数。由图很容易看出各种实际AF指标参数的符号和含义，以及向箭头方向转换的有关公式。由于四种实际H(jΩ)向G(jλ)转换的公式较多，所以图中用①、②、③和④表示，它们分别代表以下四组频率变换公式为了简化计算，一般取λp=1，这时的G(p)称为归一化低通滤波器，λ为归一化频率。当然，也可以根据需要，对于其他频率（如λs或λc）进行归一化。根据教材中模拟滤波器的设计原理知道，设计巴特沃斯滤波器时，对于3dB截止频率λc进行归一化最方便。三、习题（一）、判断：1、数字滤波器的功能是滤除不需要的频率成分。（√）2、各种数字滤波器的幅频特性曲线跟它对应的模拟滤波器的幅频特性曲线是一样的。（Χ）3、数字域频率的单位和模拟域是一样的，都是Hz。（Χ）4、巴特沃斯滤波器的特点是幅频特性单调下降。（√）5、切比雪夫滤波器的特点是幅频特性单调下降。（Χ）6、巴特沃斯滤波器的特点是通带或阻带有波纹。（Χ）7、椭圆滤波器的特点是幅频特性单调下降。（Χ）（二）、选择1、模拟信号数字化处理中，在A/DC前所加预滤波器的目的是（B）：A.滤除低频信号B.滤除高频信号C.滤除中频信号D.以上都不是2、通带阻带均有波纹的滤波器是（D）滤波器：A.巴特沃斯B.切比雪夫Ⅰ型C.切比雪夫Ⅱ型D.椭圆3、下列数字滤波器中属于现代滤波器的是（D）：A.低通B.高通C.带通D.维纳4、数字低通滤波器的频响特性函数以（C）为周期：A.4B.3C.2D.5、过渡带是指（D）：A.低通滤波器的通带B.高通滤波器的阻带C.带通滤波器的阻带D.任意滤波器通带和阻带间的频带6、模拟信号数字化处理中，在A/DC后所加的平滑滤波器是（A）滤波器：A.低通B.高通C.带通D.带阻7、通带阻带均单调下降的滤波器是（A）滤波器：A.巴特沃斯B.切比雪夫Ⅰ型C.切比雪夫Ⅱ型D.椭圆8、模拟信号数字化处理中，在D/AC后所加平滑滤波器的目的是（B）：A.滤除低频信号B.滤除高频信号C.滤除带限信号D.以上都不是9、以下给出的数字频率，频率最低的是（A）：A.2B.C.2/D.4/10、用脉冲相应不变法设计的数字滤波器可能在（B）处存在频谱混叠：A.2B.C.2/D.4/11、脉冲响应不变法不适合设计的滤波器是（A）：A.高通B.低通C.带通D.以上都对12、脉冲响应不变法适合设计的滤波器是（B）：A.高通B.低通C.带阻D.以上都对13、脉冲响应不变法设计滤波器的主要特点是（A）：A.频率变换关系是线性的B.频率变换关系是非线性的C.不会产生频谱混叠D.时域逼近特性差14、双线性变换法设计滤波器的主要特点是（B）：A.频率变换关系是线性的B.频率变换关系是非线性的C.会产生频谱混叠D.时域逼近特性好（三）、设计题1、已知模拟滤波器通带截止频率5kHzfp，通带最大衰减2dBp，阻带截止频率12kHzfs，阻带最小衰减30dBs，依据这些指标设计巴特沃斯低通滤波器。（已知：归一化低通原型滤波器系统函数为：,bpbpb......pbpbp1)p(G01222N2N1N1NNa）其中1N10b,......b,b均为常数）。解：（1）确定阶数N：3223.41110110kps1.01.0sp，4.2f2f2pssp，25.44.lg23223.lg41lglgkNspsp，取N=5。（2）根据条件可得：012233445abpbpbpbpbp1)p(G（3）3dB截止频率：s/2755krad.52)110(2N1p1.0pc（4）将)p(Ga去归一化：将c/sp代入)p(Ga得所设计滤波器的系统函数：a542332454c3c2c1c0c1H(s)sbsbsbsbsb****2、用脉冲响应不变法设计一低通DF，要求幅频特性单调下降。其中3dB截止频率rad3cp，阻带截止频率rad54s，阻带最小衰减15dBs，采样频率30kHzfs。（已知N=1，2，3时，巴特沃斯归一化低通原型滤波器系统函数分别为：12p2pp1)p(G,1p2p1)p(G,1p1)p(G232）解：（1）确定DF指标参数：15dB,rad54,3dB,rad3sspcp（2）将DF指标转换为响应的AF指标：根据T，p3pp301010000rad/s,3dBT3psf3ssp4301024000rad/s,15dBT5psf（3）计算相应的AF系统函数)s(HaA、计算阶数：选择巴特沃斯原型滤波器，4.2f2f2pssp，5463.5110110kps1.01.0sp，9569.14.lg2lg5.5436lglgkNspsp，取N=2B、由已知：1p2p1)p(G2C、频率变换：sp282pap222482pp10H(s)G(p)|s2ss102s10（4）将(s)Ha转换为H(z)：21--12274z.00.7040z-10.4265zH(z)3、用双线性变换法设计一低通DF，要求幅频特性单调下降。其中3dB截止频率rad3cp，阻带截止频率rad54s，阻带最小衰减15dBs，采样频率30kHzfs。（已知N=1，2，3时，巴特沃斯归一化低通原型滤波器系统函数分别为：12p2pp1)p(G,1p2p1)p(G,1p1)p(G232）解：（1）确定DF指标参数：15dB,rad54,3dB,rad3sspcp（2）将DF指标转换为响应的AF指标：根据2tanT2得3dB,s/rad104641.36tan1062tanT2p44pp15dB,s/rad10466.1852tan1062tanT2s44ss（3）计算相应的AF系统函数)s(Ha：A．5463.5110110kps1.01.0sp，3276.5464.3466.18f2f2pssp024.1lg5.3276lg5.5436lglgkNspsp，取N=1B．由已知：1p1)p(GC．频率变换：44pppa103.4641s103.4641s|)p(G(s)Hps（4）将(s)Ha转换为H(z)：1--1)0.268z-1z0.366(1H(z)4、设计一个巴特沃斯低通滤波器，要求通带截止频率6kHzfp，通带最大衰减3dBp，阻带截止频率12kHzfs，阻带最小衰减25dBs，求出滤波器归一化系统函数)p(G以及实际滤波器的)s(Ha。（已知N=3，4，5时，巴特沃斯归一化低通原型滤波器系统函数分别为：（1613p.2414p.3613p.2p1)p(G,12p2pp1)p(G234231236p.3236p.5236p.5236p.3p1)p(G23445解：（1）确定阶数N：794.17110110kps1.01.0sp，2f2f2pssp，15.4lg2lg17.794lglgkNspsp，取N=5。（2）根据条件可得：1236p.3236p.5236p.5236p.3p1)p(G2345（3）将)p(G去归一化：将c/sp代入)p(G得所设计滤波器的系统函数：5c4c3c22c3c455c236s.3236s.5236s.5236s.3s)s(H5、设计一个巴特沃斯高通滤波器，要求通带截止频率20kHzfp，通带最大衰减3dBp，阻带截止频率10kHzfs，阻带最小衰减15dBs，求出滤波器的系统函数)s(Ha。（已知N=1，2，3时，巴特沃斯归一化低通原型滤波器系统函数分别为：12p2pp1)p(G,1p2p1)p(G,1p1)p(G232）解：（1）确定高通滤波器的指标：20kHzfp，3dBp，10kHzfs，15dBs（2）求相应的归一化低通滤波器指标：根据spsp/,1得：15dB,2/,3dB,1sspspp（3）设计相应的归一化低通：18.0110110kps1.01.0sp，2pssp47.2lg2lg0.18lglgkNspsp，取N=3，由已知得：12p2pp1)p(G23（4）频率变换：3c2c2c34pas2s2s103.4641|)p(G(s)Hsc6、设计低通DF，要求通带内频率低于rad0.2时，容许幅度误差在1dB之内，频率在0.3到之间的阻带衰减大于10dB。试采用巴特沃斯型模拟滤波器进行设计，用脉冲响应不变法进行转换，采样间隔T=1ms。（已知N=3，4，5时，巴特沃斯归一化低通原型滤波器系统函数分别为：（1613p.2414p.3613p.2p1)p(G,12p2pp1)p(G234231236p.3236p.5236p.5236p.3p1)p(G23445）解：（1）确定DF指标参数：10dB,3rad.0,1dB,rad2.0sspp（2）将DF指标转换为响应的AF指标：根据T，1dB,s/rad200102.0Tp3pp10dB,s/rad300103.0Tp3ss（3）计算相应的AF系统函数)s(HaA、计算阶数：选择巴特沃斯原型滤波器，5.1sp，1696.0110110kps1.01.0sp，376.4lg1.5lg0.1696lglgkNspsp，取N=5B、由已知：1236p.3236p.5236p.5236