第六章万有引力定律

８７第六章万有引力定律这一章主要学习牛顿万有引力定律，初步认识天体运行的动力学问题。它是第五章所学圆周运动在天体上的运用。在学习万有引力的基础上，应明确认识天体运行遵循与地面上物体相同的动力学规律，并能结合万有引力定律解决简单的天体运动问题。本章的重点内容是：牛顿的万有引力在天体上的运用以及人造地球卫星的发射及运行。第一宇宙速度的推导和理解。本章难点是：理解开普勒有关行星运动的三个定律；万有引力定律、牛顿第二定律以及匀速圆周运动知识的综合运用。第一节行星的运动【教学要求】1．了解地心说和日心说两种不同的观点。2．知道开普勒对行星运动的描述。【知识要点】一．开普勒行星运动定律1．开普勒第一定律（又叫轨道定律）：所有的行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动，太阳是在这些椭圆的一个焦点上。2．开普勒第二定律（又叫面积定律）：太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积。3．开普勒第三定律（又叫周期定律）：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。以T1、T2表示两个行星的公转周期，R1、R2表示两个行星椭圆轨道的半长轴，则周期定律可表示为k2332312221TRRRTT或，比值k是与行星无关而只与太阳有关的恒量。开普勒定律不仅适用于行星，也适用于卫星，只不过此时R3/T2=kˊ，比值kˊ是由行星的质量所决定的另一恒量。行星的轨道都跟圆近似，因此计算时可以认为行星是做匀速圆周运动。注意：开普勒定律是总结行星运动的观察结果而总结归纳出来的规律。它们每一条都是经验定律，都是从观察行星运动所取得的资料中总结出来的。开普勒定律只涉及运动学、几何学方面的内容。８８【基础训练】1．两颗行星的质量分别为m1、m2，它们绕太阳运转轨道的半长轴分别为R1、R2，如果m1=2m2，R1=2R2。那么，它们的运行周期之比T1:T2=___________。2．月球环绕地球运动的轨道半径约为地球半径的60倍，运行周期约为27d。试用开普勒定律计算出：在赤道平面内离地面多大高度，人造地球卫星可以随地球一起转动，就像停留在天空不动一样。（地球半径约为6.4×103km）3．开普勒认为，行星绕太阳转，但我们日常看到的却是太阳自地球东方升起，又落到西方。也就是说，我们看到的现象似乎是太阳绕地球转。怎样解释这种似乎矛盾的现象？第二节万有引力定律第三节引力常量的测定【教学要求】1．了解万有引力定律得出的思路和过程。2．理解万有引力定律的含义并会推导万有引力定律。3．了解卡文迪许实验装置及其原理。4．知道引力常量的意义及其数值。【知识要点】一．万有引力定律1．内容：自然界中的一切物体都是____________的。两个物体间的______的大小，跟它们的_____________成正比，跟它们的______________成反比。2．公式：__________________。式中G为______________，G＝________________。3．适用条件适用于相距很远，可以看作________的物体间的相互作用。质量分布均匀的球体也可以用此公式计算，其中r指球心间的距离。注意：（1）两个物体之间的相互吸引力是一对作用力和反作用力，总是大小相等，方向相反，遵守牛顿第三定律。８９（2）在地球表面的物体所受的重力近似地认为等于地球对物体的引力。可知mg＝GMm/R2，即GM＝GR2，这是一个常用的变换，我们把它称为黄金代换。（3）离地面越高，物体的重力加速度越小，它和高度的关系为gˊ/g=R2/(R＋h)2，R为地球半径，h是离地面的高度。【基础训练】1．既然任何物体间都存在着引力，为什么当两个人接近时他们不吸在一起？2．两艘轮船，质量分别为5.0×107kg和1.0×108kg，相距10km，求它们之间的引力。将这个力与它们所受的重力相比较，看看相差多少倍。3．在宇宙天体中，大麦哲伦云的质量为太阳质量的1010倍，即2.0×1040kg。小麦哲伦云的质量为太阳质量的109倍，即2.0×1039kg。两者相距6.6×1014光年（1光年＝9.5×1015m）。求两者之间的引力。4．一个质子由两个u夸克，一个d夸克组成。一个夸克的质量是7.1×10－30kg，求两个夸克相距1.0×10－16m时的相互引力（质子半径为1.0×10－15m）5．仅用引力常量G、地球半径R和重力加速度g，你能求出地球的质量吗？6．关于万有引力，下列说法中正确的是（）A．万有引力只有在天体与天体之间才能明显地表现出来B．一个苹果由于其质量很小，所以它受到的万有引力几乎可以忽略９０C．地球对人造卫星的万有引力大于卫星对地球的万有引力D．地球表面的大气层是因为万有引力的约束而存在于地球表面附近7．关于万有引力定律，下列说法中正确的是（）A．万有引力定律是牛顿发现的B．公式F=Gm1m2/r2中，G是一个比例常数C．万有引力定律适用于质点间的相互作用力D．两个质量分布均匀的球体之间的万有引力也可以用公式F=Gm1m2/r2来计算，其中r是两球体球心间的距离8．地球的半径为R，地球表面处物体所受的重力为mg，近似等于物体所受的万有引力。关于物体在下列位置所受万有引力大小的说法中，正确的是（）A．离地面高度R处为4mgB.离地面高度R处为mg/2C．离地面高度2R处为mg/9D.离地心R/2处为4mg9．两个行星的质量分别为m1和m2，绕太阳运行的轨道半径是r1和r2。如果它们只受到太阳万有引力的作用，那么，这两个行星的向心加速度之比为_______________。10．月球绕地球运转周期为T，轨道半径为r。由此可得，地球质量的表达式为_________。设地球的半径为R，则其平均密度的表达式为________________。11．火星的质量M火与地球的质量M地之比为p，火星的半径R火与地球的半径R地之比为q。那么，火星表面的重力加速度g火和地球表面的重力加速度g地之比为__________。第四节万有引力定律在天文学上的应用【教学要求】1．了解万有引力定律在天文学上有重要的应用。2．会用万有引力定律计算天体的质量。【知识要点】一．应用万有引力定律分析天体（人造卫星）的运动1．基本方法：把天体（或人造卫星）的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供。公式：GMm/r2＝mv2/r＝mω2r＝m·4π2·r/T2=m·4π2f2·r９１解决问题时可根据情况选择公式分析、计算。2．求天体的质量和密度的方法通过观察天体做匀速圆周运动的卫星的周期T、半径r，由万有引力等于向心力得：GMm/r2＝m·4π2·r/T2得天体质量M=4π2·r3/GT2（1）若天体的半径R，则天体的密度ρ＝M/V＝M/4πr3/3＝3πr3/GT2R3（2）若天体的卫星环绕天体表面运动，其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝3π/GT2二．发现未知天体海王星的发现是应用万有引力定律取得辉煌成就的例子。在18世纪，人们已经知道太阳系有7个行星，其中1781年发现的第七个行星――天王星的运动轨道，总是同根据万有引力定律计算出来的有一定得偏离。当时有人推测，在天王星轨道外面还有一个未发现的行星，它对天王星的作用引起了上述偏离。英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文爱好者勒维列根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出这颗行星地轨道。1846年9月23日晚，德国的加勒在勒维列预言地位置附近发现勒这颗新行星。后来，天文学家把这个行星叫做海王星。用同样的方法，在1930年3月14日，人们发现了太阳系的第9个行星――冥王星。海王星、冥王星的发现，显示了万有引力对研究天体运动的重要意义。【基础训练】1．已知在轨道上运转的某一人造地球卫星，周期为5.6×103s，轨道半径为6.8×103km。试估算地球的质量。2．海王星的质量是地球的17倍，它的半径是地球的4倍。绕海王星表面做圆周运动的宇宙飞船，其运行速度有多大？3．若已知行星绕太阳公转的半径为r，公转的周期为T，万有引力常量为９２G，则由此可求出（）A．某行星的质量B.太阳的质量C.某行星的密度D.太阳的密度4．两个行星的质量分别为m1和m2，绕太阳运行的轨道半径分别为r1和r2，若它们只受太阳万有引力作用，那么，这两个行星的向心加速度之比为（）A．1B.m2r1：m1r2C.m1r2：m2r1D.r22：r125．若地球绕太阳公转周期及公转半径分别为T和R，月球绕地球公转周期和公转轨道半径分别为t和r。则太阳质量与地球质量之比M日：M地为（）A．R3t2：r3T2B.R3T2：r3t2C.R3t2：r3T3D.R2T3：r2t36．一棵小行星绕太阳做匀速圆周运动的半径是地球公转半径的4倍，则这颗小行星运转的周期是（）A．4年B.6年C.8年D.8/9年7．银河系中有两棵行星环绕某恒星运转，从天文望远镜中观察到它们的运转周期之比为27:1，则它们的轨道半径之比为（）A．3:1B.9:1C.27:1D.1:98．已知地球半径为6.4×106m，又知月球绕地球的运动可近似看作匀速圆周运动，则可估算出月球到地心的距离约为_____________m。（结果只保留1位有效数字）9．已知月球的轨道半径为3.844×108m，公转周期为27.3d，试计算地球的质量。10．靠近地球表面做匀速圆周运动的人造地球卫星的周期约为5000s，求地球的平均密度。（G=6.67×10-11N·m2/kg2）11．天文观测指出，太阳在一个绕银河系中心的圆形轨道上运行，这个轨道的半径约为3万光年（2.7×1020m），绕行周期约为2亿年，太阳做这种运动所受的力是那些位于轨道内侧的大量星体的引力。（1）如果把这些星体看成集中在轨道的中心，那么这些星体的总质量为多少？９３（2）这些星体的总质量相当于多少太阳的质量？（太阳的质量约为2×1030kg）12．用火星把宇航员送到月球上，如果已知月球的半径，他用弹簧测力计和一个已知质量的砝码，能否测出月球的质量？应该怎样测定？13．某人造地球卫星离地面的高度为h，已知地球的半径为R、质量为M、地球表面的重力加速度为g、引力常数为G。（1）试分别用h、R、M、G表示卫星的周期T、线速度v和角速度ω。（2）试分别用h、R、g表示卫星的周期T、线速度v和角速度ω。第五节人造地球卫星宇宙速度【教学要求】1．了解人造卫星的有关知识。2．知道三个宇宙速度的含义，会推导第一宇宙速度。【知识要点】一．人造卫星1957年10月4日，前苏联发射了世界上第一颗人造地球卫星，从此，开创了人类航天时代的新纪元。我国在1970年4月20日发射了第一颗人造地球卫星，现在已成为世界上第五个依靠自己力量研制成火箭发射卫星、第三个掌握卫星回收技术、第四个用一枚火箭发射多颗卫星的国家。卫星主要有侦察卫星、通信卫星、导航卫星、气象卫星、地球资源勘测卫星、科学研究卫星、预警卫星和测地卫星等种类。二．三种宇宙速度1．第一宇宙速度（环绕速度）：v1＝7.9km/s，它是人造地球卫星的最小发射速度，也是地球卫星环绕地球运行的最大速度。推导方法一：卫星做圆周运动由万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律得：GMm/R2=mv2/R９４所以v1＝624111037.61089.51067.6RGM＝7.9×103m/s＝7.9km/s推导方法二：由于卫星在地球附近运行时，卫星做圆周运动的向心力可看成由重力mg提供，根据牛顿第二定律得mg＝mv2/R所以v1＝8.91037.66Rg＝7.9×103m＝7.9km/s注意：如果卫星的速度小于第一宇宙速度，卫星将落到地面而不能绕地球运转；等于这个速度卫星刚好能在地球表面附近作匀速圆周运动；如果大于7.9km/s，而小于11.2km/s，卫星将沿椭圆轨道绕地球运行，地心就成为椭圆轨道的一个焦点。2．第二宇宙速度（脱离速度）：v2＝11.2km/s，使卫星挣脱地球引力束缚的最小发射速度。当物体具有这一速度时，它将沿着抛物线的路径（相对于地球来说）飞行，一去不复返了。也就是说，物体已经完全摆脱地球引力的束