第六章不等式

新纪元广元外国语学校高三总复习第一轮学生用资料----------理科数学76学而不思则罔，思而不学则殆第六章不等式第一部分知识内部逻辑结构高考复习要求：1、理解不等式的性质及其证明；2、掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理并会简单的应用（不扩展到三个）；3、掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；4、掌握简单不等式的解法；5、理解不等式|a|−|b|≤|a±b|≤|a|+|b|；6、能够应用不等式的性质求最值，尤其重视不等式与函数、数列、解析几何的综合问题。第二部分重点知识过关第1单元不等式的基本性质一、基本知识梳理1、不等式的概念：用连结而成的式子叫做不等式；如果两个不等式的不等号则叫做同向不等式，否则叫做异向不等式。2、两个实数的大小比较：若a,b∈R，则a𝑏⇔；a𝑏⇔；a=b⇔。3、不等式的基本性质：（1）不等式的基本性质：性质1：a𝑏⇔（对称性）；性质2：a𝑏,𝑏𝑐⇒（传递性）；性质3：a𝑏⇔a+c𝑏+𝑐；性质4：a𝑏,𝑐0⇒ac𝑏𝑐；a𝑏,𝑐0⇒ac𝑏𝑐。（2）不等式的运算性质：性质5：a𝑏,𝑐𝑑⇒（加法法则）；性质6：a𝑏0,𝑐𝑑0⇒（乘法法则）；性质7：a𝑏0,𝑛∈N∗⇒（乘方法则）；性质8：a𝑏0,𝑛∈N∗⇒（开方法则）；4、常用的基本不等式：（1）a2≥0或(a±b)2≥0（a,b∈R）；（2）a2+b2≥2ab(a,b∈R,“=”⇔a=b)；（3）21a+1b≤√ab≤a+b2≤√a2+b22(a,b∈R+)，当且仅当时取等号；（4）ba+ab≥2(a,b同号且ab≠0)；a+1a≥2成立的条件是；当a∈时，a+1a≤−2。（5）||a|−|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，其中等号成立的条件是。二、对点检测1、设α满足−π2𝛼π2，则α−π2的范围是（）A、(−π,π)B、(−π,0)C、(−π2,0)D、(−π2,π2)2、设a,b为非零实数，若a𝑏，则下列不等式成立的是（）A、a2b2B、ab2a2bC、1ab21a2bD、baab3、已知M=(x2+1)2，N=x4+x2+1，其中x≠0，则（）A、M𝑁B、M=NC、M𝑁D、M≥N4、若1a1b0，则下列不等式○1a+b𝑎𝑏；○2|a||𝑏|；○3a𝑏；○4ba+ab2中，正确的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个5、如果a1，a2，⋯，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则（）A、a1a8a4a5B、a1a8a4a5C、a1+a8a4+a5D、a1a8=a4a56、设a,b,c,d∈R且a𝑏,𝑐𝑑，则下列结论中正确的是（）A、a+c𝑏+𝑑B、a−c𝑏−𝑑C、ac𝑏𝑑D、ad=bc7、已知0𝑥𝑦𝑎1，则有（）A、loga(xy)0B、0loga(xy)1C、1loga(xy)2D、loga(xy)2新纪元广元外国语学校高三总复习第一轮学生用资料----------理科数学学而不思则罔，思而不学则殆778、若a𝑏0，m0，则bab+ma+m；bab−ma−m。三、重点题型解析1、不等式的性质的变形：【例1】：已知三个不等式：○1ab0；○2cadb；○3bc𝑎𝑑。以其中两个作条件，余下一个作结论，则可组成的正确命题。【练习】：如果a𝑏0，则下列不等式：○11a1b；○2a3b3；○3lg(a2+1)𝑙𝑔(b2+1)；○42a2b。其中成立的是（）A、○1○2○3○4B、○1○2○3C、○1○2D、○3○4想一想：2、实数的大小比较：【例2】：（1）实数a、b、c、d满足下列三个条件：○1d𝑐；○2a+b=c+d；○3a+d𝑏+𝑐。试判断a、b、c、d的大小。（2）当0𝑎1时，(1−a)13与(1−a)12的大小关系是。（3）若a≠b，试比较a3+13ab2与5a2b+9b3的大小。【练习】：（1）已知a𝑏𝑐，则√(a−b)(b−c)与a−c2的大小关系是。（2）若a𝑏1，P=√lga∙lgb，Q=12(lga+lgb)，R=lga+b2，则P、Q、R的大小关系是。想一想：3、不等式性质的应用：【例3】：（1）已知二次函数y=f(x)的图象过原点，且1≤f(−1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(−2)的范围。（2）已知f(x)=x+1x，若ab0，试比较f(a)+f(b)2与f(a+b2)的大小。【练习】：（1）已知a,b,m,n∈R+，am+n+bm+n≥ambn+anbm。（2）若a≥1，试比较M=√a+1−√a和N=√a−√a−1的大小。想一想：四、学习效果评估1、对于0𝑎1，下列四个不等式中成立的是（）○1loga(1+a)loga(1+1a)，○2loga(1+a)loga(1+1a)，○3a1+aa1+1a，○4a1+aa1+1aA、○1○3B、○1○4C、○2○3D、○2○42、已知a、b、c满足c𝑏𝑎，且ac0，那么下列选项中不一定．．．成立的是（）A、ab𝑎𝑐B、c(b−a)0C、cb2𝑎b2D、ac(a−c)03、若a0𝑏，0𝑐𝑑，则下列不等式中不．成立的是（）A、ac𝑏𝑑B、adbcC、a+c𝑏+𝑑D、a−d𝑏−𝑐4、已知a,b,c∈R，那么下列命题正确的是（）A、a𝑏⇒ac2𝑏𝑐2B、acbc⇒a𝑏C、a3b3ab0}⇒1a1bD、a2𝑏2ab0}⇒1a1b5、若a2𝑥𝑎，M=logax2，N=loga(logax)，P=(logax)2，不等式的性质都熟悉了吗？能够利用性质进行变形了吗？实数的大小比较有哪些方法？基本原理是什么？不等式的基本性质有哪些应用？怎样应用？尤其是例3的第一小题要总结，想想还有什么方法。新纪元广元外国语学校高三总复习第一轮学生用资料----------理科数学78学而不思则罔，思而不学则殆则下列不等式成立的是（）A、M𝑁𝑃B、M𝑃𝑁C、P𝑀𝑁D、N𝑀𝑃6、1a+11是−1𝑎0的（）A、充分必要条件B、充分不必要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件7、已知f(x)=ax，g(x)=bx，当f(x1)=g(x2)=3时，x1x2，则a与b的大小关系不可能．．．成立的是（）A、b𝑎1B、a1𝑏0C、0𝑎𝑏1D、b1𝑎08、若a𝑏，c𝑑且a0，d0，则acbd。9、已知0𝑎12，A=1−a2，B=1+a2，C=11−a，D=11+a，则A、B、C、D的大小关系是。10、a4−b4与4a3(a−b)的大小关系是。11、已知5x+3y=2(x0,𝑦0)，则xy的最小值是。学习心得体会：第2单元不等式的证明一、基本知识梳理1、证明不等式的基础理论：（1）实数的大小比较；（2）常用的不等式（见前面）。2、证明不等式的基本方法：（1）比较法；（2）综合法；（3）分析法；（4）构造法；（5）数学归纳法；（6）换元法；（7）反证法；（8）判别式法。3、证明不等式的常用技巧：放缩的技巧。二、对点检测1、给出下列四个不等式：○1x2+32𝑥；○2a5+b5≥a3b2+a2b3；○3a2+b2≥2(a−b−1)；○4a+mb+mab(m0)。其中正确不等式的个数是（）A、1B、2C、3D、42、设a0，b0，则以下不等式中不恒成立．．．．的是（）A、(a+b)(1a+1b)≥4B、a3+b3≥2ab2C、a2+b2+2≥2a+2bD、√|a−b|≥√a−√b3、已知(a2+b2+c2)c2+a2b2=4，则ab+c2的最大值为（）A、1B、2C、3D、44、已知a𝑏𝑐，则使1a−b+1b−c+nc−a≥0成立的最大整数n为。三、重点题型解析1、用比较法证明不等式：【例1】：（1）求证：a2+b2+c2≥ab+bc+ca；【练习】：设a𝑏𝑐，求证：bc2+ca2+ab2b2c+c2a+a2b。想一想：2、用综合法和分析法证明不等式：【例2】：已知a,b∈(0,+∞)，a+b=1，求证：（1）(1+1a)(1+1b)≥9；（2）√a+12+√b+12≤2。【练习】：（1）若a0，b0，c0。求证：○1bca+acb+abc≥a+b+c；○2a2b+b2c+c2a≥a+b+c。（2）○1a，b，c∈R+且a+b+c=1，求证：(1−a)(1−b)(1−c)≥8abc○2已知a，b，c是不全相等的正数，且abc=1，求证：√a+√b+√c1a+1b+1c。想一想：比较法证明不等式的核心和步骤分别是什么？分析法与综合法证明不等式的逻辑依据是什么？新纪元广元外国语学校高三总复习第一轮学生用资料----------理科数学学而不思则罔，思而不学则殆793、构造法证明不等式：【例3】：（1）求证：|a|+|b|1+|a|+|b|≥|a+b|1+|a+b|；（2）已知x1，求证：x𝑙𝑛(1+𝑥)；（3）已知函数f(x)=lnx。○1求函数g(x)=f(x+1)−x的最大值；（2）当0𝑎𝑏时求证：f(b)−f(a)2a(b−a)a2+b2。（提示：可构造辅助函数：F(x)=(x2+a2)(lnx−lna)−2a(x−a)(x𝑎0)）（4）已知函数f(x)=1+ln(x+1)x(x0)。①函数f(x)在(0,+∞)上是增函数还是减函数？证明你的结论；②若x0时，f(x)kx+1恒成立，求整数k的最大值；③求证：(1+1×2)(1+2×3)(1+3×4)∙⋯∙[1+n(n+1)]e2n−3。【练习】：已知A，B，C是直线l上不同三点，O不在直线上，向量OA→，OB→，OC→满足：OA→−[f(x)+2f′(1)]OB→+ln(x+1)OC→=0→，其中f′(x)是f(x)的导函数。（1）求函数f(x)的解析式；（2）当x∈(0,1)时，证明：1x+1𝑓(x)−f(x−1)1x。想一想：4、用数学归纳法证明不等式：【例4】：已知数列{xn}满足：x1=12，xn+1=11+xn，n∈N∗。（1）猜想数列{xn}的单调性，并证明你的结论；（2）证明：|xn+1−xn|≤16(25)n−1。（陕西2009理22）【练习】：用数学归纳法证明：1+122+132+⋯+1n22−1n(n≥2)。构造法证明不等式的依据是什么？步骤如何？核心是什么？新纪元广元外国语学校高三总复习第一轮学生用资料----------理科数学80学而不思则罔，思而不学则殆【探索】：已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+⋯+b10=145。（1）求数列{bn}的通项公式；（2）设数列{an}的通项an=loga(1+1bn)(a0,𝑎≠1)，记Sn是数列{an}的前n项和，试比较Sn与13logabn+1的大小。想一想：5、关于放缩的技巧：【例8】：设a,b,c∈R+且a+b=c，求证：a23+b23c23。【练习】：设Sn=√1∙2+√2∙3+⋯+√n(n+1)，求证：n(n+1)2Sn(n+1)22。四、学习效果评估1、已知不等式(x+y)(1x+ay)≥9对任意正实数x,y恒成立，则正实数a的最小值为（）A、2B、4C、6D、82、设x0，y0，M=x+y2+x+y，N=x2+x+y2+y，则M，N的大小关系是（）A、M𝑁B、M𝑁C、M≥ND、M≤N3、已知a0，b0，且a+b2，则1+ba，1+ab中（）A、至多一个小于2B、至少一个小于2C、都小于2D、都大于24、设a,b,c是互不相等的正数，则下列不等式中不．恒成立的是（）A、|a−b|≤|a−c|+|b−c|B、a2+1a2≥a+1aC、|a−b|+1a−b≥2D、√a+3−√a+1