第六章二次型

教学基本要求：1.掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩的概念.2.了解合同变换和合同矩阵的概念.3.了解实二次型的标准形和规范形，掌握化二次型为标准形的方法.4.了解惯性定理.5.了解正定二次型、正定矩阵的概念及其判别方法.第六章二次型本章所研究的二次型是一类函数，因为它可以用矩阵表示，且与对称矩阵一一对应，所以就通过研究对称矩阵来研究二次型.研究包括：二次型是“什么形状”的函数？如何通过研究对称矩阵来研究二次型？二次型是“什么形状”的函数涉及二次型的分类.通过对称矩阵研究二次型的内容涉及矩阵的“合同变换”、二次型的“标准形”、通过正交变换化二次型为标准形、惯性定理和正定二次型等.第一节二次型的基本概念(P131)一、二次型的定义及其矩阵表示定义6.1n个变量x1,x2,…,xn的二次齐次函数f(x1,x2,…,xn)=a11x12+a22x22+…+annxn2+2a12x1x2+…+2a1nx1xn+…+…+2an-1nxn-1xn(6.1)称为一个n元二次型.当系数aij均为实数时，称为n元实二次型，否则称为n元复二次型.(P131定义6.1)以下仅考虑n元实二次型.如果设11121n112222n21n2nnnnaaaxaaaxA,xaaax，那么f(x1,x2,…,xn)=xTAx.(6.2)式(6.2)称为n元二次型的矩阵表示.例6.1(例6.1P132)注意到二次型f与对称矩阵A一一对应，故称A是二次型f的矩阵，f是对称矩阵A的二次型，且称A的秩R(A)为二次型f的秩.(定义6.2P132)由于二次型与对称矩阵是一一对应的，所以从某种意义上讲，研究二次型就是研究对称矩阵.定义6.2仅含平方项的二次型f(x1,x2,…,xn)=a11x12+a22x22+…+annxn2(6.3)称为标准形.系数a11,a22,…,ann仅取-1,0,1的标准形称为规范形.(定义6.3P132)标准形的矩阵是对角矩阵.二次型有下面的结论：定理6.1线性变换下，二次型仍变为二次型.可逆线性变换下，二次型的秩不变.(定理6.1P133)这是因为TTxCyBCACTTABCACC0R(A)R(B)fxAxfyBy.二、方阵的合同变换在可逆线性变换下，研究变换前后的二次型等同于研究它们矩阵的关系.定义6.3设A,B是同阶方阵，如果存在可逆矩阵C，使B=CTAC，则称A与B是合同的，或称矩阵B是A的合同矩阵.对A做运算CTAC称为对A进行合同变换，并称C是把A变为B的合同变换矩阵.(定义6.4P133)矩阵的合同关系具有反身性、对称性、传递性.注意：(1)合同的矩阵(必须是方阵)必等价，但等价的矩阵(不一定是方阵)不一定合同.(P134)A与B合同可逆矩阵C，B=CTACA与B等价可逆矩阵P,Q，B=PAQ(2)合同关系不一定是相似关系，相似关系不一定是合同关系，但相似的实对称矩阵一定是合同关系.(推论1P137)正交矩阵Q，Q-1AQ=QTAQ=BA与B既相似又合同合同变换的作用：对二次型施行可逆线性变换等价于对二次型的矩阵施行合同变换.xCyTTTTC0TC0fxAxyCACyyByACACB如果B是对角矩阵，则称f=yTBy是f=xTAx的标准形.习题(P147)一、4二、1-4三、7-8第二节用正交变换化二次型为标准形一、原理由第五章第三节知：对于实对称阵A，存在正交矩阵Q，使Q-1AQ为对角矩阵(对角线上的元素为A的n个特征值).因此，二次型f=xTAx经正交变换x=Qy就能化为标准形f=yT(QTAQ)y=yT(Q-1AQ)y.定理6.2任意实二次型都可经正交变换化为标准形，且标准形中的系数为二次型矩阵的全部特征值.(定理6.2P134)推论1任意实对称矩阵都与对角矩阵合同.(推论1P137)推论2任意实二次型都可经可逆线性变换化为规范形.(推论2P137)正交变换既是相似变换又是合同变换.相似变换保证矩阵有相同的特征值，化标准形则必须经合同变换.所以，正交变换是能把二次型化为“系数为特征值”的标准形的线性变换.二、用正交变换化二次型为标准形的步骤用正交变换化二次型f=xTAx为标准形的过程与将实对称阵A正交相似对角化的过程几乎一致.具体步骤如下：(1)求出A的全部互异特征值λ1,λ2…,λs；(2)求齐次线性方程组(λiE-A)x=ο(i=1,2,…,s)的基础解系(即求A的n个线性无关特征向量)；(3)将每一个基础解系分别正交化、规范化，得到n个正交规范的线性无关特征向量ε1,ε2,…,εn；(4)正交相似变换矩阵Q=(ε1,ε2,…,εn)，正交相似变换x=Qy把二次型f=xTAx变为标准形f=yT(QTAQ)y.例6.2(例6.2P134)例6.3(例6.3P135)**Q通常不唯一，标准形可能不同.习题(P148)一、2二、6-7三、29-111618第三节用配方法化二次型为标准形(P139)除了正交变换，事实上，还存在其它的可逆线性变换能把二次型化为标准形.举例说明如下.例6.4(例6.4P139)例6.5(例6.5P139)总结：用配方法化二次型为标准形的过程分两种情形：(1)二次型中含有平方项例如，若二次型中含有平方项a11x12，则把所有含x1的项集中起来配方，接下来考虑a22x22，并类似地配方，直到所有项都配成了平方和的形式为止.(2)二次型中不含平方项，只有混合项例如，若二次型中不含平方项，但有混合项2a12x1x2，则令112212iixyy,xyy,xy,i3,...,n.那么关于变量y1,y2,…,yn的二次型中就有了平方项，然后回到(1).习题(P148)二、2第四节正定二次型(P142)一、惯性定理虽然把二次型化为标准形的可逆线性变换不唯一，从而标准形也可能不唯一，但同一个二次型的所有标准形却总满足如下惯性定理.定理6.3(惯性定理)设实二次型f=xTAx的秩为r，且在不同的可逆线性变换x=Cy和x=Dy下的标准形分别为f=λ1y12+λ2y22+…+λryr2,λi≠0，f=μ1y12+μ2y22+…+μryr2,μi≠0，则λ1,λ2,…,λr与μ1,μ2,…,μr中正数的个数相同.(定理6.3P142)定义6.4二次型f的标准形中的正(负)系数的个数称为f的正(负)惯性指数.(定义6.5P143)惯性定理指出，可逆变换不改变惯性指数.推论n阶实对称阵A与B合同的充分必要条件是A与B有相同的正惯性指数和负惯性指数.(推论P143)正惯性指数+负惯性指数=R(A).正惯性指数=正特征值的个数，负惯性指数=负特征值的个数.二、二次型的分类二次型(/二次型的矩阵)的分类：(定义6.6-6.7P143)fffff/Af0,x0(AA0)/Af0,x0(AA0)/Af0,x0(AA0)/Af0,x0(AA0)/Ax0,f(x)0y0,f(y)0正定正定记作半正定半正定记作负定负定记作半负定半负定记作不定且根据惯性定理知，合同变换不改变实对称矩阵的类型.三、正定二次型(正定矩阵)的判定定理6.4n元实二次型f=xTAx为正定(负定)二次型的充分必要条件是f的正(负)惯性指数等于n.(定理6.4P143)定理6.5n元实二次型f=xTAx为半正定(半负定)二次型的充分必要条件是f的正(负)惯性指数小于n，且负(正)惯性指数为0.(推论1P143)推论2n阶实对称阵A正定(负定)的充分必要条件是A的n个特征值全是正数(负数)；A半正定(半负定)的充分必要条件是A的n个特征值为不全为正数(负数)的非负数(非正数).(推论2P143)例6.6(例6.6P143)例6.7(例6.7P144)例6.8(例6.8P144)例6.9(例6.9P144)定义6.4设A=(aij)n，则行列式11121k12222kkk1k2kkaaaaaaD(k1,2,,n)aaa称为A的k阶顺序主子式.(定义6.8P144)定理6.6n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的各阶顺序主子式都大于零；A负定的充分必要条件是A的所有顺序主子式中奇数阶的小于零而偶数阶的大于零.(定理6.5P144)例6.10(例6.10P145)习题(P148)一、1-3二、5三、3-612-151719第五节二次型应用实例[实例6-1]二次曲面图形的判定[实例6-2]多元函数极值的判定习题(P148)三、20