电法勘探第二章地电场.

严家斌地球科学与信息物理学院物探所[e-mail]13548942513地学楼215#第二章电阻率法基本理论P60基本要求：熟习掌握地中电流密度的性质及地中稳定电流场的边界条件；掌握点电源与偶极源电流场的分布特征；掌握视电阻率的概念及其微分表达式的意义；了解电阻率模拟方法各种岩、矿石均有不同程度的导电性能，若将直流电源的两端通过电极与大地相连，地下便建立起稳定的电流场，分布特征决定于地下具有不同电阻率的岩、矿石（体）的赋存状态，从各种不同的角度去观测电场的分布特性并了解地下介质的情况，为电阻率的基本任务，也是本章要分析讨论的内容。第一节地中稳定的电流场（1）地中稳定电流场的基本性质电流密度与电场的正比性EEjELULIIURSL欧姆定律的微分形式可以是张量也可是标量地中电流的连续性00divjndsjIndsjss电荷守恒定律稳定的电流场中任一点电流密度散度恒等于零稳定电流场的势场性00rotEdlEgradUEdlEULM势场是无旋场，任一回路中功恒为零。电流场在空间上的分布是稳定的不随时间而变，故与静电场一样是势场，即某点M的电位U等于正电荷从M移到无穷远电场所作的功。(一)库仑定律真空中两静止电荷的相互作用力的大小与电量的绝对值的乘积成正比,与距离的平方成反比;方向在两点荷的连线上,同号电荷相斥,异号相吸引.电场强度:单位实验电荷受的电场力:场的叠加原理静电场的旋度:在电场中实验电荷沿闭合回线所做的功静电场的散度:自内而外穿过任意封闭曲面的电场强度能量等于该曲面内部所包含的总电荷量的4π倍。（二）电荷守恒定律单位时间自内而外穿出任一封闭曲的电量等于该曲面所包围区域内电量的减少率。（1）电流密度:某点电流密度矢量的大小为单位时间内通过垂直于电荷运动方向的单位面积的电量，方向为正电荷运动的方向。（2）电荷守恒数学表示（三）稳定的电流场在稳定电流情况下，电荷分布不随时间而变，所以有：（1）欧姆定律:导电物质内的自由电荷作定向运动，形成的自由电流密度，称为传导电流密度（2稳定电流场的散度与旋度（2）地中稳定电流场的边界条件第一类边界条件（极限条件）RIUrUr2001第二类边界条件（地面条件）011nUjAn外有除供电点第三类边界条件（界面两侧ρ为有限值）12212211212211212111tgtgjjEEnUnUjjUUttttnn第二节均匀介质中的点电源电流场（1）稳定电流场的拉普拉斯方程求解简单地电条件下的位场分布时常用解析法，即根据边界条件解以下微分方程：拉普拉斯方程002UdivgradUEdivdivj不同坐标系中拉氏方程的形式直角坐标系（x,y,z）0222222zUyUxU圆柱坐标系（r,Φ,z）0112222222zUUrrUrrU球坐标系（r,θ,Φ）0sin1sinsin12222UUrUrr（2）一个点电流源的地中电流场均匀介质中问题具有球对称性，电位与方向角与极角无关，因此在球坐标系拉氏方程为：02RURR积分1CRCU极限条件得：C1=024RIj2111RCRUEj由电流密度得：RIUIC144（3）点电流源在地面若点电流源位于电阻率为的均匀半空间的表面，地中电流线有分布便以A为中心向周围辐射，电流密度应较无限介质中大一倍222ICRIjM点的电位及电场强度为：222RIERIU问题:在电导率分别为的两均匀导电物质各组成一个均匀半空间,其分界面为平面,在导电介质中距离分界面h处有一个电流源,电流强度为I.求任意点的电位.从全空间到半空间的推导:球面上任意点的电流密度为:球面上法向矢量方向的电场在介质1和介质2中的电位V1(x,y,z)和V2(x,y,z)满足拉氏方程及边界条件由于在同一水平面场对称所以应用柱坐标求解(分离变量法),1区z=h电位不等于零,因此电位表达式可以表示为:问题关键是计算参数,a和b,由韦伯-李普希兹公式:边界条件(3):由于上式对所有r成立,所以有:边界条件(4):(1)和(2)可得:注意到对于区域12h-z0,区域2也有z0,因此有:σ1σ2A（I）RhOP（r，z）B（kI）RRσ1σ1A（1+k）IRhOP（r，z）σ2σ2A（1-k）IRhOP（r，z）σ1σ2A（I）RhOP（r，z）B（kI）RRσ1σ1A（1+k）IRhOP（r，z）σ2σ2A（1-k）IRhOP（r，z）σ1σ2A（I）RhOP（r，z）B（kI）RRσ1σ1A（1+k）IRhOP（r，z）σ2σ2A（1-k）IRhOP（r，z）在地表（4）点电流源在地下当电流源A位于地下h深度时，地中电流分布不再呈辐射状。由于地表电流密度的法向分量应等于零，可用镜像法求解，即假设在地面以上也充满电阻率为ρ的介质，而在电源A与地面对称位置上设一虚电流源A’,且使二者电流相等，地中任一点的电位为'114RRIU当观测点位于地表时有R=R`，电位及沿X方向的电场和电流密度为：2/3222/32222221212hxxIjhxxIEhxIRIUxx电位曲线半极值点与拐点：23hxhxq电场强度曲线拐点hxx2302/3222/32222221212hxxIjhxxIEhxIRIUxx（5）地面两个异性点电流的地中电流场电场叠加原理BMAMIU112电极处电位高1/3~1/2变化缓AB中点为零电场在地下分布，AB中点垂面上电流密度变化2200001222LIRIjjjjABA深为H的点上，A，B电极形成的电流密度2/322cos2hLLIjjAhh注意应是分量不是总的电流密度222222LIELIELIULIUIIII注意此时的L是有方向的所以应有负号在深度H上的电场有：222hLIEI在深度H上沿L总电场：2/12222cos2hLLhLIEEIL重新导出上面的电场与电流密度在深度H上沿L总电流密度：2/322hLLIjL2/32011Lhjjh电流密度随L的变化特征L等于0或∞时jh均为零（从电场公式理解）022/32222LhLhILjhhLABhL222电流密度最大值与供电距的关系，这点在应用中很重要2200001222LIRIjjjjABA2/322cos2hLLIjjAhh深入度H的增加，电流密度迅速减小，当H=3AB/2时，jh=0.032j0。LhtgILzxdxdzILIhh102/3222IILhh9.02（6）偶极电流源的地中电流场偶极源在地面时地中任一点的电位：2cos222ImRmRIRIUBA1cos3sin21cos2232233RmEEERmURERmRUERR设E和ER的夹角为β，E和地面夹角为α＝β＋θ22321tgtgtgtgtgEEtgR1cos3sin2cos2232233RmjjjRmjRmjRR22321tgtgtgtgtgEEtgR90445402'002atg/0222000当M位于地表且坐标位于AB中点时有：332111xmjxmExmUθ0变向角sin21cos233RmURERmRUER2cos2ImRmU（7）偶极源在地下的地中电流场P56)sincos(1)cos(cos0hxR设地下有一倾斜偶极电流源，其轴线与地面成α角，中心埋深为h时，地面上的电位表达式与地面偶极类似，仅需对cosθ做变换2322)(sincosxhhxmU电位曲线不对称，左右出现负、正极值，正负极值的连线为偶极子在地面的投影，极值点的坐标为：98tantan4322,1hx2/52222sin3cos2xhhxxhMEx电场强度曲线不对称，在偶极子的左上方电流集中，出现主极值，在右侧零值点两侧有二个次极值点，它们与电流回流到地表的两个集流区对应。X方向电场表达式：25220221232201)(2)(0xhxhMExhxMU（7）水平偶极源在地下的地中电流场水平极化（α=0）202,1hx电位极值电位以O点反对称，左右两侧分别出现负、正极值；偶极子的正上方，电流汇集，有负极值，两侧有二个次极值，在2H外电位与电场均趋于零。（8）垂直偶极源在地下的地中电流场垂直极化（α=90）25222322)(3)(xhhxmExhhmU202,1hx电场极值第三节均匀大地电阻率的测定P66设地下均匀无限的各向同性介质中，在水平地面上将A、B两供电极与电源相连，并向地下攻入电流强度为I的电流，则地表任意测量电极M和N处的电位：BNANBMAMIUBNANIUBMAMIUMNNM11112112112BNANBMAMKIUKIUBNANBMAMMNMN111111112K是装置系数（布极常数），单位是米第四节视电阻率的基本概念及常用电阻率法P136（1）非均匀介质中的地下电流场在电阻率为ρ1的介质中有二个电阻率不同的导电体，左边为高阻体，右边为低阻体。当AB两电极向地下供电时，高低阻导电阻体将影响地下电流的分布。由电场在切线方向的连续得到如下关系：13''3'1'212'2'2'1'13131121jjjjMjjjjM221121ttttjjEE高阻体具有排斥电流的能力，电阻率越高，排斥能力超强。当ρ2→∞时，j2=0，即绝缘体将电流全部排斥到周围介质中。低阻体具有吸引电流的能力，电阻率越低，吸引能力越强；当ρ3=0时，j1=0，即良导体将电流吸引到地下。电流从A极经过避开高阻岩体和通过低阻岩体到达B极，每条电流线的路径都按所受阻力最小运行，服从最小能量原理。（2）视电阻率概念IUKMN前面得到均匀半空间的电阻率实际应用地表不是水平，地下也不是均匀各向同性的，通过同样的装置得到的电阻率是就不是岩体或矿体的真实电阻率，我们把它称为视电阻率IUKMNs那么视电阻率与地中的电场分布及电流密度等有何关系呢？MNMNMNMNMNMNdljdlEUMNMNMNMNMNMNsdljIKdlEIKIUK当MN很小时，MN范围内的电场可近似为不变，那么上式可写为：MNMNMNsjIMNKMNEIK当地表水平，地下为均匀各向同性介质时，电阻率为ρ，电流密度为j0，上式可写为：MNsjIMNK0均匀介质01jIMNKMNMNsjj0可以得到视电阻率公式的微分形式视电阻率的微分公式可以看出视电阻率与电流大小是无关，实际上由于E或J均与电流强度成正比，