第六章保险的数理基础

-1-第六章保险的数理基础本章内容主要包括：第一节保险费率的厘定原理第二节财产保险费率的厘定第三节人身保险费率的厘定第四节保险准备金-2-第一节保险费率的厘定原理本节内容主要包括：一．保险费二．保险费率三．保险费率的厘定原则四．保险费率的厘定方法-3-一、保险费（一）含义保险费就是购买保险服务产品的价格。（二）构成投保人缴纳的保险费一般称为毛保费，它可以分解为纯保费和附加保费两部分。其中，纯保费是保险人用来建立保险基金，将来用于赔偿或给付的那部分保费，也称为净保费；附加费主要用于保险人的各项业务开支和预期利润，包括职工工资、业务费、企业管理费、代理手续费、税金、利润等。-4-二、保险费率（一）含义保险费率是保险人按单位保险金额向投保人收取保险费的标准。保险费率与保险费之间一般存在以下关系：保险费＝保险金额×保险费率（二）构成与保险费的分解相对应，保险费率也有毛费率、纯费率和附加费率之分。-5-三、保险费率厘定的原则保险产品的经营是一种负债的经营，所以，保险费率的确定需要遵循以下原则：1.保证补偿原则2.公平合理原则指保险费率在保险人与投保人之间及各投保人之间要体现公平合理的原则。保险人与投保人之间的公平合理，一方面表现为必须贯彻补偿原则，另一方面强调保险费率不能偏高。各投保人之间的公平合理，是指保险人向投保人收取的保险费，应与保险标的所面临的危险程度相适应。3.稳定灵活原则保险费率的厘定，要考虑到保险收费标准的相对稳定性。保险费率的相对稳定性对保险双方都有好处，从被保险人的角度来看，如果费率经常波动，会诱发投保人的投机心理，也会使投保人难以确定保费预算，增加对保险公司的反感，导致业务量的减少。从保险人的角度来看，稳定的费率有利于稳定成本核算和业务经营。当然，费率的稳定也是相对的,应当根据实际情况加以调整。4.促进防损原则它是指保险费率的厘定要能促进防灾防损，减少危险事故。一方面要鼓励和引导被保险人从事预防损失的活动。另一方面，保险公司也应积极从事防灾防损活动，其所需经费，在厘定费率时也应予以考虑。-6-四、保险费率的厘定方法保险费率的厘定方法有三种，即个别法、分类法和增减法。1．个别法个别法也叫判断法，是指按照具体的每一标的分别单独计算，确定一个费率。个别法多用于海上保险以及一些内陆运输保险，因为各种船舶、港口和危险水域的情况错综复杂，情况各异。2．分类法分类法就是按照风险的性质分类．在分类的基础上分别测定计算费率。依据此方法确定的保险费率，常常被载于保险手册中，因此又称该方法为手册法。3．增减法增减法又称修正法，它是在分类法的基础上，结合个别标的的风险状况予以计算确定费率的方法。-7-第二节财产保险费率的厘定本节内容主要包括：一．纯保险费率的厘定二．附加保险费率的厘定-8-一、纯保险费率（一）保险金额损失率1．含义保险金额损失率是同类业务一定期间保险赔偿金额与承保责任金额之比。2．决定因素它是由该类保险标的的平均出险次数、损失率、毁损程度、受损标的平均保额与所有保险标的的平均保额之比四个因素决的。其中：（1）保险事故发生的频率指标的物发生保险事故的次数（c）与全部承保的保险标的的件数（a）的比率，即ac。（2）保险事故的损失率指的是受灾保险标的的件数（d）与保险标的物发生保险事故的次数（c）的比率，即cd。（3）保险标的毁损程度指的是保险赔偿额（f）与受灾标的物保险金额（e）的比率，即ef。（4）受灾标的的平均保额（de）与全部标的的平均保额（ab）的比率受灾标的的平均保额（de）与全部标的的平均保额（ab）的比率即bdea，表示受损保险标的的平均价值之间的比例关系。上述因素与保险赔偿有内在联系，其乘积就是保险额损失率，即保险额损失率＝ac×cd×ef×bdea＝bf-9-＝％保险金额总额保险赔款总额100这里需要注意的是：首先，保额损失率不是保险标的的损失额与保额之比，而是赔款额与保额之比。其次，统计数据必须源于保险公司的经验。由于保险财产的损失率—般要高于社会财产损失率，所以计算费率时只能使用保险公司的经验数据才能保证保险公司的财务稳定性。当然，对一个新成立的保险公司来说，可以参考社会财产损失率厘定费率，然后依据经验损失资料的积累逐步修正。（二）稳定系数的确定经过计算得出的保险金额损失率是算术平均数，是以往若干年度的平均保险额损失率。如果我们依此制定纯费率以测定未来年度的保险赔付款额，显然不够稳定。从长期看是趋于稳定的保险额损失率，而从年度看则又是不稳定的，这是风险的不确定性所决定的。因而通常做法是在保险额损失率的基础上附加一定的稳定系数。依此制定财产保险纯费率，就建立在可靠的数理基础上。（1）必须有足够的年数，一般地说，至少需要有保险事故发生比较正常的连续5年以上的保险额损失率。（2）每年的保险额损失率必须基于大量的统计资料，从中筛选一组比较稳定的保险额损失率数列，即各年保险额损失率差别越小，损失赔付越趋平衡。（3）这一组保额损失率必须是稳定的。-10-为此，引入稳定性系数(K)这一指标，用该组保险额损失率的均方差与其算术平均值之比来反映该组保险额损失率的稳定性。计算公式如下：XK其中σ为均方差：σ＝nXXnii12)(，X为算术平均值：X＝niiXn11。容易看出，稳定系数K越大，这一组保额损失率的稳定性就越差，即各年保额损失率差别越大，损失赔付情况就越不平衡；反之，稳定系数K越小，这一组保额损失率的稳定性就越好，即各年保额损失率差别越小，损失赔付情况就越平衡。（三）纯费率的确定纯费率＝平均保额损失率*（1+稳定系数）。-11-二、附加费率的确定附加费率是根据一定时期弥补业务上的各项之处需要加以求得的。它不用于赔偿损失，主要用于以下几个方面的支出：（1）业务费用。（2）防灾费用。（3）预备准备金。（4）预期利润。附加费率的计算，可以按统计资料求出各项开支的总额与保险费收入总额相除即可求得。即附加费率＝％保费收入总额业务开支总额100。附加费率的计算也可以在纯费率的基础上附加适当的百分比作为附加费率。-12-第三节人身保险费率的厘定本节内容主要包括：一．复利和现值二．生命表三．人寿保险纯费率四．附加费率-13-一、复利和现值（一）货币时间价值如果你向银行借款，你在以后必须偿付本金和利息。因此，今天手中的100元要比一年后得到的100元有更大价值，这100元能用来投资取得利息收入。经济生活中利息的存在使货币具有时间价值。（二）复利按复利计算的本利和公式是：F＝R（1+i）nF＝偿付额（本利和）R＝借款额i＝每个时期的利息率n＝时期数（三）现值贴现，把V＝i11叫做贴现率。（四）年金年金是指一系列的定期支付或取得相同金额。可用公式表示年金和复利终值的关系：其中A表示年金。F＝A[)1(1in+)1(2in+…+（1+i）+1]可用公式表示年金和现值的关系：R＝A[)1(1i+)1(21i+…+)1(1in]人寿保险的资金应以复利计算。典型的人寿保险的给付金额确定，要通过计算保险金的现值来确定净保费，或者说，要从保险金中扣除利息后计算得出应缴的净保费。-14-二、生命表（一）概念又称死亡表，它是根据一定时期的特定国家（或地区）或特定人口群体（如寿险公司的全体被保险人、某企业的全体员工）的有关生存状况的统计资料，编制成的统计表。（二）种类1．以观察人群对象的不同，生命表可分为国民生命表与经验生命表两类。（1）国民生命表以—个国家或一个特定地区人口为对象，根据该国家或地区人口统计等资料，编制的一种反映指定区域普通国民的生死状况的一种生命表。国民生命表主要由人口普查及人口统计等资料，运用中心死亡率为基础编制，主要用于国民人口及相关问题分析等。国民生命表依年龄分组不同还可细分为国民完全生命表和国民简易生命表。（2）经验生命表根据人身保险被保险人的死亡经验制成的一种生命表。保险公司承保对象千差万别，被保险人投保总是要尽一定义务的，享有一定权利。被保险人的生死状况较之同年龄普通国民生死状况好。2．按照死亡率测定的观察期间取法不同，生命表可分为选择表、综合表及截断表。（1）依年龄差别，同时依经过年数等双重分类的死亡表就称为选-15-择表。而依年龄对应的终极死亡率列成的生命表，便是终极表。选择表与终极表总是相伴而成的，所以有时统称选择与终极生命表。（2）选择与终极表反映了整个被保险人的经验，当它们截除头几年的经验，而仅考虑以后经验编制的生命表，就是裁断表。截除的期间称为截断期间。3．依寿险业务与年金业务的差异，生命表可分为寿险生命表与年金生命表。年金生命表即以年金领取人经验而编制的一种经验生命表，而寿险生命表就是以寿险被保险人经验而编制的一种生命表。4．依性别为标准划分，生命表还可以分为男子表、女子表及男女混合表。（三）生命表基本函数1．生存函数：xl生命表中最重要也是最基本的函数是xl，它是计算其他一切数据的基础。xl表示：这选定的一个模型整体内，0岁的人活到x岁时生存的人数。2．死亡函数：xdxd函数表示0岁的人刚活到x岁与x+1岁间的死亡人数。用公式表示，1xxxlld3．xp函数xp函数x岁的人在一年内生存的概率或x岁的人的年生存率。xxxllp1-16-4．xq函数xq函数表示x岁的人在一年内死亡的概率或x岁的人的年死亡率。用公式表示：xxxldq显然基本生命函数之间有如下关系：xxxdll1xxqp1-17-三、人寿保险纯费率（一）生存保险给付金额在n年年初的现值为R·xxll1·nv＝R·nv·xxll1为了区别于确定给付的现值，以生存为条件所作给付的现值，通常称作精算现值。当R＝1时，精算现值R·nv·xxll1变为nv·xxll1，其用特定符号表示即xnE进一步，xnE＝nv·xxll1，所以有：1)1(nxnxxlinEl该式表明：以选定的生命表为基础，活到x岁的xl人，每人储蓄xnE形成一笔基金，在实际利率i的条件下，初始基金在n年底的累计值将充分提供活到x+n岁的nxl人，每人1元的给付。对上式，再进一步进行研究，可以得出：1)1()1(nnxnxxxnxilllnEinE从式中，我们可以得到一个重要的事实，活到x岁可以得到的给付金额可以分为两个部分：一部分为其所缴纳的保险费以及保险费产生的利息；另一部分则是分享保险期间发生死亡的被保险人所丧失的利益的一定份额，这是我们理解生存保险的基础。（二）定期寿险假设某人投保了保险期间为n年，保险金额为s元的定额寿险，即当某人在n年内死亡，保险公司给付保险金s元，如果某人活到保险期末，保险公司不作任何支付。也就是说，某人在1年到n年之间都有可能发生死亡案件，也就-18-是保险公司要发生给付。现值就是给付的现值和相对的概率的乘积的总和，也就是现值＝101|nmmxmvq，以上介绍的就是最基本的寿险费率的确定的基础知识，而像两全保险等是以上述为基础进行相应的数学变化。-19-四、附加费率寿险费用指的是寿险经营过程中所发生的，除保险责任之外的一切支出。寿险的附加费用可以按照不同的分类来加以划分，①承保费用，②维持费用，③一般费用，④理赔费用，⑤投资费用。以上费用就是我们通常所说的附加保费，所发生的费用必须采取一定的方式进行补偿，在实务中，其中的一些费用主要通过毛保费的一定比例来表示。从而将这种毛保费分解成纯保费和附加保费之和，然后从等式两端求解附加保费。-20-第四节保险准备金本节内容主要包括：一．资本金和保证金二．非寿险准备金的提存三．寿险准备金的提存四．总准备金-21-一、资本金和保证金（一）资本金保险公司在筹备开业时，必须筹集一定现金资本作为准备金。该项资本金的来源，国有独资保险公司由国家财政拨付，股份有限保险公司则采用股份筹资方式。（二）保证金保证金是指国家为了保护被保险人的利益，依法要求保险人将其现金资本的20%交存国家保险监督管理机构指定的银行，此项存款未经国家保险监督管理机构批准，不得提用。-22-二、非寿险准备金的提存（一）非寿险准备金分析非寿险准