第六章坐标平面上的直线与线性规划

第六章坐标平面上的直线与线性规划第一节直线的方程【知识梳理】1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素；2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系。【例题精析】[例1]（1）直线3y＋3x＋2=0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°（2）设直线的斜率k=2，P1（3，5），P2（x2，7），P（－1，y3)是直线上的三点，则x2，y3依次是（）A．－3，4B．2，－3C．4，－3D．4，3（3）直线l1与l2关于x轴对称，l1的斜率是－7，则l2的斜率是（）A．7B．77C．77D．－7（4）直线l经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是．（5）从直线l上的一点A到另一点B的纵坐标增量是3，横坐标增量是－2，则该直线的斜率是．[例2]一条直线经过点M（2，1），且在两坐标轴上的截距和是6，求该直线的方程。[例3]已知直线方程为210axya（1）若x∈（－1，1）时，y＞0恒成立，求a的取值范围；（2）若a∈（16，1）时，y＞0恒成立，求x的取值范围；[例4]设动点P，P’的坐标分别为（x，y），（x’，y’），它们满足x'=3x+2y+1，y'=x+4y-3．若P，P’在同一直线上运动，问：这样的直线是否存在？若存在，求出方程；若不存在，说明理由．第二节直线与直线的位置关系【知识梳理】1．能根据斜率判定两条直线的平行与垂直；2．能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标；3．探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。【例题精析】[例1]（1）已知直线mx＋4y－2=0与2x－5y＋n=0互相垂直，垂足为（1，p），则m－n＋p的值为（）A．24B．20C．0D．－4oyx－21（2）已知直线y=－1mx－6m和直线y=2－m3x－23m平行，则m的值为（）A．－1或3B．1或－3C．3D．－1（3）点A（4，0）关于直线l：5x+4y+21=0的对称点是（）A．（-6，8）B．（-8，-6）C．（-6，-8）D．（6，8）（4）若直线y=kx＋3与y=1kx－5的交点在直线y=x上，则k=．（5）过点P（－2，1）且到原点距离最远的直线l的方程是．[例2]过P的直线l绕P点逆时针旋转α角（0＜α＜90°）后得到直线y轴，将y轴绕P点再逆时针旋转β角（0＜β＜90°）后得到直线l′：2x＋y－1=0，且cos=sinβ，求直线l的方程。[例3]△ABC中，AB=BC，∠B=90°，M为BC的中点，BN⊥AM交AC于N，用解析法求证：∠CMN=∠BMA[例4]两条平行直线分别过点P（－2，－2），Q（1，3），它们之间的距离为d，如果这两条直线各自绕着P、Q旋转并且保持互相平行。（1）求d的变化范围；（2）用d表示这两条直线的斜率；（3）当d取最大值时，求两条直线的方程。第三节线性规划（文）【知识梳理】1、二元一次不等式组以及可化成二元一次不等式组的不等式的解法；2、作二元一次不等式组表示的平面区域，会求最值；3、线性规划的实际问题。【例题精析】[例1]（1）已知点P（x0，y0）和点A（1，2）在直线3280xy的异侧，则（）A．00320xyB．00320xy0C．00328xyD．00328xy（2）满足||+|y|2x的整点的点（x，y）的个数是（）A．5B．8C．12D．13（3）不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0表示的平面区域是（）（4）设实数x,y满足20240230xyxyy，则yx的最大值为．（5）已知124abaab，求42tab的取值范围．[例2]试求由不等式y≤2及|x|≤y≤|x|＋1所表示的平面区域的面积大小．[例3]已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2＋2x．(1)求函数g(x)的解析式；(2)若h(x)＝g(x)－f(x)＋1在[－1，1]上是增函数，求实数的取值范围。[例4]要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：规格类型钢板类型A规格B规格C规格第一种钢板211第二种钢板123今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数量少？第四节本章知识小结一、直线方程.1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是0180(0).注：①当90或21xx时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.③斜率与倾斜角的关系如图2.直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜截式.特别地，当直线经过两点(,0),(0,)ab，即直线在x轴，y轴上的截距分别为,(0,0)abab时，直线方程是：1xyab.注：若223yx是一直线的方程，则这条直线的方程是223yx，但若223yx(0x)则不是这条线.附：直线系：对于直线的斜截式方程+ykxb，当,kb均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果,kb变化时，对应的直线也会变化.①当b为定植，k变化时，它们表示过定点（0，b）的直线束.②当k为定值，b变化时，它们表示一组平行直线.化时，对应的直线也会变化.①当b为定植，k变化时，它们表示过定点（0，b）的直线束.②当k为定值，b变化时，它们表示一组平行直线.3.⑴两条直线平行：1212||llkk两条直线平行的条件是：①1l和2l是两条不重合的直线.②在1l和2l的斜率都存在的前提下得到的.因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.（一般的结论是：对于两条直线12,ll，它们在y轴上的纵截距是12,bb，则1212||llkk，且12bb或12,ll的斜率均不存在，即1212ABBA是平行的必要不充分条件，且12CC）推论：如果两条直线12,ll的倾斜角为12,则1212||ll.⑵两条直线垂直：两条直线垂直的条件：①设两条直线1l和2l的斜率分别为1k和2k，则有12121llkk这里的前提是12,ll的斜率都存在.②12120llkk，且2l12120llkk的斜率不存在或02k，且1l的斜率不存在.（即01221BABA是垂直的充要条件）4.直线的交角：⑴直线1l到2l的角（方向角）；直线1l到2l的角，是指直线1l绕交点依逆时针方向旋转到与2l重合时所转动的角，它的范围是),0(，当90时21121tankkkk.⑵两条相交直线1l与2l的夹角：两条相交直线1l与2l的夹角，是指由1l与2l相交所成的四个角中最小的正角，又称为1l和2l所成的角，它的取值范围是2,0，当90，则有21121tankkkk.5.过两直线1111222200lAxByClAxByC的交点的直线系方程111222()0(AxByCAxByC为参数，2220AxByC不包括在内）6.点到直线的距离：⑴点到直线的距离公式：设点),(00yxP，直线PCByAxl,0:到l的距离为d，则有2200BACByAxd.⑵两条平行线间的距离公式：设两条平行直线112212:0,:0()lAxByClAxByCCC，它们之间的距离为d，则有1222||CCdAB.7.关于点对称和关于某直线对称：⑴关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.⑵关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.⑶点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点.注：①曲线、直线关于一直线（bxy）对称的解法：y换x，x换y.例：曲线,0fxy关于直线2yx对称曲线方程是2,20fyx.②曲线C:,0fxy=0关于点(a,b)的对称曲线方程是2,20faxby二、圆的方程.1.⑴曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线C上的与一个二元方程0),(yxf的实数建立了如下关系：①曲线上的点的坐标都是这个方程的解.②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）.⑵曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点),(yxM其坐标与方程0),(yxf的一种关系，曲线上任一点),(yx是方程0),(yxf的解；反过来，满足方程0),(yxf的解所对应的点是曲线上的点.注：如果曲线C的方程是f(x,y)=0，那么点P0(x0,y)线C上的充要条件是f(x0,y0)=02.圆的标准方程：以点),(baC为圆心，r为半径的圆的标准方程是222)()(rbyax.特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：222ryx.注：特殊圆的方程：①与x轴相切的圆方程222)()(bbyax)],(),(,[bababr或圆心②与y轴相切的圆方程222)()(abyax[||,,),)]raabab圆心(或(-③与x轴y轴都相切的圆方程222)()(aayax[||,,)]raaa圆心(3.圆的一般方程：220xyDxEyF.当2240DEF时，方程表示一个圆，其中圆心,22DEC，半径2242DEFr.当2240DEF时，方程表示一个点,22DE.当2240DEF时，方程无图形（称虚圆）.注：①圆的参数方程：sincosrbyrax（为参数）.②方程220AxBxyCyDxEyF表示圆的充要条件是：0B且0CA且2240DEAF.③圆的直径或方程：已知0))(())((),(),(21212211yyyyxxxxyxByxA（用向量可证）.4.点和圆的位置关系：给定点),(00yxM及圆222)()(:rbyaxC.①M在圆C内22200()()xaybr②M在圆C上22200()()xaybr③M在圆C外22200()()xaybr5.直线和圆的位置关系：设圆圆C：222()()(0)xaybrr；直线l：)0(022BACByAx；圆心(,)Cab到直线l的距离22BACBbAad.①rd时，l与C相切；附：若两圆相切，则221112222100xyDxEyFxyDxEyF相减为公切线方程.②dr时，l与C相交；附：公共弦方程：设221111222221:0:0CxyDxEyFCxyDxEyF有两个交点，则其公共弦方程为0)()()(212121FFyEExDD.③dr时，l与C相离.附：若两圆相离，则221112222100xyDxEyFxyDxEyF相减为圆心12OO的连线的中垂线方程.由代数特征判断：方程组222()()0xaybrAxByC用代入法，得关于x（或y）的一元二次方程