第六章常微分方程

1第六章常微分方程（Chap9Constantdifferentialequation）教学内容：微分方程概念，一阶、二阶微分方程的概念及求解方法教学要求：①理解微分方程一阶概念，二阶微分方程解的结构②掌握可分离变量的微分方程的解法，齐次方程及一阶线性微分方程，二阶常系数线性微分方程的解法③会求()()nyfx，(,)yfxy，(,)yfyy的解教学重点：一阶线性微分方程；二阶常系数齐次线性微分方程教学难点：常数变易法；高阶方程求解及二阶常系数齐次线性方程解的情况的讨论学时分配：讲授8学时，习题课2学时，共计10学时§6.1微分方程的基本概念（Fundamentalconceptofdifferentialequation）一、两个实例1．曲线通过点（1，2）且该曲线上任意点(,)xy处的切线斜率为23x，求该曲线的方程。解：设曲线方程为()yfx，由题意知23dyxdx或233dyxdxyxc又12xy，则1c∴31yx2．一汽车在公路上以10米/秒的速度行驶，司机突然发现汽车前方20米有一小孩在地上玩耍，司机立即刹车，已知汽车刹车后获得加速度为4米/秒2，问汽车能否撞伤小孩？解：设()sst，由题意得224dsdt且00ts0010ttdxvdt两端积分一次得2122stctc又0000ttsv得1200cc∴2210stt又0v即4100t得2.5t222.5102.512.510s二、微分方程的概念1．微分方程：含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程。如：()0ypyqyfxyy2230yyx（代数方程）2．阶：方程中所含未知函数的导数（或微分）的最高阶数叫做微分方程的阶。n阶微分方程的一般形式：()(,,,,,)0nFxyyyy在一般形式中，未知函数y及其各阶导数都是一次的，则此方程为线性微分方程。其形式为：()(1)011()()()()()nnnnaxyaxyaxyaxyfx23．常微分方程：如果一个微分方程中只含有一个自变量。（偏微分方程）：含有两个或两个以上自变量，4．解：若将一个函数代入微分方程能使两端相等，则称这个函数为微分方程的解。（1）通解：含有任意常数且个数与方程阶数相同的解。（2）特解：从通解中确定了任意常数的解，称为特解。定解条件：（初始条件）5、解的几何意义：§6.2一阶微分方程（Differentialequation）一、可分离变量的微分方程（Differentialequationofseparatedvariables）1．定义：若一个一阶微分方程(,,)0Fxyy，能化成()()dyyfxdx的形式则有()()gydyfxdx，则此方程称为可分离变量的微分方程。2．特点：一边只含y的函数与y的微分，而另一边只含x的函数与x的微分。3．如何求解：方程两边同时对x，y积分得通解()()yydyfxdxc()()GyFxC4．例：（1）求微分方程2yxy的通解（2）求初值问题201xdyydxy的特解（3）求微分方程2210ydxxyxdy（1+）（）的通解注：为了书写简便，在求通解的时候只要出现lny，c就写成lnc。二、齐次方程（Homogeneousdifferentialequation）1．定义：如果一阶微分方程(,)dyfxydx中的函数(,)fxy可写成关于yx的函数，即(,)()yfxyx，则该方程称为齐次方程，是连续函数。2．如何求解：令2yuyxx则dyduuxdxdx于是上式方程变为：()duuxudx（可分离变量微分方程）3．例：（1）求方程22dyyxxydx满足初始条件(1)1y的特解（2）求微分方程dyyytgdxxx的通解（3）求方程1dyxydx的通解三、线性方程及伯努利方程（LineardifferentialequationoffirstorderandBernoulliequation）1、一阶线性方程（Lineardifferentialequationoffirstorder）31．定义：形如：()()dyPxyQxdx①（(),()PxQx是x的已知连续函数）的方程叫一阶线性微分方程。（1）当()0Qx时，①变为()0dyPxydx一阶线性齐次微分方程（2）当()0Qx时，①变为()()dyPxyQxdx一阶线性非齐次微分方程2．如何求解：（1）()0dyPxydx（可分离变量微分方程）通解()Pxdxyce（2）()()dyPxyQxdx分析齐与非齐方程的特点得出解有相同和不同之处，引出常数变易法。解：令()()pxdxycxe()())()()pxdxpxdxdycxecxepxdx（（）代入原方程化解、整理得()()pxdxcxQxe（）两边积分得()()()pxcxQxedxc因此所求通解为()()(())pxdxpxyeQxedxc（通解公式可直接用）分析通解结构，得出非齐通解为齐次通解与非齐特解之和，以后还会用到。3．例（1）求微分方程lnxyyxx的通解（两种方法目的让学生熟悉常数变易法）。（2）求微分方程522(1)1dyyxdxx的通解。（3）求方程2(21)0xdyxyxdx在初始条件10xy下的特解。（4）求方程4(3)ydxxydy的通解。二、贝努利方程（Bernoulliequation）1．定义：方程()()(0,1)ndyPxyQxyndx叫做伯努利方程。2．如何求解：方程：()()ndyPxyQxydx①两端同除以ny，得1()()nndyyPxyQxdx②令1nzy则(1)ndzdynydrdx即11ndydzydxndx代入②得1()()1dyPxzQxndx4即(1)()(1)()dznPxznQxdx（关于z的一阶线性微分方程）求出通解，并将1nzy代入即得原方程的通解。3．例：（1）求方程222dyyxdxxy的通解（2）求方程：33dyxyxydx的通解（3）求方程：2(ln)dyyaxydxx的通解。§6.3可微阶的高阶微分方程（Differentialequationthatcanbereducedorder）高阶微分方程，二阶及二阶以上的微分方程求解方法：降阶化为一阶微分方程，具体有三种类型：一、()()nyfx型的微分方程1．微分方程()()nyfx的右端仅含有自变量x。2．方法：两边连续积分n次，求得通解（含有n个常数）3．例：求微分方程0xyxe的通解二、(,)yfxy型的微分方程1．方程(,)yfxy的右端不显含y（特点）2．求解方法：令Pyyp代入原方程，得(,)pfxp（关于变量x，p的一阶线性微分方程）可求通解为(,)pxc，即1(,)dyxcdx求积分得通解为：12(,)yxcdxc3．例：（1）求微分方程xyy的通解。（2）求方程yyx满足初始条件0013xxyy的特解（3）2(1)2yxxy满足0001|13xxxyyy的特解三、(,)yfyy型的微分方程1．方程(,)yfyy右端不显含x（特点）2．如何求解：令dppyypdy（与前面相区别）将其代入原方程得(,)dppfypdy此方程是关于y和p的一阶线性微分方程通解为1(,)ypyc分离变量得1(,)dydxyc5两边积分得21(,)dyxcyc3．例（1）求微分方程221yyy的通解（2）求方程2yyy满足初始条件0012xxyy的特解§6.4二阶常系数齐次线性微分方程（Homogeneouslineardifferentialequationwithsecond）1．形如()ypyqyfx①的方程叫二阶常系数线性微分方程（其中,pq均为常数）（1）当()0fx时，①变为0ypyqy②叫二阶常系数齐次线性微分方程（2）当()0fx时，()ypyqyQx，叫二阶常系数非齐次线性微分方程2．二阶常系数齐次线性微分方程的解的结构与性质（1）定理1如果函数12()()yyxyyx是0ypyqy的两个解则1122()()cyxcyx也是解，（12,cc是任意常数）线性相关、无关概念（简单做一介绍）（2）定理2如果12,yy是0ypyqy的两个线性无关的特解，则1122ycycy就是方程0yypqy的通解。3．如何求二阶常系数齐次线性微分方程的通解0ypyqy分析方程的特点，得该方程的解的一阶、二阶导数仅差一个常数因子，结合导数知识，可设通解为rxye，代入原方程得0rprq（特征方程）二次方程0rprq的两个根称为特征根，特征根有以下三种情形：（1）当240pq时，12rr，∴1212rxrxyeye通解为1212rxrxycece（2）240pq时，12rrr，此时1rxye为一个特解，为寻求与1y线性关系的特解，可令2()rxyuxe代入原方程得()uxx∴2rxyxe通解为12rxrxycecxe（3）240pq时，12riri()()12ixixyeye（化为实数根）利用欧拉公式cossiniei化复数形式为实数解形式12cossinxxyexyex∴通解为12cossinxxycexcex4．总结求二阶常系数齐次线性微分方程的通解的步骤（1）写出特征方程：0rprq（2）求出特征根：12rr（3）根据特征根的不同情形，写出微分方程的通解6特征方程0rprq的两个根12rr微分方程0ypyqy的通解12rr1212rxrxycece12rrr12rxrxycecxe1,2ri12cossinxxycexcex5．例（1）求微分方程340yyy的通解（2）求微分方程4130yyy满足初始条件0013xxyy的特解（3）求微分方程440yyy的满足初始条件0011xxyy的特解（4）设函数()fx可导，且满足00()12()()xxfxxtftdtxftdt，求()fx（5）求四阶微分方程(4)80yy的通解。