电磁场与电磁波1.

第1章矢量分析矢量分析是研究电磁场在空间的分布和变化规律的基本数学工具。第1章矢量分析2本章学习内容1.1矢量代数1.2三种常用的正交坐标系1.3标量场的梯度1.4矢量场的通量与散度1.5矢量场的环流和旋度1.6无旋场与无散场1.7拉普拉斯运算与格林定理1.8亥姆霍兹定理本意小结16:36第1章矢量分析3本章的学习重点场的概念标量场的梯度矢量场的散度和旋度拉普拉斯运算亥姆霍兹定理16:36第1章矢量分析4本章的基本要求理解场的概念,了解描述标量场的等值面和描述矢量场的矢量线的概念。深刻理解梯度、散度、旋度和拉普拉斯运算的概念，并掌握其计算公式。熟练掌握高斯定理和斯托克斯定理。理解亥姆霍兹定理的重要性。16:36第1章矢量分析51.1矢量代数标量仅有数值大小特征的量。例如电压u、电荷量q、质量m、能量W等等都是标量。有明确物理意义的量(物理量)都必须被赋予“物理单位”。16:36第1章矢量分析61.1矢量代数矢量同时具有数值大小和方向特征的量。如电场强度E、磁场强度H、作用力F、速度v等等。用带有矢量符号的字母或黑体字母F来表示矢量。F16:36第1章矢量分析71.1矢量代数矢量的大小：模A或|A|矢量的方向：单位矢量eA=A/A(矢量可表示为：A=AeA)常矢量：大小和方向均不变的矢量。注意：单位矢量不一定是常矢量。16:36第1章矢量分析81.1矢量代数矢量的几何表示带有箭头的直线段，长度表示模，方位表示方向。图1.1.1P点处的矢量PA16:36第1章矢量分析91.1矢量代数矢量的加法和减法矢量D可按平行四边形法则或三角形法则求得交换律结合律BADABBA()()ABCABCDAB16:36第1章矢量分析101.1矢量代数矢量的减法式中(-B)的大小与B的大小相等，但方向与B相反。A-B同样可按平行四边形法则或三角形法则求得。BAABB()ABAB16:36第1章矢量分析111.1矢量代数矢量的乘法标量和矢量相乘C=kA若k0，则C与A同方向；若k0，则C与A反方向。16:36第1章矢量分析121.1矢量代数矢量的点积(或标积)与矢量A和B的大小和夹角（θ）有关。BA图1.1.4矢量A与B的夹角cosABAB0//ABABABABAB16:36第1章矢量分析131.1矢量代数矢量点积的有关运算有交换律有分配律无结合律()()()ABBAABCABACABCABC16:36第1章矢量分析141.1矢量代数矢量的叉积(或矢积)与矢量A和B的大小和夹角（θ）有关。方向由右螺旋法则决定。sinnABABeBAAB//0ABABABABAB16:36第1章矢量分析151.1矢量代数矢量叉积的有关运算有分配律无交换律无结合律ABBAABBA()ABCABAC()()ABCABC16:36第1章矢量分析161.1矢量代数矢量的混合运算标量三重积矢量三重积()ABC()()()ABCBCACAB()ABC()()()ABCBACCAB16:36第1章矢量分析171.1矢量代数并矢（矢量的张量积）AB为一个二阶张量，有九个分量，按矩阵方式排列为单位并矢xxxyxzyxyyyzzxzyzzABABABABABABABABABABxxyyzzIeeeeee16:36第1章矢量分析181.1矢量代数并矢的有关运算:IIAAABC=ABCABCD=BCAD16:36第1章矢量分析191.1矢量代数矢量是不同于标量的数学对象，对于矢量，必须区别定义过的运算和没定义过的运算，不能将矢量用于标量表达式。如这些矢量运算无意义。重要的矢量公式附录(P341)1ln,exp，　　　，　　AAAA16:36第1章矢量分析201.1矢量代数思考题P301.1、1.2、1.3、1.4习题P311.116:36第1章矢量分析211.2三种常用的正交坐标系引入坐标系的意义：定量描述空间各点的位置。定量描述矢量的方向。用矢量的分量形式进行矢量运算更为方便。16:36第1章矢量分析221.2三种常用的正交坐标系坐标系是相对于参考原点确定空间任一点位置的唯一方法。三维空间任一点可定义为三个坐标曲面的交点。坐标曲面的法向确定本地坐标的取向，法向单位矢量称为基矢。基矢是相互正交的坐标系称为正交坐标系。常用的坐标系是基矢满足右手螺旋规则的正交坐标系。16:36第1章矢量分析231.2三种常用的正交坐标系常用的正交坐标系直角坐标系圆柱坐标系球坐标系16:36第1章矢量分析241.2三种常用的正交坐标系物理问题的解答与所选用的坐标系无关。根据求解问题选择适当的坐标系可使计算及表达式简化。矢量的运算结果与所选用的坐标系无关，但选定适当的坐标系后用分量来进行矢量的运算将带来方便。16:36第1章矢量分析251.2三种常用的正交坐标系直角坐标系坐标曲面为三平面族坐标变量：x、y和z，变化范围分别是,,xyzzxyz=z0x=x0y=y0P0O16:36第1章矢量分析261.2三种常用的正交坐标系基矢坐标曲面的法向，沿坐标变量增加的方向，都是常矢。基矢相互正交且遵循右手螺旋法则0,,xyyzzxxyzyzxzxyeeeeeeeeeeeeeee、、zxyz=z0x=x0y=y0P0zexeyeO16:36第1章矢量分析271.2三种常用的正交坐标系任一矢量A在直角坐标系中可表示为、、222coscoscoscoscoscosxxyyzzxyzxyzAxyzAAAAAAAAAAAAAAeeeeeeezAxAAyAzxyO16:36第1章矢量分析281.2三种常用的正交坐标系两矢量的和与差两矢量的点积()()xxyyzzxxyyzzxxyyzzAAABBBABABABABeeeeee()()()xxxyyyzzzABABABABeee16:36第1章矢量分析291.2三种常用的正交坐标系两矢量的叉积()()()()()xxyyzzxxyyzzxyzzyyzxxzzxyyxxyzxyzxyzAAABBBABABABABABABAAABBBABeeeeeeeeeeee16:36第1章矢量分析301.2三种常用的正交坐标系微分元有向长度元有向面积元dddddddxxyyzzxyzlllxyzleeeeeeddddddddddxxyyzzxyzSSSyzxzxySeeeeeexyzodzdydxzyeSxxdddyxeSzzdddzxeSyyddd16:36第1章矢量分析311.2三种常用的正交坐标系体积元为ddddVxyzxyzodzdydxzyeSxxdddyxeSzzdddzxeSyyddd16:36第1章矢量分析321.2三种常用的正交坐标系位置矢量其微分元：xyzxyzreeeddddxyzxyzreeer*Mxyzxzyoxeyezecoscoscosxryrzr16:36第1章矢量分析331.2三种常用的正交坐标系圆柱坐标系坐标曲面：圆柱面、平面、半平面坐标变量：、和z，变化范围：0,0,z≤≤≤216:36第1章矢量分析341.2三种常用的正交坐标系基矢基矢e和e是变矢量，ez是常矢量(与直角坐标相同)。基矢相互正交且遵循右手螺旋法则0,,zzzzzeeeeeeeeeeeeeee16:36第1章矢量分析351.2三种常用的正交坐标系圆柱坐标系与直角坐标系中坐标变量之间的变换关系为22arctan()xyyxzzcossinxyzzyxPo图1.2.3直角坐标系与圆柱面坐标系的坐标的关系(,)xy16:36第1章矢量分析361.2三种常用的正交坐标系基矢e和e与直角坐标基矢的变换关系cossinsincosxyxyeeeeeecossinsincosxyeeeeeeyxexPoe图1.2.3直角坐标系与圆柱面坐标系的坐标单位矢量的关系eye单位圆16:36第1章矢量分析371.2三种常用的正交坐标系基矢间的关系可以用矩阵来表示cossin0sincos0001cossin0sincos0001xyzzxyzzeeeeeeeeeeee16:36第1章矢量分析381.2三种常用的正交坐标系基矢e和e都随变化的，且sincoscossinxyxyddddeeeeeeeecossinsincosxyxyeeeeee16:36第1章矢量分析391.2三种常用的正交坐标系任一矢量A可以表示为（同一点的）两矢量的和zzAAAAeee()()()zzzABABABABeee16:36第1章矢量分析401.2三种常用的正交坐标系（同一点的）两矢量的点积（同一点的）两矢量的叉积()()zzzzzzAAABBBABABABABeeeeee()()()()()zzzzzzzzzzzzAAABBBABABABABABABAAABBBABeeeeeeeeeeee16:36第1章矢量分析411.2三种常用的正交坐标系微分元有向长度元有向面积元dddddddzzzlllzleeeeeeddddddddddzzzSSSzzSeeeeee16:36第1章矢量分析421.2三种常用的正交坐标系体积元为ddddVz16:36第1章矢量分析431.2三种常用的正交坐标系位置矢量为其微分线元是zzreedd()d()ddddddzzzzzzreeeeeeeeyzxP00=0=0z=z0ezeeO16:36第1章矢量分析441.2三种常用的正交坐标系球坐标系坐标曲面：球面、锥面、半平面坐标变量：r、和，变化范围：0,0,0r≤≤≤≤≤2xzy=000r=r0=0P0O16:36第1章矢量分析451.2三种常用的正交坐标系基矢三基矢都是变矢量。其中e与圆柱坐标系中相同。三基矢相互正交且遵循右手螺旋法则0,,rrrrreeeeeeeeeeeeeeexzy=000r=r0=0ereeP0O16:36第1章矢量分析461.2三种常用的正交坐标系与直角坐标系的坐标变量之间的变换关系222222arccos()arctan()rxyzzxyzyxsincossinsincosxryrzrxzy=000r=r0=0P0O16:36第1章矢量分析471.2三种常用的正交坐标系与直角坐标系基矢之间的变换关系为sincossinsincoscoscoscossinsinsincosrxyzxyzxy