第六章最优控制问题的数值解

第六章最优控制问题的数值解直接法间接法第1节变分法近似求解简介1.1Ritz法维尔斯特拉斯逼近定理：若)(xf在],[ba上连续，则对任给的0，总存在一多项式)(xp，使得|)()(|xpxf若)(xf是),(上连续的2周期函数，则对任给的0，总存在三角多项式)(xT，使得|)()(|xTxf例1求泛函0)1(,0)0(,)(][102yydxyyxyJ的近似极值曲线)(*xy。例2求泛函0)1(,0)0(,)2(21][2102yydxxyyyyJ的近似极值曲线)(*xy。Ritz法的求解步骤：1.选取)()()()(2211*xcxcxcxynn，其中)}({xn为坐标函数系，2.将)()()()(2211*xcxcxcxynn代入][yJ得),,,()]([21*ncccxyJ3.令niccccni,,2,1,0),,,(21，解出nccc,,,21)()()()(2211*xcxcxcxynn即为近似极值曲线1.2有限差分法-Euler折线法为求泛函TxxTTyxyyxydxyyxFyJ0)(,)(,),,(][00的近似极值曲线)(*xy，我们将区间],[0Txx有限分割n等份，在每个小区间],[1kkxx上，取kkkkkkxyyxyxyyxyxx)()(),()(,1，则),,(),,(),,(1110101nnkkkkknkxxkkkyyIxyyxFdxyyxFJkk令,1,,1,0),,(11nkyyyIkn求出ky，由),(),,(,),,(),,(111100TTnnyxyxyxyx连成的折线就是近似极值曲线)(*xy，即1,,2,1],,[,)()(11111*nkxxxyxxxxyyxykkkkkkkk。