第六章极谱法

鲁东大学第1章矢量分析本章主要介绍与电磁场理论有关的矢量分析方法及定理主要内容矢量代数常用正交坐标系标量场的梯度矢量场的散度和旋度无旋场与无散场亥姆霍兹定理鲁东大学作业P311.11.91.131.151.181.221.251.28鲁东大学1.1矢量代数标量：只有大小没有方向的物理量（温度、高度、电压等）矢量：既有大小又有方向的物理量（力、速度、电磁场强度等）矢量的表示图示法：用一条有方向的线段表示，其长度表示矢量的大小即矢量的模，箭头指向表示矢量的方向书写法：粗体(印刷体）或在符号上加箭头，如A、b或1.1.1标量和矢量Ab、A矢量的几何表示注意：单位矢量不一定是常矢量。常矢量：大小和方向均不变的矢量。鲁东大学xxyyzzAAeAeAecoscoscosxyzAAAAAA(coscoscos)xyzAAeeecoscoscosAxyzeeee矢量用坐标分量表示单位矢量：模为1的矢量称为单位矢量，如eA，表示与矢量A同方向的单位矢量，显然有=cos+cos+cos或AxyzAAAAeeeeAe矢量的模：矢量A的模表示为AAAzAxAAyAzxy鲁东大学矢量的运算xxyyzzxxyyzzAeAeAeABeBeBeB()()()xxxyyyzzzABeABeABeAB说明：1.矢量的加法符合交换律和结合律：2.矢量的相加和相减可以用平行四边形法则来求解：ABABABAB1.1.2矢量的加法和减法鲁东大学关于矢量的加法和减法的说明设矢量A、B、C和D，且A＋B＝D，则ABBAABCABC　＋＋＝＋＋　交换律结合律ABAB－－　　相当于A加－BABDBAB－BA－BA和B首尾相接即为D鲁东大学1.1.3矢量的乘法矢量与标量相乘xxyyzzAkAekAekAekAekA标量与矢量相乘只改变矢量大小，不改变方向。矢量与矢量点乘(标积）ABAB1.一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，其结果是一个标量。两矢量点积的含义：zzyyxxABBABABABABAcos||||鲁东大学矢量与矢量叉乘（矢积）sin()()()xyznABxyzxyzxyzzyyzxxzzxyyxeeeABeABAAABBBeABABeABABeABABBABAAB矢积的大小为这两个矢量组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向。且符合右手螺旋法则。2.矢量的点积符合交换律和分配律：ABBACABACBA)(鲁东大学两矢量的矢积(叉积)通常利用行列式xyzxyzxyzeeeABAAABBBxe()yzzyAB-AB()ye()xzxzAB-ABze()xyyxAB-AB鲁东大学说明：1.矢量的叉积不符合交换律但符合分配律：ABBAABCABAC2.两个矢量的叉积为矢量3.矢量运算恒等式说明：矢量间不存在除法运算。——标量三重积——矢量三重积)()()()()()(BACCABCBABACACBCBA鲁东大学小结矢量的乘法设矢量A、B、C和标量k，且A和B的夹角为，则矢量与标量相乘：kA，仍为矢量矢量的点乘（点积、标积）矢量的点积为标量满足交换律和分配律矢量的叉乘（叉积、矢积）矢量的叉积为矢量不满足交换律满足分配律CABACBAABBAABBA)(cosCABACBAABBAABeBAn)(sin鲁东大学例1：在直角坐标系中，矢量由原点指向点P1(2,3,3)，矢量由P1指向点P2(1,-2,2)，求(1)矢量，幅值A以及单位矢量(2)矢量与Y轴的夹角(3)矢量(4)和之间的夹角ABAAAeBBA233xyzAeee解答：(1)22223322AA23322xyzAeeeAeA(2)夹角由下式确定：cos||AeAy2.50223cos||cos1-1-AeAy鲁东大学(3)(12)(23)(23)5xyzxyzBeeeeee(4)两矢量之间的夹角1.14527223152cos||||cos1-1-BABA鲁东大学三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。1.2三种常用的正交曲线坐标系在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角坐标系、圆柱坐标系和球面坐标系。三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量。鲁东大学1.2.1直角坐标系,,xyzeee单位矢量：，遵循右手螺旋法xxyyzzAAAAeee任意矢量：xyzxyzreee位置矢量：xxyyzzxxyyzzAeAeAeABeBeBeB设：()()()xxxyyyzzzABeABeABeAB对应分量积之和各分量为对应分量之和坐标系的构成zzyyxxBABABABA鲁东大学()()()xyzxyzxyzxyzzyyzxxzzxyyxeeeABAAABBBeABABeABABeABABxyzdredxedyedz与三个坐标单位矢量相垂直的三个面积元,,xyzdSdydzdSdxdzdSdxdy体积元dVdxdydz位置矢量r的微分：鲁东大学•直角坐标系（记住）xyzrexeyez位置矢量面积元线元矢量ddddxyzlexeyez体积元ddddVxyz坐标变量,,xyz坐标单位矢量,,xyzeee点P(x0,y0,z0)0yy（平面）oxyz0xx（平面）0zz（平面）P直角坐标系xezeyexyz直角坐标系的长度元、面积元、体积元odzdydxzySxdddyxSzdddzxSyddddydzdldldSzyxdxdzdldldSzxydxdydldldSyxz鲁东大学1.2.2圆柱坐标系zzAAAAeee任意矢量：zzree位置矢量：,,z基本变量：,,zeee位矢量：，遵循右手螺旋法单zzzzAeAeAeABeBeBeB设：zzzABeABeABeAB各分量为对应分量之和对应分量积之和zzBABABABA鲁东大学()()()zzzzzzzzeeeABAAABBBeABABeABABeABABzdredededz与三个坐标单位矢量相垂直的三个面积元,,zzdShhddzddzdSddzdSdd体积元zdVhhhdddzdddz位置矢量r的微分：各坐标方向上的增量拉梅系数（坐标增量与坐标微分之比）11,,zdddzhhhdddz鲁东大学在M点沿各方向的微分长度元dlρ=dρdlφ=ρdφdlz=dz面积元dSρ=dlφdlz=ρdφdzdSφ=dlρdlz=dρdzdSz=dlρdlφ=ρdρdφ体积元dv=dlρdlφdlz=ρdρdφdzxyzρdφdρMdz长度元，面元，体积元（直角坐标系dlx=dx,dsz=dxdy,dv=dxdydz）,;,;,ddzzdz鲁东大学•圆柱面坐标系(记住）,,z坐标变量,,zeee坐标单位矢量zreez位置矢量ddddzleeez线元矢量ddddVz体积元面积元dddldldSdzddldldSdzddldldSzzz鲁东大学1.2.3球坐标系rrAAAAeee任意矢量：rrre位置矢量：,,r基本变量：rrrrAAABBBAeeeBeee设：rrrABABABABeee各分量为对应分量之和对应分量积之和,,reee单位矢量：，遵循右手螺旋法BABABABArr鲁东大学()()()rrrrrrrrAAABBBABABABABABABeeeABeeesinrddrrdrdreee与三个坐标单位矢量相垂直的三个面积元2sin,sin,rdShhddrdddSrdrddSrdrd体积元2sinrdVhhhdrddrdrdd位置矢量r的微分：拉梅系数（坐标增量与坐标微分之比）1,,sinrhhrhr鲁东大学长度元，面元，体积元长度元dlr=drdlθ=rdθdlφ=rsinθdφ面积元dSr=dlθdlφ=r2sinθdθdφ…体积元dv=dlrdlθdlφ=r2sinθdrdθdφ,;,;,rrdrddθdrdφ0MNZYX鲁东大学球面坐标系（记住）球面坐标系球坐标系中的线元、面元和体积元,,r坐标变量,,reee坐标单位矢量rrer位置矢量dddsindrlererer线元矢量2dsindddVrr体积元面积元rdrddldldSdrdrdldldSddrdldldSrrrsinsin2鲁东大学1.2.4坐标变换cossinsincosxyxyzzeeeeeeeecossinxyzz圆柱坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系zyzyxxrosinr(,,)(,,)(,,)xyzMzrofxy单位圆直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系fxeyeefe鲁东大学球面坐标系与柱坐标系间单位矢量变换关系sincosrzrsincoscossinrzzeeeeeeeezyzyxxrosinr(,,)(,,)(,,)xyzMzroz单位圆柱坐标系与球坐标系之间坐标单位矢量的关系zeeree鲁东大学sincossinsincosxryrzrsincossinsincoscoscoscossinsinsincosrxyzxyzxyeeeeeeeeeee(,,)(,,)(,,)xyzMzr球面坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系zyzyxxrosinr222222rxyzθarccoszxyzφarctanyx鲁东大学•坐标单位矢量之间的关系xeyezeefezefcosfsin0fcosfsin0001直角坐标与圆柱坐标系efezereefesin0cossincos0001圆柱坐标与球坐标系zereefefcossincossinfcoscos0直角坐标与球坐标系xeyefsinsinfsincosfcosfsinoz单位圆柱坐标系与球坐标系之间坐标单位矢量的关系ofxy单位圆直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系fxeyeefezeeree鲁东大学cossin0sincos0001xyzzAAAAAA