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第二章静电场•静电场：静止电荷的电荷量不随时间变化时，由它产生的电场也不随时间变化，这种电场称为静电场。•静电场对于观察者是相对的。•同一电荷（位置不变）相对观察者是静止的，则观察者所测出的是电场；若观察者的位置相对于电荷是运动的，则观察者除了能测出电场外还能测出磁场。电荷守恒定理•电磁场物理模型中的基本物理量可分为源量和场量两大类。•源量为电荷q(r，t)和电流I(r，t)，分别用来描述产生电磁效应的两类场源。电荷是产生电场的源，电流是产生磁场的源。•本节讨论的内容：电荷模型、电流模型、电荷守恒定律电荷与电荷密度•电荷是物质基本属性之一。•1897年英国科学家汤姆逊(J.J.Thomson)在实验中发现了电子。•1907－1913年间，美国科学家密立根(R.A.Miliken)通过油滴实验，精确测定电子电荷的量值为•e=1.60217733×10-19(单位：C)•确认了电荷量的量子化概念。•换句话说，e是最小的电荷量，而任何带电粒子所带电荷都是e的整数倍。宏观分析时，电荷常是数以亿计的电子电荷e的组合，故可不考虑其量子化的事实，而认为电荷量q可任意连续取值。•理想化实际带电系统的电荷分布形态分为四种形式：点电荷、体分布电荷、面分布电荷、线分布电荷1.电荷体密度电荷连续分布于体积V内，用电荷体密度来描述其分布单位：C/m3(库仑/米3)•根据电荷密度的定义，如果已知某空间区域V中的电荷体密度，则区域V中的总电量q为•2.电荷面密度•电荷分布在薄层上的情况，当仅考虑薄层外，距薄层的距离要比薄层的厚度大得多处的电场，而不分析和计算该薄层内的电场时，可将该薄层的厚度忽略，认为电荷是面分布。面分布的电荷可用电荷面密度表示。•单位:C/m2(库仑/米2)如果已知某空间曲面S上的电荷面密度，则该曲面上的总电量q为•3.电荷线密度•在电荷分布在细线上的情况，当仅考虑细线外，距细线的距离要比细线的直径大得多处的电场，而不分析和计算线内的电场时，可将线的直径忽略，认为电荷是线分布。单位:C/m(库仑/米)•如果已知某空间曲线上的电荷线密度，则该曲线上的总电量q为•4.点电荷对于总电量为q的电荷集中在很小区域V的情况，当不分析和计算该电荷所在的小区域中的电场，而仅需要分析和计算电场的区域又距离电荷区很远，即场点距源点的距离远大于电荷所在的源区的线度时，小体积V中的电荷可看作位于该区域中心、电量为q的点电荷。点电荷的电荷密度表示2-1电场强度真空中静电场的基本规律静电场：由静止电荷产生的电场•重要特征：对位于电场中的电荷有电场力作用•2.1.库仑定律电场强度•1.库仑（Coulomb）定律(1785年)•真空中静止点电荷q1对q2的作用力:•（1）大小与两电荷的电荷量成正比，与两电荷距离的平方成反比；（2）方向沿q1和q2连线方向，同性电荷相排斥，异性电荷相吸引；（3），满足牛顿第三定律。•电场力服从叠加原理•真空中的N个点电荷（分别位于）对点电荷q（位于）的作用力为•2.电场强度、电通及电场线•电场对某点单位正电荷的作用力称为该点的电场强度，以E表示。•式中q为试验电荷的电量，F为电荷q受到的作用力。试验电荷的体积应该足够小，电量足够小（试验电荷的引入不致影响原来的场分布）•电场强度矢量——描述电场分布的基本物理量•根据上述定义，真空中静止点电荷q激发的电场为：•如果电荷是连续分布呢？•体密度为的体分布电荷产生的电场强度小体积元中的电荷产生的电场•面密度为的面分布电荷的电场强度•线密度为的线分布电荷的电场强度电通：电场强度通过任一曲面的通量称为电通，以表示,即电通的大小与电场强度E及面元dS方向有关。0;0;=0•电场线：为了形象描述电场强度的分布特性，使用一组曲线，令曲线上各点的切线方向表示该点的电场强度方向，这种曲线称为电场线。•电场线的矢量方程•只有当dl与E的方向一致时，矢积才能为零。•上式表示dl的方向与E的方向一致。•既然电场线上各点的切线方向表示该点的电场强度方向，而两条相交的曲线在交点处具有两个切线方向，因此，电场线不可能相交。•使用电场线围成电场管，那么，场所存在的整个区域可由电场管覆盖。显然，任一条电场管的不同横截面上的电通一定是相等的。几种典型的电场线分布•由此可见，电场线的疏密程度可以显示电场强度的大小。带电平行板正电荷负电荷2-2真空中的静电场•由亥姆霍兹定理知，无限空间的矢量场由其散度和旋度惟一地确定，矢量场的散度及旋度是研究矢量场特性的首要问题。•静电场是矢量场，首先需要讨论的是其电场强度的散度及旋度特性。•物理实验表明，真空中静电场的电场强度E满足下列两个积分形式的方程•式中0为真空介电常数。•左式称为高斯定理，它表明真空中静电场的电场强度通过任一封闭曲面的电通等于该封闭曲面所包围的电量与真空介电常数之比。右式表明，真空中静电场的电场强度沿任一条闭合曲线的环量为零。•由矢量场的散度定义：•上式对任何体积V均成立，因此，•真空中静电场的电场强度在某点的散度等于该点的电荷体密度与真空介电常数之比。•由矢量场的旋度定理式•考虑到•得，•由于上式对任一曲面S均成立，因此被积函数应该为零•根据上面两式可以求出电场强度的散度及旋度，即•（2-2-8）••（2-2-9）•上两式表明，真空中静电场是有散无旋场。•已知静电场的电场强度的散度及旋度以后，根据亥姆霍兹定理，电场强度E应为•式中，•由（2-2-8）、（2-2-9）得•（2-2-11）•那么，电场强度E为•（2-2-13）•标量函数Φ称为电位。上式表明，真空中静电场在某点的电场强度等于该点电位梯度的负值•按照国家标准，电位以小写希腊字母表示，上式应写为•将（2-2-11）代入（2-2-13）中，•已知电荷分布，根据上式可以直接计算其电场强度•若电荷分布在一个有限的表面上，或者分布在一个有限的线段内，那么可以类推获知此时电位及电场强度与电荷的面密度S及线密度l的关系分别为静电场特性的进一步认识•（1）高斯定律中的电量q应理解为封闭面S所包围的全部正负电荷的总和。•（2）静电场的电场线是不可能闭合的，而且也不可能相交。•（3）任意两点之间电场强度E的线积分与路径无关。真空中的静电场和重力场一样，它是一种保守场。•（4）已知电荷分布的情况下，可以利用高斯定理计算电场强度，或者可以通过电位求出电场强度，或者直接根据电荷分布计算电场强度等三种计算静电场的方法。几种典型电荷分布的电场强度•均匀带电直线段的电场强度：•（有限长）••（无限长）•均匀带电圆环轴线上的电场强度：•电偶极子是由相距很近、带等值异号的两个点电荷组成的电荷系统，其远区电场强度为电偶极子的电场强度•例1：计算均匀带电的环形薄圆盘轴线上任意点的电场强度。•解：如图所示，环形薄圆盘的内半径为a、外半径为b，电荷面密度为。在环形薄圆盘上取面积元，其位置矢量为，它所带的电量为。•而薄圆盘轴线上的场点的位置矢量为，因此有•由于2-3电位•1、静电场的电位φ与电场强度E的关系•（2-3-1）•通过电位可以计算电场强度。电位不仅是计算辅助量，而具有明确的物理概念。•设电荷q受到的电场力F，当该电荷在电场力F作用下产生位移dl时，电场力作的功为•当该电荷由P1点移至P2点时，电场力作的总功•静电场是保守场，任意两点之间电场强度的线积分与路径无关，因此对于上式积分可选任一条路径。将（2-3-1）代入上式•即•上式表明，静电场中P1点和P2点之间的电位差等单位正电荷在电场力作用下沿任一条路径由P1点移到P2点时，电场力作的功。•当电荷分布在有限区域时，电位值至少与观察距离的一次方成反比，因此，无限远处的电位值为零。•当P2点沿任一条路径移至无限远处时，P1点的电位•(该点与无限远处之间的电位差)•静电场中某点的电位，其物理意义是单位正电荷在电场力的作用下，自该点沿任一条路径移至无限远处过程中电场力作的功•原则上，电位参考点是任意的。电位的参考点不同，电位的数值也不同。•但是任意两点之间的电位差与电位参考点无关，因此电位参考点的选择不会影响电场强度值。电位分布图•等位面：电位相等的曲面称为等位面•式中，常数C等于电位值。•电场强度的方向是电位梯度的负方向，梯度方向总是垂直于等位面，因此电场线与等位面处处相互垂直。•若规定相邻的等位面之间的电位差相等，那么等位面密集处表明电位变化较快，因而场强较强。这样，等位面分布的疏密程度也可表示电场强度的强弱。•均匀电场的等位面必然是等间距的一系列平面。2-4介质的极化•当空间中存在介质时，场与介质相互作用。场对介质有影响，介质进一步的影响场——二者之间相互影响•电场与介质相互作用，介质中自由电子少，大部分电子被原子核束缚。在电场作用下，电子只能在原子和分子周围移动。通常认为介质不导电，是绝缘体。•强电场与介质相互作用，介质中的电子也有可能脱离原子核，成为自由电子，使介质能够导电，这种现象称为介质击穿。•致使介质发生击穿的电场强度称为击穿场强。•各种介质的击穿场强不同。正常气压下，空气击穿场强3X106V/m，硬橡胶60X106V/m，云母100X106V/m。•束缚电荷：在低于击穿场强的电场作用下，介质内部电荷不会自由运动，这些电荷称为束缚电荷。•介质对外不显电性•无极分子：原子的正、负电荷中心重合，因此对外产生的合成电场为零。•有极分子：原子的正、负电荷中心并不重合，每个原子形成一个电偶极子•由于这些电偶极子杂乱无章地排列，产生的合成电矩为零，即，式中为第i个电偶极子的电矩，因而对外产生的合成电场也为零。•在电场作用下，介质中束缚电荷发生位移，这种现象称为极化。通常，无极分子的极化称为位移极化，有极分子的极化称为取向极化。•极化结果：介质内部出现很多排列方向大致相同的电偶极子，这些电偶极子将产生电场。•极化后的介质中电场是外加电场与电偶极子电场的合成。•实际上，介质的极化现象是逐渐形成的。•电偶极子的电矩方向大致与外电场一致，因此，处于电偶极子中央部分的最强的二次电场方向总是与外加电场的方向相反，这将导致极化后的介质中合成电场总是小于外加电场。•如何衡量介质的极化程度？电极化强度•电极化强度：单位体积中电矩的矢量和，以P表示，即•物理无限小不同于数学无限小，物理无限小的尺度远大于分子和原子之间的间距，也就是说，远大于介质及场的微观不均匀性范围。但是，远小于介质及场的宏观不均匀性范围。•因此，引入物理无限小即可忽略介质及场的微观不均匀性。•电极化强度P与介质中的合成电场强度E之间关系•（2-4-2）•称为电极化率，它是一个正实数•这类介质的电极化强度与合成的电场强度的方向相同。•各向同性介质：电极化率与电场方向无关，这类介质称为各向同性介质。•极化强度的某一坐标分量不仅与电场强度相应的坐标分量有关，而且与电场强度的其他分量也有关。这类介质的极化强度P与电场强度E的关系可用下列矩阵表示•（2-4-3）•当电场强度的方向变化时，产生的电极化强度也不同。•各向异性介质：极化特性与电场强度方向有关的介质称为各向异性介质。•晶体就是一种典型的各向异性介质。例：云母•均匀介质：空间各点电极化率相同的介质称为均匀介质，否则，称为非均匀介质。•线性介质：电极化率的值与电场强度的大小无关的介质称为线性介质，否则，称为非线性介质。•（2-4-2）式中电极化率是一个正实常数，适用于线性均匀且各向同性介质•（2-4-3）的矩阵中各元素是一个实常数，该式适用于线性均匀且各向异性介质•介质的均匀与非均匀性，线性与非线性，各向同性与各向异性分别代表三个完全不同的概念。•静止介质：电极化率与时间无关的介质称为静止介质，否则称为运动介质。•极化电荷•由于极化，正负电荷发生位移，在电介质内部可能出现净余的极化电荷分布，同时在电介质的表面上有面分布的极化电荷•在电介质内任意作一闭合面S，只有电偶极矩穿过S的分子对S内的极化电荷有贡献。由于负电荷位于斜柱体内的电偶极矩才穿过小面元dS，因此dS对极化电荷的贡献为S所围的体积内的极化电荷为•（2-4-7）(1)极化电荷体密度紧