电磁场课件4边值问题分离变量法有限差分法

电介质在外电场作用下发生极化，形成有向排列的电偶极子，并在电介质内部和表面形成极化电荷。式中，为体积元内电偶极矩的矢量和，P的方向从负极化电荷指向正极化电荷。pV无极性分子有极性分子电介质的极化用极化强度P表示电介质的极化程度，即V0VpPlimC/m2电偶极矩体密度1.2.2静电场中的电介质1.2.3电介质中的静电场电介质中的高斯定理应写为：自由电荷极化电荷1()PSodqqES真空中的高斯定理为：SVoqddVES当有电介质存在时，电场可看成是自由电荷和极化电荷共同在真空中引起的。+SEqqPPPVVSqdVdVdPPS0()SVddVEPS0DEPSVddVDS1()PSodqqESVqdV自由电荷：极化电荷：代入，得引入：定义D为电通量密度，或电位移矢量，则高斯定律一般式为电介质中的高斯定律011SVSoddVdESPS整理，得1.3静电场的基本方程分界面上的衔接条件1.3.1静电场的基本方程静电场是一个无旋、有源场，静止电荷就是静电场的源。数学模型为：环路定理0ldElSVddVDS0EDEDE高斯定律积分形式微分形式引出计算量电场强度E的环路线积分恒等于零。电通量密度D的闭合面积分等于该面内所包围自由电荷的总电量。无旋场有源场包围点P作高斯面()。0L1.3.2分界面上的衔接条件（边界条件)1.D的衔接条件SSDSDn2n1则有SdqDS根据媒质分界面n1n2DD分界面两侧的电通量密度D的法向分量不连续，其不连续量就等于分界面上的自由电荷密度。当时，电通量密度D的法向分量连续。0n2n1DD2.E的衔接条件围绕点P作一矩形回路()。02LttEE12E的切向分量连续。0dllE根据01t21t1lElE则有媒质分界面分界面两侧电场强度E的切向分量连续，即两媒质相交面切向方向电场强度E相等。3.折射定理2121tantan折射定律n2n1DDt2t1EE222111coscosEE2211sinsinEE分界面上E线的折射2n1n0DD在媒质交界面上，若则，0它适用于无自由电荷分布的两种电介质分界面。0dlim0021ddlE4、的衔接条件设P1与P2位于分界面两侧，0d21因此分界面电位连续nn2211得电位的法向导数不连续又由于，n1n2DD电位的衔接条件nEDnED22n22n211n11n1,即说明（1）导体表面是等位面，E线与导体表面垂直；导体与电介质分界面例1试写出导体与电介质分界面上的衔接条件。解:分界面衔接条件t2t1n1n2EEDD，nn221121，＝n0,const2n2t0DE，导体中E＝0，分界面侧（2）导体表面上任一点的D等于该点的。解：忽略边缘效应1221021ddUE1221012ddUE1121EE22110SSq图(a)图(b)02211qSS2211例2试求两个平行板电容器的电场强度。2211EE02211UdEdE平行板电容器•实际电工中经常遇到的问题：给定空间某一区域内的电荷分布（或无电荷），同时给定该区域边界上的电位或电场（边值，或称边界条件），在这种条件下求该区域内的电位或电场强度分布。1.4边值问题、惟一性定理接地金属槽的截面y100V例：试求长直接地金属槽内电位的分布。静电场的边值问题1.4.1泊松方程与拉普拉斯方程2泊松方程E0EEEE2222222zyx2—拉普拉斯算子D02拉普拉斯方程当=0时所有静电场问题的求解都可归结为在一定条件下寻求泊松方程或拉普拉斯方程的解的过程。DE1.4.2边值问题（BoundaryProblem)边值问题微分方程边界条件初始条件场域边界条件分界面衔接条件强制边界条件有限值lim0r自然边界条件有限值rrlim泊松方程/2＝－拉普拉斯方程02＝21＝nn2211场域边界条件1）第一类边界条件（狄里赫利条件，Dirichlet)2）第二类边界条件（诺依曼条件Neumann)3）第三类边界条件已知边界上电位及电位法向导数的线性组合已知边界上导体的电位)(|1sfs已知边界上电位的法向导数(即电荷面密度或电力线))(2sfnS)()3sfnS＋（例1试写出长直同轴电缆中静电场的边值问题。解：根据场分布的对称性确定计算场域，边值问题022222yx（阴影区域）Ubxbybybx)0,0,(及0)0,0,(222yxayx(0,)0xxbyaEx0),0(axbyy缆心为正方形的同轴电缆0)dd(dd122222rrrr)(ra通解43221021)(16)(CrCrCrCrr例2求带电球体产生的电位及电场。解：采用球坐标系,分区域建立方程边界条件arar21ararrr2010有限值01r参考电位02r012212)dd(dd1rrrr)(ar体电荷分布的球体电场强度（球坐标梯度公式）：11)(rErararrreerE2022223)(得到rarararrar03222013)(0)3(6)(errrsin11eer＝arrrrr0301ee2泊松方程E0ED所有静电场问题的求解都可归结为在一定条件下寻求泊松方程或拉普拉斯方程的解的过程。(解二阶偏微分方程)DE微分方程边界条件外边界条件内分界条件21＝nn2211)()3sfnS＋（环路定律高斯定律静电场定解问题小结：静电场定解问题（边值问题）静电场定解问题静电场定解问题201.xdUA答案:（C）反证法1.4.3惟一性定理（UniquenessTheorem)例1.4.3图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？惟一性定理：在静电场中，满足给定边界条件的电位微分方程的解是惟一的。002.UxdUB003.UxdUC平板电容器外加电源U0电磁场问题求解•电磁场问题可以分为电磁场分析（正问题）、逆问题（含优化设计问题）和电磁场工程三个部分。求解电磁场问题的方法，归纳起来可分为三大类，分别是解析法、数值法和半解析数值法。数值计算方法包括有限元法（FEM）、时域有限差分法（FDTD）、矩量法（MOM）和边界元法等；解析法包括积分法、分量变量法、镜像法、电轴法等；半解析数值法是解析法和数值法的综合。1.5分离变量法分离变量法采用正交坐标系，将变量分离后得到微分方程的通解，当场域边界与正交坐标面重合或平行时，才可确定积分常数，得到边值问题的解。1.5.1解题的一般步骤：2）分离变量，将偏微分方程分离成几个常微分方程；3）解常微分方程，并叠加得到通解；1）写出边值问题（微分方程和边界条件）；4）利用边界条件确定积分常数，最终得到电位的特解。只含有一个变量的微分方程，采用积分法求解。含有两个变量的微分方程，可以采用分量变量法求解。例1.5.1试求长直接地金属槽内电位的分布。解:1）确定边值问题1.5.2应用实例1.直角坐标系中的分离变量法（二维场）xayxaxayayaxaxyayxsin100000,0,0,00,022222（D域内）图1.5.1接地金属槽的截面yxasin1002）分离变量试探解)()(),(21yxyx2222d0dy2112d0dx，则-分离常数,220,00,nnkk＝和有22122212dd11ddxy设0dd1dd122222121yx代入微分方程得222220xy电位方程为——二阶常系数齐次方程——拉普拉斯方程双曲函数212222d0dd0dxy2211222222d0dd0dnnkxky1()cossinnnnnxAkxBkx100()xAxB200()yCyD2()nnnnyCshkyDchky1()nnjkxjkxxAeBe120000(,)()()()()xyxyAxBCyD即kn为实数时，12(,)()()(cossin)()nnnnnnnnxyxyAkxBkxCchkyDshky若，20nk若，20nk()(cossin)nnnnnnnnAchkxBshkxCkyDky若，20nk2()nnkykyyCeDesinh()2cosh()2xxxxeexeex3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。4）利用给定边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。00B''sin'sin0nnnnnBDkaFka(1,2,3)nnkna0)0000axyaA左侧0)00000nbyxaCC底)00cxaya右侧yanshxanFyx1nn)sin('),(图1.5.1接地金属槽的截面yxasin100))sh(')ch('))(sin(')cos('())sin()cos())(sh()ch((11ykDykCxkBxkAykDykCxkBxkAnnnnnnnnnnnnnnnnnn))(()()(000021yDCxBAyx通解'1sin()('ch()'sh())nnnnnnnBkxCkyDky(,)xy沿x方向作正弦变化，知0nnnABA题设''1sin()sh())nnnnnBDkxky)πsin()π(sh')πsin(1001xannFaxnn比较系数求常数当时，1n)πsh()πsin(shπ100),(yaxayx当时，1n100shπ'1Fshπ100'1F1ππ(,)'sin()sh()nnnnxyFxyaa等式无法成立！若金属槽盖电位，再求槽内电位分布？0U＝通解)π(sh)πsin),1yanxanFyxnn（（)πsin()πsin()π(sh110xanExannFUnnnn＝等式两端同乘以，然后从积分xamπsina0(1)d)πsin()πsin(d)πsin(1000xxamxanExxamUnana左式)πcos1(π0mmaU1,3,5,...π20,2,4,...00mmaUm当时，0U＝ay右式＝nmEaxxanEnmnn2d)π(sin02a0代入式（1）)πsh('22π20nFaEamaUnn代入通解)πsh()πsin(πsh1π4),(10yanxannnUyxnn＝奇数1,3,5,...ππsh4'0nmnnUFn图1.5.3接地金属槽内的等位线分布解：1）取圆柱坐标系，边值问题001)(1222122112aa0