电磁场与天线复习题(答案)

1第1~2章矢量分析宏观电磁现象的基本规律1.设：直角坐标系中，标量场zxyzxyu的梯度为A，则M（1，1，1）处A=，A0。2.已知矢量场xzexyezyeAzyxˆ4ˆ)(ˆ2，则在M（1，1，1）处A9。3.亥姆霍兹定理指出，若唯一地确定一个矢量场（场量为A），则必须同时给定该场矢量的旋度及散度。4.写出线性和各项同性介质中场量D、E、B、H、J所满足的方程（结构方程）：。5.电流连续性方程的微分和积分形式分别为和。6.设理想导体的表面A的电场强度为E、磁场强度为B，则（a）E、B皆与A垂直。（b）E与A垂直，B与A平行。（c）E与A平行，B与A垂直。（d）E、B皆与A平行。答案：B7.两种不同的理想介质的交界面上，（A）1212,EEHH（B）1212,nnnnEEHH(C)1212,ttttEEHH(D)1212,ttnnEEHH答案：C8.设自由真空区域电场强度(V/m))sin(ˆ0βzωtEeEy，其中0E、ω、β为常数。则空间位移电流密度dJ（A/m2）为：（a）)cos(ˆ0βzωtEey（b）)cos(ˆ0βzωtωEeyˆˆˆ222xyzeeeAAEJHBED,,tqSdJStJ2（c）)cos(ˆ00βzωtEωey（d）)cos(ˆ0βzωtβEey答案：C9.已知无限大空间的相对介电常数为4r，电场强度(V/m)2cosˆ0dxeEx，其中0、d为常数。则dx处电荷体密度为：（a）d04（b）d004（c）d02（d）d002答案：d10.已知半径为R0球面内外为真空，电场强度分布为)R()sinˆcos2ˆ()R()sinˆcosˆ(20300reerBreeRErr求（1）常数B；（2）球面上的面电荷密度；（3）球面内外的体电荷密度。Sol.(1)球面上由边界条件ttEE21得：sinsin2300RBR202RB（2）由边界条件snnDD21得：cos6)()(00210210REEEErrnns（3）由D得：)R(0)R(0)sin(sin1)(10002200rrErrErrEr即空间电荷只分布在球面上。11.已知半径为R0、磁导率为的球体，其内外磁场强度分布为)R()sinˆcos2ˆ(A)R()sinˆcosˆ(2030reerreeHrr且球外为真空。求（1）常数A；（2）球面上的面电流密度JS大小。Sol.球面上（r=R0）：rH为法向分量；H为法向分量（1）球面上由边界条件nnBB21得：rrHH201300RA（2）球面上由边界条件sttJHH21得sin)2(|)(0210RrsHHJ3第3章静电场及其边值问题的解法1.静电场中电位与电场强度E的关系为；在两种不同的电介质（介电常数分别为1ε和2ε）的分界面上，电位满足的边界条件为。2.设无限大真空区域自由电荷体密度为ρ，则静电场：E0，E=。3.电位和电场强度E满足的泊松方程分别为、。4.介电常数为的线性、各向同性的媒质中的静电场储能密度为。5.对于两种不同电介质的分界面，电场强度的切向分量及电位移的法向分量总是连续的。6.如图，1E、2E分别为两种电介质内静电场在界面上的电场强度，，30°，则60°，||||21EE。7.理想导体与电介质的界面上，表面自由电荷面密度s与电位沿其法向的方向导数n的关系为。8.如图，两块位于x=0和x=d处无限大导体平板的电位分别为0、U0，其内部充满体密度exd)的电荷（设内部介电常数为）。（1）利用直接积分法计算0xd区域的电位及电场强度E；（2）x=0处导体平板的表面电荷密度。Sol.为一维边值问题：)(x)1(dd00222dxex边界条件：0)0(x，0)(Udx（1）直接积分得：xedddUexexdddx)]1([)2()(20002001θ2θ1E2E1ε2εE121212nn；22E2E21mw3sn0102Uoxd4)]1()([ˆˆ)(200000ddxxxedddUxeedxdexE（2）由sn得：00000)(xxsxExn)]11(1[20000dedddUd9.如图所示横截面为矩形的无限长直导体槽，内填空气。已知侧壁和底面的电位为零，而顶盖的电位为V0。写出导体槽内电位所满足的微分方程及其边界条件，并利用直角坐标系分离变量法求出该导体槽内的电位分布。Sol.（略）见教材第82页例3.6.110.如图所示，在由无限大平面和突起的半球构成的接地导体上方距离平面为d处有一个点电荷q0。利用镜像法求z轴上za各点的电位分布。Sol.空间电荷对导体表面上部空间场分布的影响等效于：无限大接地导体平面+接地导体球边界条件：0球面平面使0平面，引入镜像电荷：0,qqdz使0球面，引入镜像电荷：022220121||,||,qdaqzaqdazazqdaqdazz轴上za各点的电位：dzqzzqzzqdzq221100||41dzadzadzq12||1442230011.已知接地导体球半径为R0，在x轴上关于原点（球心）对称放置等量异号电荷+q、-q，位置如图所示。利用镜像法求（1）镜像电荷的位置及电量大小；（2）球外空间电位；（3）x轴上x2R0各点的电场强度。Sol.(1)引入两个镜像电荷：22001qqRRq，2200201RRRx2)(2002qqRRq，2200202RRRx（2）RqRqRqRqzyx2211041),,(（略）zdx0q0loazq2z1z1q2qoqqx0R0R0R1q1x2x2q52220)2(zyRxR，22201)2/(zyRxR22202)2/(zyRxR，2220)2(zyRxR（3）x轴上x2R0各点的电场强度：20202020)2()2/(2/)2/(2/)2(ˆRxqRxqRxqRxqeEx12.如图所示，两块半无限大相互垂直的接地导体平面，在其平分线上放置一点电荷q，求（1）各镜像电荷的位置及电量；（2）两块导体间的电位分布。Sol.（1）01qq，)0,0,(a02qq，)0,,0(a03qq，)0,0,(a（2）33221100041),,(RqRqRqRqzyx（略）其中：2220)(zayxR2221)(zyaxR2222)(zayxR2223)(zyaxRyx0q450,,0Pa451q2q3q)0,,0(a)0,0,(a)0,0,(a6第4章恒定电场与恒定磁场1.线性和各项同性的均匀导电媒质内部电荷体密度等于0，净余电荷只能分布在该导电媒质的表面上。2.线性和各项同性的均匀导电媒质中，J0；D0。3.在电导率不同的导电媒质分界面上，电场强度E和电流密度J的边界条件为：、。4.在电导率为的导电媒质中，功率损耗密度pc与电场强度大小E的关系为。5.恒定磁场的矢量磁位A与磁感应强度B的关系为；A所满足的泊松方程为。6.对线性和各项同性磁介质（磁导率设为），恒定磁场（磁场强度大小为H）的磁能密度mw，V空间磁能Wm=。7.已知恒定电流分布空间的矢量磁位为：CxyzexyeyxeAzyxˆˆˆ22，C为常数，且A满足库仑规范。求（1）常数C；（2）电流密度J；（3）磁感应强度B。（直角坐标系中：)(ˆ)(ˆ)(ˆyaxaexazaezayaeaxyzzxyyzx）Sol.(1)库仑规范：0A4022CCxyxyxyzAyAxAzyx(2)由JμA2，xyzexyeyxeAzyx4ˆˆˆ22得：xeyezAyAxAAJyx2ˆ2ˆ112222222(3)AB)(ˆ4ˆ4ˆ22xyeyzexzezyx8.(P.136.习题4.2)在平板电容器的两个极板间填充两种不同的导电媒质（11,和22,），其厚度分别为1d和2d。若在两极板上加上恒定的电压0U。试求板间的电位、电场强度E、电流密度J以及各分界面上的自由电荷密度。Sol.用静电比拟法计算。用电介质（和）替代导电媒质，静电场场强分别设为E1、E222112102211EEDDUdEdE)(ˆ)(0ˆ21211201212112021dxdddUeEdxddUeExxttEE21nnJJ212EpcABJμA2221HdVHV2217电位移：21120211121ˆddUeEDDx)()()()(0)(2021121121121112112021dxdUdddxdxEdEdxxddUxEx1静电比拟：，，，εσDJEE，则导电媒质中的恒定电场：)()()(02021121121212112021dxdUdddxdxxddU1)(ˆ)0(ˆ)(22112011211202dxdddUedxddUexE1xx2112021ˆddUeJx211202111110ddUxnxs21120122222)(21ddUxnddxs21120122122112211)(111ddUxxnndxdxdxs可知：非理想电容器两极上的电荷密度为非等量异号210ddxsxs。只有理想电容器才有电容定义。9.一横截面为正方形的扇形均匀导电媒质，其内、外半径分别为a、2a，电导率为。如图建立圆柱坐标，若电位02U（常量）及00。求（1）导电媒质上电位分布以及恒定电场的电场强度E；（2）该情况下导电媒质的直流电阻R。Sol.由边界条件可知，导电媒质上电位仅与坐标有关，即()（1）202221d0dAB由02U及00得：02()Uoxaa2a（第9题图）Py)8E0211zUeeeez（2）021UJEe2200221d(d)(d)ln2aaSaaUaUIJSJ