第六章点估计

信息与计算科学《概率论与数理统计》教案—58—第六章点估计一、教学目标与要求掌握求矩估计和极大似然估计的方法，矩估计和极大似然估计的性质，估计量的评价标准。了解点估计的概念，最优无偏估计的概念。二、重点和难点重点：两种估计求法，估计量的评价标准。难点：估计量的评价。三、教学内容§6.1点估计的基本概念针对总体的未知参数，构造统计量),,,(ˆˆ21nXXX，用),,,(ˆ21nxxx作为的近似值（估计值），这种统计方法称为参数的点估计。称统计量),,,(ˆ21nXXX为的估计量。今后凡求的估计即求的估计量，不是求估计值。§6.2矩估计和极大似然估计一.矩估计原理：kPnkiEXXn11（辛钦大数定律）步骤：1.求sKfEXskk,,2,1).,,,(212.令sKfXnsknKi,,2,1),ˆ,,ˆ,ˆ(12113.解方程组2.得解sˆ,,ˆ,ˆ21，此即s,,,21的矩阵估计。例1.nXX,,1是来自母体X的样本，2,DXEX，求2,的矩估计。信息与计算科学《概率论与数理统计》教案—59—例2.),1(~pBX，求p的矩估计。例3.)(),,(~babaUX，求ba,的矩估计。注：若ˆ是的矩估计，则)ˆ(g是)(g的矩估计。二.极大似然估计（最大似然估计）1.原理：一个随机试验可能出现的结果有,,,CBA等，若一次试验出现了结果A，则认为A发生的概率在所有可能结果中出现的概率最大。（试验条件最有利于A出现）设总体X的分布律为),,,(),;(21nxxxxf，nxxx,,,21是样本值，则发生事件),,,(2211nnxXxXxX的概率：)(ˆ);(),,,(12211LxfxXxXxXPniinn。既然在一次试验中出现结果（nxxx,,,21），根据极大似然原理，则认为此概率)(L应达到最大。此时若有ˆ，使)(sup)ˆ(LL，则称ˆ为的极大似然估计。2.步骤：1)写出似然函数niixfL1);()(，);((ixf为概率函数）；（概率函数);((ixf：当总体是离散型时为事件的概率；当总体是连续型时为密度函数值。）2)求ˆ，使)(sup)ˆ(LL，ˆ为的极大似然估计。i)取对数nixfL1);(ln)(ln信息与计算科学《概率论与数理统计》教案—60—ii)令sjLjs,,2,1,0),,(ln1iii)解上式得驻点，检验各驻点是否为最大值点，若是，则该驻点为所求。例1X～),(2N，求2,的极大似然估计。例2X～),1(pB，求p的极大似然估计。例3X～),(baU，求ba,的极大似然估计。例4（5,208P）3极大似然估计的性质定理：ˆ是极大似然估计，)(uu存在单值反函数，)(u，则)ˆ(ˆuu是)(u的极大似然估计。（此定理对参数向量也成立）证：（略）例5（7,209P）例6设12，15，9，18，13，9，7，11，13，10是来自总体),(~2NX的样本值，求)10(XP的极大似然估计。)068.3)(1,7.11(12niinxxnsx§6.3估计量的评价1、无偏性：定义：ˆ是的估计量，若,ˆE，则称ˆ是的一个无偏估计。如X是EX的无偏估计，1X是EX的无偏估计。212)(1niinXXnS不是总信息与计算科学《概率论与数理统计》教案—61—体方差2的无偏估计，因为2221nnESn，而212)(11niiXXnS是总体方差2的无偏估计。2、有效性：定义：21ˆ,ˆ都是的无偏估计，如果1ˆD，2ˆD都存在，且1ˆD2ˆD，，则称1ˆ较2ˆ更有效。如：X，1X它们都是总体均值的无偏估计，XD=122DXn，所以X较1X有效。可以证明样本均值X是总体均值的最小方差无偏估计。3、一致性（相合性、相容性）：定义：nˆ是的估计量，若nˆP，则称nˆ是的一致估计。矩估计都是一致估计。如X是总体均值的一致估计，2nS是总体方差2的一致估计等。例1设为总体X～其它,0,.)()1(cxxfxc,其中0c为已知，1为未知参数，求的矩估计和极大似然估计。