第六章弯曲变形材料力学Sky出品(华理的学弟学妹们,膜拜你们伟大的学姐吧~)

第六章弯曲变形6.1工程的弯曲变形问题若变形超过允许数值，即使仍然是弹性的，也被认为是一种失效现象。6.2挠曲线的微分方程在外载（横向外力或力偶）作用下，梁的轴线由直线变为曲线，弯曲后的轴线称梁的挠曲线在对称弯曲条件下，挠曲线是一条连续、光滑的平面曲线弯曲变形时，梁轴线上的每一点即存在沿y方向的位移，也存在沿x方向的位移（由于轴线处在中性层，轴线不可伸长）在小变形的假定下，轴线上的每一点沿x轴方向的位移很小，可以忽略不计，而只考虑沿y方向的位移轴线上的每一点沿y轴方向的位移称为梁的挠度，即横截面形心在垂直于轴线方向的位移称为梁的挠度。一般用y=w(x)表示，并且以向上为正横截面相对于其原位置所转过的角度称为梁的截面转角。一般用(x)表示截面转角，并且以逆时针为正忽略横截面的剪切变形，变形后的横截面仍保持平面，并且与挠曲线垂直（平截面假设）。则转角等于挠曲线在该点的切线与x轴的夹角刚度条件：][][maxmaxww挠度w和转角是梁弯曲变形的两个基本量绕曲线的微分方程：2/32'''2/3222)(1)(11wwdxdwdxwd根据小变形假设：)(ddtan'xwxw由于绕曲线极其平坦，|w´|=||1，可近似地认为''221wdxwd梁挠曲线的近似微分方程：EIxMxww)(dd22''01,0''wM01,0''wM等截面直梁挠曲线微分方程的几种形式1、已知梁横截面上的弯矩M(x)：EIxMxww)(dd22''2、已知梁横截面上的剪力Fs(x)：EIxFEIxMxxww)()(dddds33'''3、已知梁上的横向载荷q(x)：EIxqEIxMxxww)()(dddd2244''''6.3用积分法求弯曲变形CxxMEIwd)(1'DCxxxxMEIxxwd)d)((1d)(边界条件：1、在固定端，挠度和转角都等于02、在铰支座上，挠度等于03、在弯曲变形的对称点上，转角等于0连续性条件：在挠曲线的任意点上，有唯一确定的挠度和转角。例：边界条件：0,0,021wlxwx连续条件：'2'121,,wwaxwwax最大挠度：当0'w，即=0时，w为极值最大转角：0''EIMw，即M=0时，为极值在简支梁中，只要挠曲线上无拐点，总可以用跨度中点的挠度代替最大挠度，并且不会引起很大误差。阶梯函数法阶梯函数（Heaviside函数）的定义000010xxxxxx利用阶梯函数可以避免连接条件，简化问题的求解例：梁横截面上弯矩可以统一表示为0)()(axaxFxlFbxM6.4用叠加法求弯曲变形弯矩，剪力和载荷集度均与挠度无关，仅为坐标x的函数挠曲线方程为线性微分方程，同时，通常边界条件关于挠度也是线性的。因此，从数学上看为线性微分方程边值（初值）问题，叠加原理成立叠加原理：在若干载荷作用下，梁上任一截面的挠度、转角等于各个载荷单独作用下该截面的挠度、转角之和剪力由支座承受，不会引起梁的弯曲例：图示的等截面外伸梁，AB段的抗弯刚度为EI1，BC段的抗弯刚度为EI2，在BC段有均布载荷q的作用，求截面C的转角和挠度对问题I，由于梁AB段内的剪力和弯矩为零，所以，AB段不发生变形而BC段相当于悬臂梁，故问题I可等价于问题I´利用悬臂梁的结论，可得梁截面C处的挠度w1c和转角q1c分别为2312416,8EIqaEIqawcc对问题II，剪力qa由支座B承受，不会引起梁的弯曲，仅有弯矩qa2/2的作用由于梁BC不受力，仅考虑简支梁AB的弯曲变形，梁截面B处的转角为qB为126EIlqaB利用连续条件，梁BC为直线，梁截面C处的挠度w2c和转角q2c分别为（注意叠加法求挠度时，这段连接处转角乘上长度便知端面挠度，但要取反值：画图便知）12213266EIlqaEIlqaawBcBc因此，原问题截面C处的总挠度和转角分别为2312212413216686EIqaEIlqaEIqaEIlqa6.5简单超静定梁例：如图所示的梁AB，其抗弯刚度为EI，试求梁的支座反力解除固定端A，B两处的所有约束。此问题共有六个未知的约束反力。三次超静定问题利用对称性，可知BABABAMMFFFF,,RRHHFFFFFFBABARRRR2利用对称性，问题简化为一次超静定，未知量为弯矩MA(=MB)利用对称性，可考虑原问题的一半，由对称性知，梁中间截面E只存在弯矩ME由梁的基本变形结论知，在载荷F单独作用下，截面E处的转角为EIFaE221在弯矩ME单独作用下，截面E处的转角为EIaMEE22根据叠加原理，梁截面E处的转角为021EEE（变形协调条件）4/FaME固定端A处的支反力偶为43FaMFaMEA利用反对称性，求解如下梁的弯曲变形问题6.5简单超静定梁1、改善结构的形式，减少弯矩的数值在结构允许的条件下，应使轴上的齿轮、胶带轮等尽可能地靠近支座。把集中力分散成分布力，取得减小弯矩降低弯曲变形的效果2、减少跨度，增加支承在集中力的作用下，挠度与跨度的三次方成正比。增加支承。3、合理安排梁的截面形状