电磁波第6章典型例题解析

例1均匀平面波从自由空间垂直入射到某介质（参数为、0）平面时，在自由空间形成驻波。设驻波比为2.7，介质平面上为驻波电场的最小值点，求介质的介电常数。分析根据已知的驻波比和介质平面上为驻波电场的最小值点，可以确定反射系数的值，再由反射系数的值，即可求得介质的介电常数。解：由驻波比为maxmin12.71ESE此题中为反射系数1.73.7由于介质平面上为驻波电场的最小值点，所以反射系数应为负数，即1.73.7p23421211.73.7000127.217.214.52即07.2100即得200(2.7)7.3评注均匀平面波垂直入射到理想介质分界平面上，当反射系数为正时，分界平面上为合成波电场振幅的最大值点；当反射系数为负时，分界平面上为合成波电场振幅的最小值点。P234例2一均匀平面波沿z方向传播，其电场强度矢量为100sin()200cos()/xyEetzetzVm应用麦克斯韦方程求相伴的磁场H；若在传播方向上0z处，放置一无限大的理想导体平板，求0z区域中的合成波的1E和1H；求理想导体板表面的电流密度。分析本题要求用麦克斯韦方程求相伴的磁场，可先将所给电场写成复数形式，然后用复数形式的麦克斯韦方程求出磁场。解为了运算方便，用复数表示（1）(100200)jzixyjeEee代入麦克斯韦方程HE0j01()0xyziiixiyzjxyzEEeeeHE01()iyxxyEEjzzee01(200100)jzxyjeee写成瞬时表达式(,)Re[()]jtiiztzeHH01[200cos()100cos()]2xytztzee（2）设反射波的电场为()()yxjjjzrxrxyryzEeEeeEee由理想导体表面的边界条件0[]0zirzeEE(100)(200)0yxjjxrxyryjEeEeee由此得100,2rxxE，200,0ryyE故(100200)jzrxyjeEee反射波的磁场为0011()()(200100)jzrzrxyzjeHeEee在0z区域的合成波0(200400)sin1(400200)cosirxyirxyjzjzEEEeeHHHee11（3）理想导体表面的电流密度为0002200400[]0.531.06SzzxyjxyjeJeHeeee1评注先将场量的瞬时形式写成复数形式，然后用复数形式的麦克斯韦方程求解，可避免对时间的积分运算。例4一平面波从某介质斜入射到介质与空气的分界面，试计算：（1）当介质分别为水)81(r、玻璃)9(r和聚苯乙烯(2.56)r时的临界角；（2）若入射角使波恰好掠过分界面，波在空气中的衰减常数；（3）若入射角bi，则波全部透射入空气。试计算上述三种介质的b。分析本题涉及平面波从介质斜入射到与空气的分界面时一些相关量的计算，直接根据相关公式计算。解（1）临界角21arcsin()c故介质为水时1arcsin()6.3881c介质为玻璃时1arcsin()19.479c介质为聚苯乙烯时1arcsin()38.682.56c（2）按题意，2i，据折射定律tinnsinsin21得rtsin，可见t没有实数解，而应取复数值。故得衰减常数121sin12rrtkjkp247(6.3.39)对于水2.561812对于玻璃8.17192对于聚苯乙烯84.7156.22（3）布儒斯特角21arctan()b对于水1arctan()6.3481b对于玻璃1arctan()18.439b对于聚苯乙烯1arctan()322.56b评注临界角c与布儒斯特角b都与介质的介电常数成反比，介电常数的值越大，c和b越小。例5在4r、1r的半无界电介质中，有一均匀平面波入射到0z处与空气相交的边界上。已知电介质中入射波的电场为4(3)()310V/mjxziyeEre求：（1）入射波的波长、相速、频率及磁场()iHr；（2）入射角、反射角、折射角和临界角；（3）空气中的透射波电场()tEr和磁场()tHr；（4）透射波的平均坡印廷矢量。分析本题涉及垂直极化波对介质与空气分界面的斜入射，首先由入射波的表达式确定出入射波的波矢量，然后利用相应的公式计算。解（1）由3ixzkr得入射波的波矢量为3ixzkee即1ixk、3izk、132ik，故入射波的波长为223.142m2iik相速为80011.510m/s4rcv频率为861.51047.7510Hz3.142ivf入射波的磁场为11()()iiiHreEr4(3)11(3)310602jxzxzyeeee4(3)10(3)40jxzxzeeeA/m（2）由iiixkksin得，1=2isin，故入射角为1arcsin()302i反射角为30ir又据折射定律tinnsinsin21式中10042nc、2001nc故折射角为12arcsin(sin)arcsin(2sin30)90tinn临界角为1arcsin()304c（3）透射系数2212cos2coscosiit透射波的波矢量txtxztzxixxkkkkeeee(这里由第二问可知,入射角恰好为临界角,故投射波沿x方向,由投射定律知0sinsinsin90iitttkkk故空气中透射波的电场为44()310610tjkrjxtyyeeEree磁场为44110()61012020jxjxtxyzeeHreee可见，空气中的透射波沿x方向传播。（4）透射波的平均坡印廷矢量为4*41110Re[()()]Re[610]2220jxjxavtttyzeeSErHree104.7710xe2W/m可见，在z方向传播的平均功率密度为0。评注本题中波的入射角恰好等于临界角，因此透射波沿分界面传播方向传播。例6有一正弦均匀平面波由空气斜入射到0z的理想导体平面上，其电场强度的复数表示式为(68)(,)10V/mjxziyxzeEe求波的频率和波长；写出),,(tzxiE、),,(tzxiH的瞬时表示式；确定入射角；求反射波的),(zxrE、),(zxrH；求总场),(1zxE、),(1zxH；分析本题涉及垂直极化波对理想导体平面的斜入射，首先由入射波的表达式确定出入射波的波矢量，然后利用相应的公式计算。解（1）由已知的(68)(,)10jxziyxzeEe，得sin6ixikk，cos8izikk故2210ixizkkk则220.628(m)10k883104.7810(Hz)0.628cf(2)(,,)Re(,)jtiixztxzeEE910cos(31068)(V/m)ytxze相应的磁场01(,)iiixzHeE其中ie是入射波传播方向的单位矢量，为/0.60.8iixzkekee故(68)0(68)1(,)(0.60.8)1011()1520jxzixzyjxzxzxzeeHeeeee其瞬时值表示式则为(,,)Re(,)jtiixztxzeHH911()cos(31068)A/m1520xztxzee（3）由cos(0.60.8)0.8iizxzzeeeee，可得到入射角为arccos(0.8)36.9i（4）由0z处边界条件，得反射波电场幅值为10rmE(由理想导体必发生全反射可知反射系数为-1,等于rmimEE)又0.60.8rxzeee故(68)(,)10jxzryxzeEe(68)0111(,)(,)()1520jxzrrrxzxzxzeHeEee（5）总电场为(68)(68)1(,)(,)(,)1010jxzjxziryyxzxzxzeeEEEee688610()20sin8jxjzjzjxyyeeejzeee总磁场为16(,)(,)(,)21(cos8sin8)1510itjxxzxzxzxzzjzeHHHee评注合成波沿x方向传播，振幅沿z方向成驻波分布，是非均匀平面波；合成波电场与传播方向垂直，而磁场有沿传播方向的分量，因此是TE波。