第六章第1-2节频率与概率;投针实验

第1页版权所有不得复制年级初三学科数学版本北师大版内容标题第六章第1~2节频率与概率，投针实验编稿老师王威【本讲教育信息】一、教学内容频率与概率，投针实验二、教学目标1、通过实验、统计等活动过程，在活动中促进知识的学习，并进一步培养学生之间合作交流的意识和能力。2、通过实验，让学生体会频率的稳定性，理解事件发生的频率与概率之间的关系，加深学生对概率的理解，进一步体会概率是描述随机现象的数学模型。三、知识要点1、频数、频率、概率对一个随机事件做大量试验时会发现，随机事件发生的次数（也称为频数），与试验次数的比（也就是概率）总在一个固定数值附近振动，这个固定的值就叫随机事件发生的概率，概率的大小反映了随机事件发生的可能性的大小。2、概率的性质：P（必然事件）=1，P（不可能事件）=0，0P（不确定事件）13、频率与概率的区别与联系：频率与概率是两个不同的概念，概率是伴随着随机事件客观存在着的，只要有一个随机事件存在，那么这个随机事件的概率就一定存在，而频率是通过实验得到的，它随着实验的次数变化而变化的，但当试验的重复次数充分大后，频率在概率附近摆动，为了求出一随机事件的概率，我们可以通过多次实验，用所得的频率来估计事件的概率。4、计算简单事件发生的概率可以通过列表或画树状图（注意：用列表法或树状图求概率时，应注意各种结果出现的可能性务必相同。）5、用试验的方法求概率的步骤：①试验：为增大试验次数，通常分几组在相同的条件下同时进行，各组再研究事件发生的次数和试验总次数。②统计：将各组试验所统计的事件的发生次数加起来。再除以各组试验总数之和，从而得到事件发生的频率；③估计概率：试验统计所得的频率值可以“认定”为事件发生的概率。6、投针试验：在平面上画一些平行线，相邻两条平行线间的距离都为a，向此平面内任投一长度为第2页版权所有不得复制all的针，记录针与平行线相交或不相交的次数来估计与平行线相交的概率。注意：（1）因为试验的结果与la和的值相关，la,不同，试验的结果不同，所以分小组进行时，la和的值要相同。（2）试验次数要保证足够大，投针时必须从一定的高度自由落下，保证投针的随意性。由试验我们总结出一个计算公式：alP2。因为这个公式和圆周率有关，所以可以用这个公式来估计的值。注意：由于相交和不相交的可能性不相同，所以不能用列表法或树状图求出该针与平行线相交的概率，因此，对这一类事件，虽无法从理论上推算出其概率，我们可以借助实验来估算它们发生的概率的大小。四、重点难点重点：1、通过实验，理解当实验次数较大时，实验的频率稳定于理论概率，并据此估计某一事件发生的概率。2、用列表和树状图计算涉及两步实验的随机事件发生的概率。3、能用实验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率。难点：1、理解当实验次数较大时，实验的频率稳定于理论概率。2、正确地用列表和树状图计算涉及两步实验的随机事件发生的概率。3、借助大量的重复的实验去感悟实验频率稳定于理论概率。【典型例题】考点一：用频率估计概率例1、从一副牌的52张（没有大小王）牌中每次抽出1张，然后放回洗匀再抽，在抽牌试验中得到下列表中部分数据：试验次数50100150200250300350400出现红心牌的频数1330355160769098出现红心牌的频率26.0%30%24%25.3%24.5%（1）请将数据表补充完整；（2）观察上面的图表可以发现：随着试验次数的增加，出现红心的频率（）；（3）你知道从52张牌中抽出1张红心牌的概率是多少吗？分析：从上面的试验中我们可以发现，虽然每次抽取的结果是随机、无法预测的，但随着试验次数的增加，出现红心的频率逐渐稳定在25%左右，从而利用这一事件发生的频率来估计这一事件的概率。解：（1）依次填23.3%，25.5%，25.7%；（2）逐步稳定于41，即是25%左右；（3）从中抽取红心牌的概率为41。第3页版权所有不得复制小结：许多事件发生的概率是通过试验的频率估计出来的，而有些事件发生的概率可以准确地计算出来考点二：概率的计算例2、高楼中学周末有40人去体育场观看足球赛，40张票分别为B区第2排1号到40号，分票采取随机抽样的办法，小明第一个抽取，他抽取的号为10号，接着小亮从其余的票任意抽取一张，取得一张票恰好为小明邻座的概率是（）A.401B.21C.391D.392分析：∵小明已经抽过一张了，∴只剩下39张票了，由于小明的10号票有2张票是与其相邻的：即9号与11号，在剩余的39张票中抽到9号与11号的概率是392。答案：D例3、“一方有难，八方支援”，四川汶川大地震牵动着全国人民的心，我市某医院准备从甲、乙、丙三位医生和A、B两名护士中选取一名医生和一名护士支援汶川。（1）若随机选一位医生和一名护士，用树状图（或列表法）表示所有可能出现的结果；（2）求恰好选中医生甲和护士A的概率。分析：（1）画树状图或列表时一定要注意，列出所有可能出现的情况，不要遗漏；（2）由（1）可知所有出现的情况共有6种，同时选中医生甲和护士A的概率是61。解：（1）用列表法或画树状图表示所有可能结果如下：①列表法：护士医生AB甲（甲、A）（甲、B）乙（乙、A）（乙、B）丙（丙、A）（丙、B）②树状图：（2）∵P（恰好选中医生甲和护士A）=61，∴恰好选中医生甲和护士A的概率是61。考点三：用试验的方法求估计概率第4页版权所有不得复制例4、在地面上有一组平行线，相邻的两条平行线间的距离都为5cm，将一个长为3cm的投针投向这组平行线，下表是九年级某班同学合作完成投针试验后统计的数据：投掷次数1006001000250035005000针与线的相交次数4828145486113711901相交的频率（1）计算出针与平行线相交的频率，并完成统计表；（2）估计出针与平行线相交的概率；（3）表中的数据能说明在上面的条件下相交与不相交的可能性相同吗？（4）能否用列表法或画树状图求出针与平行线相交的概率？分析：①相交频率=；投掷次数相交次数②对于复杂的随机事件发生的概率，一般不用列表法或树状图法，而多用试验频率估计随机事件发生的概率。解：（1）投掷次数1006001000250035005000针与线的相交次数4828145486113711901相交的频率0.480.470.450.340.390.38（2）因为当试验次数较多时，试验频率稳定在理论概率附近，所以估计针与平行线相交的概率约为0.38。（3）不能说明，根据表中试验频率的变化，说明在已知条件下，针与平行线相交与不相交的可能性不相同。（4）不能，由于相交与不相交的可能性不一定相同，因此不能用列表的方法或画树状图的方法求针与平行线相交的概率。例5、已知投针试验与平行线相交的概率计算公式是alP2，其中a表示平行线间的距离，l表示针的长度，小明做了1000次投针试验，针与直线相交了505次，若小明所用针的长度是4cm，平行线间的距离是5cm，据此估计的值是多少？分析：根据试验次数很大时，某一事件的频率近似的等于该事件发生的概率，从而计算出概率P，代入al2P，求出的值。解：∵al2P，1000505P，其中a=5cm，l=4cm∴5421000505∴168.3答：168.3例6、在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n1001502005008001000摸到白球的次数m5896116295484601第5页版权所有不得复制摸到白球的频率nm0.580.640.580.590.6050.601（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近；（2）假如你去摸一次，你摸到白球的概率是，摸到黑球的概率是；（3）试估算袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？分析：通过试验来估计不确定事件发生的概率大小，通常是在试验次数越多，事件发生的频率值逐渐趋于稳定时，才可以将这个频率的稳定值作为该事件发生的概率。解：利用摸球次数最多1000次的频率去估计接近值，再用这个值代替概率值，即（1）由上表可知，当500n，频率值稳定在0.6左右，因此当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6。（2）0.6；0.4（3）白球个数：，)(126.020只黑球个数：84.020（只）。【方法总结】本讲主要运用实验—交流合作、“探究－实验－归纳”的课堂教学方法，适时启发诱导，让学生展开讨论，充分发挥学生的主体参与意识，激发学习兴趣，调动学习的积极性，培养学生良好的思维方法与习惯【预习导学方案】（第六章，第3~4节，及本章的知识回顾）（一）预习前知（二）预习导学探索任务1：每个同学课外调查10人的生日，从全班的调查结果中随机选择50人，看有没有2人生日相同，设计方案估计50人中有2人生日相同的概率。反思：经历用实验估计理论概率的过程，初步感受到生日相同的概率较大。探索任务2：一个口袋中有8个黑球和若干个白球，如果不许将球倒出来数，那么你能估计其中的白球数吗？反思：你能利用频率估计概率吗？那么利用样本估计总体的方法你知道吗？【模拟试题】（答题时间：60分钟）一、选择题*1、在一个不透明的袋子中，红色，黑色，白色的玻璃球共有40个，除颜色外其它都相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸红色球，黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白球的个数可能是（）A、24B、18C、16D、62、在一副扑克牌（54张，其中王牌两张）中，任意抽取一张牌是“王牌”的概率是（）A、541B、291C、271D、1313、一位人寿保险人员对客户说“人有可能得病，也可能不得病，因此，得病与不得病的概率各占50%。”他的说法（）A、正确B、不正确C、有时正确，有时不正确D、应由气候条件确定4、今年我县约有36000名学生参加初中毕业会考，为了了解这36000名学生的数学成绩，第6页版权所有不得复制准备从中随机抽取1200名学生的数学成绩进行统计分析，那么你的数学成绩被抽到的概率为（）A、360001B、12001C、501D、301*5、随机掷一枚硬币2次，落地后至少有一次正面朝上的概率是（）A、43B、32C、21D、41*6、同时投掷两枚普通的正方体骰子，所得两个点数之和大于9的概率是（）A、61B、91C、121D、36117、估计一个羽毛球羽毛着地的概率采用的方法是（）A、列表法B、画树状图法C、试验法D以上方法都可以8、当al31时，投针试验的概率是（）A、31B、32C、1D、239、下列说法正确的是（）A、试验所得概率一定等于理论概率B、试验所得概率不一定等于理论概率C、试验所得概率一定不等于理论概率D、以上说法都错10、抛一枚均匀的硬币，出现正面朝上和反面朝上的概率相等，则下列说法正确的是（）A、若抛20000次，一定会有10000次出现正面B、若抛20000次，一定会有小于10000次出现反面C、若抛20000次，出现正面和反面的次数非常接近10000次D、若抛20000次，出现正面和反面的次数无法预料二、填空题11、我们可以通过多次实验，用一个事件发生的（）来估计这一事件发生的概率。12、若100个产品中有95个正品，5个次品，从中随机抽取一个，恰好是次品的概率是（）13、随机掷一枚均匀的普通的硬币两次，出现正面都朝上的概率是（）*14、同时抛掷两枚正方体骰子，所得点数之和为7的概率是（）三、计算题15、九年级1班将竞选出正，副班长各一名，现有A、B两位男生和C、D两位女生参加竞选，（1）男生当选班长的概率是？（2）请用树状图或列表的方法求出女生当选正、副班长的概率。16、在一个不透明的布袋中有4个完全相同的乒乓球，把它们分别标号为1、2、3、4，随机地摸出一个乒乓球然后再放回去，再随机摸出一个乒乓球，求下列事件的概率；（1）两次摸出的乒乓球的标号相同；（2）两次摸出的乒乓球的标号的和等于5。第7页版权所有不得复制【试题答案】1、C，点拔