第六章第3课时知能演练轻松闯关

第六章第3课时知能演练轻松闯关1.在直角坐标平面内,不等式组y≤x＋1y≥00≤x≤t所表示的平面区域的面积为32,则t的值为()A.－3或3B.－3或1C.1D.3解析：选C.不等式组y≤x＋1y≥00≤x≤t所表示的平面区域如图中阴影部分所示.由y＝x＋1x＝t解得交点B(t,t＋1),在y＝x＋1中,令x＝0得y＝1,即直线y＝x＋1与y轴的交点为C(0,1),由平面区域的面积S＝＋t＋t2＝32,得t2＋2t－3＝0,解得t＝1或t＝－3(不合题意,舍去),故选C.2.O为坐标原点,点M的坐标为(1,1),若点N(x,y)的坐标满足x2＋y2≤42x－y≥0y≥0则OM→·ON→的最大值为()A.2B.22C.3D.23解析：选B.如图,点N在图中阴影区域内,当O、M、N共线时,OM→·ON→最大,此时N(2,2),OM→·ON→＝(1,1)·(2,2)＝22,故选B.3.(2011·高考陕西卷)如图,点(x,y)在四边形ABCD内部和边界上运动,那么2x－y的最小值为________.解析：令b＝2x－y,则y＝2x－b,如图所示,作斜率为2的平行线y＝2x－b,当经过点A时,直线在y轴上的截距最大,为－b,此时b＝2x－y取得最小值,为b＝2×1－1＝1.答案：14.设不等式组2x＋y－6≤0x＋y－3≥0y≤2表示的平面区域为M,若函数y＝k(x＋1)＋1的图象经过区域M,则实数k的取值范围是________.解析：作出平面区域,如图所示.因为函数的图象是过点P(－1,1),且斜率为k的直线l,由图知,当直线l过点A(1,2)时,k取最大值12;当直线l过点B(3,0)时,k取最小值－14,故k∈[－14,12].答案：[－14,12]一、选择题1.在平面直角坐标系中,若点(－2,t)在直线x－2y＋4＝0的上方,则t的取值范围是()A.(－∞,1)B.(1,＋∞)C.(－1,＋∞)D.(0,1)解析：选B.将x＝－2代入直线x－2y＋4＝0中,得y＝1.因为点(－2,t)在直线上方,∴t1.2.(2012·保定质检)不等式组x－y＋5≥0y≥a0≤x≤3表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是()A.a5B.a≥8C.5≤a8D.a5或a≥8解析：选C.解x－y＋5＝0x＝0得(0,5),解x－y＋5＝0x＝3得(3,8),∴5≤a8.3.(2011·高考山东卷)设变量x,y满足约束条件x＋2y－5≤0x－y－2≤0x≥0则目标函数z＝2x＋3y＋1的最大值为()A.11B.10C.9D.8.5解析：选B.作出不等式组表示的可行域,如图阴影部分所示.又z＝2x＋3y＋1可化为y＝－23x＋z3－13,结合图形可知z＝2x＋3y＋1在点A处取得最大值.由x＋2y－5＝0x－y－2＝0得x＝3y＝1故A(3,1).此时z＝2×3＋3×1＋1＝10.4.某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品,由乙车间加工出B产品,甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时,可加工出7千克A产品,每千克A产品获利40元;乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时,可加工出4千克B产品,每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工,每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时,甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为()A.甲车间加工原料10箱,乙车间加工原料60箱B.甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55箱C.甲车间加工原料18箱,乙车间加工原料50箱D.甲车间加工原料40箱,乙车间加工原料30箱解析：选B.设甲车间加工原料x箱,乙车间加工原料y箱,则x＋y≤7010x＋6y≤480xy∈N,目标函数z＝280x＋200y,结合图象可得：当x＝15,y＝55时,z最大.5.已知实数x,y满足2x－3y＋18≥02x＋3y≥0x≤3,若z＝ax＋y的最大值为3a＋8,最小值为3a－2,则实数a的取值范围为()A.a≥23B.a≤－23C.－23≤a≤23D.a≥23或a≤－23解析：选C.作出x,y满足的可行域,如图中阴影部分所示,则z在点A处取得最大值,在点C处取得最小值.又kBC＝－23,kAB＝23,∴－23≤－a≤23,即－23≤a≤23.二、填空题6.在平面直角坐标系中,不等式组x＋y－2≥0x－y＋2≥0x≤2表示的平面区域的面积为________.解析：作出可行域为△ABC(如图),则S△ABC＝4.答案：47.设实数x,y满足x－y－2≤0x＋2y－4≥02y－3≤0则yx的最大值为________.解析：yx表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率,在点1，32处取到最大值.答案：328.(2011·高考课标全国卷)若变量x,y满足约束条件3≤2x＋y≤96≤x－y≤9则z＝x＋2y的最小值为__________.解析：作出不等式表示的可行域如图(阴影部分).易知直线z＝x＋2y过点B时,z有最小值.由x－y＝92x＋y＝3得x＝4y＝－5.所以zmin＝4＋2×()－5＝－6.答案：－6三、解答题9.若直线x＋my＋m＝0与以P(－1,－1)、Q(2,3)为端点的线段不相交,求m的取值范围.解：直线x＋my＋m＝0将坐标平面划分成两块区域,线段PQ与直线x＋my＋m＝0不相交,则点P、Q在同一区域内,于是,－1－m＋m02＋3m＋m0,或－1－m＋m02＋3m＋m0所以,m的取值范则点P、Q在同一区域内,于是,－1－m＋m02＋3m＋m0,或－1－m＋m02＋3m＋m0所以,m的取值范围是m－12.10.已知关于x、y的二元一次不等式组x＋2y≤4x－y≤1x＋2≥0.(1)求函数u＝3x－y的最大值和最小值;(2)求函数z＝x＋2y＋2的最大值和最小值.解：(1)作出二元一次不等式组x＋2y≤4x－y≤1x＋2≥0表示的平面区域,如图：由u＝3x－y,得y＝3x－u,得到斜率为3,在y轴上的截距为－u,随u变化的一组平行线.由图可知,当直线经过可行域上的C点时,截距－u最大,即u最小,解方程组x＋2y＝4x＋2＝0,得C(－2,3),∴umin＝3×(－2)－3＝－9.当直线经过可行域上的B点时,截距－u最小,即u最大,解方程组x＋2y＝4x－y＝1,得B(2,1),∴umax＝3×2－1＝5.∴u＝3x－y的最大值是5,最小值是－9.(2)作出二元一次不等式组x＋2y≤4x－y≤1x＋2≥0表示的平面区域如图：由z＝x＋2y＋2,得y＝－12x＋12z－1,得到斜率为－12,在y轴上的截距为12z－1,随z变化的一组平行线,由图可知,当直线经过可行域上的A点时,截距12z－1最小,即z最小,解方程组x－y＝1x＋2＝0,得A(－2,－3),∴zmin＝－2＋2×(－3)＋2＝－6.当直线与直线x＋2y＝4重合时,截距12z－1最大,即z最大,∴zmax＝x＋2y＋2＝4＋2＝6.∴z＝x＋2y＋2的最大值是6,最小值是－6.11.某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个,生产一个卫兵需5分钟,生产一个骑兵需7分钟,生产一个伞兵需4分钟,已知总生产时间不超过10小时.若生产一个卫兵可获利润5元,生产一个骑兵可获利润6元,生产一个伞兵可获利润3元.(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w(元);(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大,最大利润是多少？解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x－y,所以利润w＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300.(2)约束条件为5x＋7y＋－x－y100－x－y≥0x≥0y≥0xy∈N.整理得x＋3y≤200x＋y≤100x≥0y≥0xy∈N.目标函数为w＝2x＋3y＋300.作出可行域.如图所示：初始直线l0：2x＋3y＝0,平移初始直线经过点A时,w有最大值.由x＋3y＝200x＋y＝100得x＝50y＝50.最优解为A(50,50),所以wmax＝550元.所以：每天生产卫兵50个,骑兵50个,伞兵0个时利润最大为550元.